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引言:动态数学问题，以点、线、图形运动为特点，把动手操作、自主探索、计算分析、创造发现等要素结合起来；运用数形结合、分类讨论、演绎归纳、分析综合、类比猜想等思想方法；综合代数中的函数、方程、不等式，几何中的三角形、四边形、圆，三角函数等相关知识；考查学生的动手能力、想象能力、阅读审题能力；对培养学生的创新意识、实事求是的思想品质、乃至辩证唯物主义观点都具有重要意义.:动态数学问题具有运动、开放等特点，对学生具有挑战性，在中考中常以压轴题的形式出现.那么怎样突破“动态数学”问题呢？
一、 让学生动手操作、数学地思考、证明，是突破“动态数学”的基础关
1. 让学生动手操作、实践，能为突破“动态数学”问题积累感性经验.
《新课程标准》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，不仅要“学数学”，更要“做数学”.动手操作、动脑思考，获得的知识，既生动、鲜活又真切、牢固，在动手操作、动脑思考中，既培养学生手、脑并用的意识和习惯，又使学生在活动中自主建构知识体系，增强创新能力，得到全面、内在、长远、和谐的发展.在教学过程中，可通过课外数学实验，提高学生动手、动脑的能力，为突破“动态数学”提供感性经验支撑.
案例1 师：（1） 请同学们在上课前，把一个正方体形的墨水瓶纸盒，用剪刀，剪开成一个平面展开图形，能剪成几种形式？
同学甲（右图）:
同学乙（右图）：
同学丙（右图）：
同学丁（右图）：
同学A :（下图）：
师：（2） 请同学们在上课时，给你的同桌互相演示几遍.
（3） 请同学们把剪成的平面展开图，再折叠成原来的正方体形墨水纸盒.
（4） 请同学们停止用手操作，用脑想象原来图形的剪开、折叠过程.
反思：通过“做数学”训练，学生得到的是“动态的数学”知识，将积累学生的数学经验，扎实学生的数学现实，提高想象力，为突破“动态数学”准备感性经验认识.
2. 在动手操作的基础上， 数学地思考，可为突破“动态数学”丰富探索思路.
案例2 师：请同学们把形如矩形ABFG纸条（图1），沿任意折痕CD折叠，使CK′、AG交于点E.△CDE是怎样的三角形？请动手折叠、猜想、并说明思路. 学生甲：△CDE是等边△.
学生甲:△CDE是等边△.
学生乙：△CDE是等腰△.
学生丙：△CDE是任意△.
师：请同学们反复操作、度量 、猜想
学生A：△CDE是等腰△.
师：为什么？请同学们说出思路？
学生B：
∵矩形纸条ABFG.
∴ AG∥BF EDC=