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《义务教育数学课程标准（2011年版）》里指出：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。因此，教师应通过对教材的深入解读，准确把握数学知识与方法之间的关系，引导学生积极建构，使思考更加深入。下面，笔者以“三角形的面积”一课为例，谈谈如何关注知识联系，有效促进学生深度学习。
一、由同到异找联系，多样体验架结构
数学是模式的科学，抓住新旧知识的相同点，将新旧知识有效联结，有利于学生更好地接受新知识，拓宽学习渠道，提高学习效率。
人教版五上“三角形的面积”这一内容，教材介绍了将两个完全一样的三角形进行拼接，也就是用倍拼法实施教学。在此之前，学生刚刚学完平行四边形的面积计算方法，教材里介绍的是割补法。也就是说，学生刚学会用割补法求得平行四边形的面积，就要让学生摒弃它，而用另一种新的方法（倍拼法）来学习三角形的面积，显然是有难度的。这时，需要教师将新旧知识进行联结，让学生利用已学过的割补转化的经验尝试求得三角形的面积。通过尝试体验引发冲突，让学生自己发现有些三角形是不容易割补转化的，从而感悟割补法并不适用于求三角形的面积，需要寻找其他学习方法。
在教学中，笔者循着学生的思维而行，先呈现一个等腰三角形，提问：“你能自己想办法求出它的面积吗？”大部分学生采用割补法，将三角形转化为长方形，在转化、分割中，学生越发体会到面积计算公式所蕴含的思想方法——转化。笔者不失时机地提问：“转化前后三角形的什么变了，什么没有变？”学生很快能用方格图探索三角形的面积公式。笔者再给学生一个任意三角形，让他们求出这个三角形的面积。有了刚才的学习经验，学生信心十足，可是沿着高剪开，怎么都拼不成新图形（总有一条边无法吻合）。就这样，学生在操作过程中，获得新的学习体验：割补法并不适用于求三角形的面积。
笔者借机问：“不能成功转化成其他图形了，怎么办？还有其他的方法吗？同桌两个同学合作，再试试看。”通过再次尝试，学生找到求三角形面积的方法：倍拼法。最后，笔者再引导学生验证倍拼法适用于推导所有三角形的面积求解。
当学生在操作体验中，遇到原有的方法行不通了，引导他们抓住知识的联系与差异，顺利将三角形面积推导经验和平行四边形面积推导经验有效联结起来，找到转化前后面积之间的联系，另辟蹊径地寻求其他解决问题的办法。这样让学生感受不一样的数学学习体验，使原来的知识、方法结构更趋向于完整。
二、由此及彼找联系，经验唤醒显本质
对数学知识的本质认识，不一定要加深知识本身的难度。如果学生能了解知识的前世今生，厘清知识的来龙去脉，体会知识之间的内在联系，往往能从整体上把握数学知识和方法。
那么，三角形的面积的相关知识有哪些呢？很显然是长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式。以图形内在联系为线索，才能促进教与学的迁移。有些教师在教学三角形的面积时，会理所当然地认为只要能顺利地得到公式，学生对三角形的面积学习任务就完成了。但是，现实中的一些学生在计算三角形的面积时，经常会忘记除以2。这不得不引起教师的思考——学生在学习中是否真正理解三角形的面积计算公式？如果没有真正理解，只是得到了公式，就会造成学生对公式的死记硬背，就容易出现记错公式的情况。这就需要教师剥离干扰因素，引导学生认清知识本质，找到学习的原点。
因此，在学习三角形的面积时，需要教师引导学生建立三角形和平行四边形的关系。在教学三角形的面积时，笔者先出示下面这组材料（图1），让学生观察后回答：“你能得出什么结论？为什么？”
通过观察，学生很容易发现：三角形和它所在的平行四边形是有关联的。这时笔者继续追问：“从这组材料中，你发现了什么？”这个问题的提出，学生调动已有的知识和经验，并引发深度思考，感悟三角形和平行四边形的关系：三角形的面积是它所在的平行四边形的面积的一半。在这一教学环节中，笔者并没有给出三角形的面积公式，而是放手让学生以自主探究、小组交流、独立思考的方式，说一说为什么要除以2，顺利地建立起等底等高的三角形和平行四边形的面积关系。让学生充分感受三角形面积和平行四边形面积之间的内在联系，学生对于三角形面积计算公式的内涵便有了更深刻的认识。由此及彼架设桥梁，让学生深刻地把握数学知识在纵向发展中的联系，向学生再现了知识的发展过程，避免了學习只是对教材中知识点的死记硬背，凸显数学本质。
三、由表及里找联系，思维提升促学习
新知识的学习不是某个知识的简单传递过程，应该是学生不断思考、自主建构的过程。学生对数学知识的学习，不能只停留于知识的表面，而应该深入地寻找知识点间的内在联系。教学三角形的面积，不能只停留在面积的计算上，而是要由表及里，以融会贯通的方式，对学习内容进行组织，从而促进数学学习的真正发生。
在完成了三角形面积公式的推导之后，笔者出示图2的三角形，提问图形的面积是多少。在之前的学习中，学生始终围绕三角形与平行四边形的关系这条主线来学习三角形的面积计算。因此，当学生看到这组图形之后，便能依据平行四边形的面积公式，借助三角形与平行四边形之间的联系算出答案。学生从三角形面积公式的推导过程中，再次加强学生对图形关系（图2右方的转化图形）的认识，促进空间观念的发展。
紧接着笔者再出示图3，让学生观察并计算这些三角形的面积是多少。
这组题，看似在计算三角形的面积，实际上是让学生在讨论与交流中逐步发现这几个三角形等底等高，只要算出一个三角形的面积，就能得出其他两个图形的面积了。不仅如此，还能画出无数个形状不同但面积相等的三角形。这样的学习由表及里，学生可以主动地、清晰地思考，合理地表达自己的想法，既提升了空间想象能力，又进行了思维训练，让数学学习真正发生。
（作者单位：福建省厦门市海沧区霞阳小学 责任编辑：王振辉）
一、由同到异找联系，多样体验架结构
数学是模式的科学，抓住新旧知识的相同点，将新旧知识有效联结，有利于学生更好地接受新知识，拓宽学习渠道，提高学习效率。
人教版五上“三角形的面积”这一内容，教材介绍了将两个完全一样的三角形进行拼接，也就是用倍拼法实施教学。在此之前，学生刚刚学完平行四边形的面积计算方法，教材里介绍的是割补法。也就是说，学生刚学会用割补法求得平行四边形的面积，就要让学生摒弃它，而用另一种新的方法（倍拼法）来学习三角形的面积，显然是有难度的。这时，需要教师将新旧知识进行联结，让学生利用已学过的割补转化的经验尝试求得三角形的面积。通过尝试体验引发冲突，让学生自己发现有些三角形是不容易割补转化的，从而感悟割补法并不适用于求三角形的面积，需要寻找其他学习方法。
在教学中，笔者循着学生的思维而行，先呈现一个等腰三角形，提问：“你能自己想办法求出它的面积吗？”大部分学生采用割补法，将三角形转化为长方形，在转化、分割中，学生越发体会到面积计算公式所蕴含的思想方法——转化。笔者不失时机地提问：“转化前后三角形的什么变了，什么没有变？”学生很快能用方格图探索三角形的面积公式。笔者再给学生一个任意三角形，让他们求出这个三角形的面积。有了刚才的学习经验，学生信心十足，可是沿着高剪开，怎么都拼不成新图形（总有一条边无法吻合）。就这样，学生在操作过程中，获得新的学习体验：割补法并不适用于求三角形的面积。
笔者借机问：“不能成功转化成其他图形了，怎么办？还有其他的方法吗？同桌两个同学合作，再试试看。”通过再次尝试，学生找到求三角形面积的方法：倍拼法。最后，笔者再引导学生验证倍拼法适用于推导所有三角形的面积求解。
当学生在操作体验中，遇到原有的方法行不通了，引导他们抓住知识的联系与差异，顺利将三角形面积推导经验和平行四边形面积推导经验有效联结起来，找到转化前后面积之间的联系，另辟蹊径地寻求其他解决问题的办法。这样让学生感受不一样的数学学习体验，使原来的知识、方法结构更趋向于完整。
二、由此及彼找联系，经验唤醒显本质
对数学知识的本质认识，不一定要加深知识本身的难度。如果学生能了解知识的前世今生，厘清知识的来龙去脉，体会知识之间的内在联系，往往能从整体上把握数学知识和方法。
那么，三角形的面积的相关知识有哪些呢？很显然是长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式。以图形内在联系为线索，才能促进教与学的迁移。有些教师在教学三角形的面积时，会理所当然地认为只要能顺利地得到公式，学生对三角形的面积学习任务就完成了。但是，现实中的一些学生在计算三角形的面积时，经常会忘记除以2。这不得不引起教师的思考——学生在学习中是否真正理解三角形的面积计算公式？如果没有真正理解，只是得到了公式，就会造成学生对公式的死记硬背，就容易出现记错公式的情况。这就需要教师剥离干扰因素，引导学生认清知识本质，找到学习的原点。
因此，在学习三角形的面积时，需要教师引导学生建立三角形和平行四边形的关系。在教学三角形的面积时，笔者先出示下面这组材料（图1），让学生观察后回答：“你能得出什么结论？为什么？”
通过观察，学生很容易发现：三角形和它所在的平行四边形是有关联的。这时笔者继续追问：“从这组材料中，你发现了什么？”这个问题的提出，学生调动已有的知识和经验，并引发深度思考，感悟三角形和平行四边形的关系：三角形的面积是它所在的平行四边形的面积的一半。在这一教学环节中，笔者并没有给出三角形的面积公式，而是放手让学生以自主探究、小组交流、独立思考的方式，说一说为什么要除以2，顺利地建立起等底等高的三角形和平行四边形的面积关系。让学生充分感受三角形面积和平行四边形面积之间的内在联系，学生对于三角形面积计算公式的内涵便有了更深刻的认识。由此及彼架设桥梁，让学生深刻地把握数学知识在纵向发展中的联系，向学生再现了知识的发展过程，避免了學习只是对教材中知识点的死记硬背，凸显数学本质。
三、由表及里找联系，思维提升促学习
新知识的学习不是某个知识的简单传递过程，应该是学生不断思考、自主建构的过程。学生对数学知识的学习，不能只停留于知识的表面，而应该深入地寻找知识点间的内在联系。教学三角形的面积，不能只停留在面积的计算上，而是要由表及里，以融会贯通的方式，对学习内容进行组织，从而促进数学学习的真正发生。
在完成了三角形面积公式的推导之后，笔者出示图2的三角形，提问图形的面积是多少。在之前的学习中，学生始终围绕三角形与平行四边形的关系这条主线来学习三角形的面积计算。因此，当学生看到这组图形之后，便能依据平行四边形的面积公式，借助三角形与平行四边形之间的联系算出答案。学生从三角形面积公式的推导过程中，再次加强学生对图形关系（图2右方的转化图形）的认识，促进空间观念的发展。
紧接着笔者再出示图3，让学生观察并计算这些三角形的面积是多少。
这组题，看似在计算三角形的面积，实际上是让学生在讨论与交流中逐步发现这几个三角形等底等高，只要算出一个三角形的面积，就能得出其他两个图形的面积了。不仅如此，还能画出无数个形状不同但面积相等的三角形。这样的学习由表及里，学生可以主动地、清晰地思考，合理地表达自己的想法，既提升了空间想象能力，又进行了思维训练，让数学学习真正发生。
（作者单位：福建省厦门市海沧区霞阳小学 责任编辑：王振辉）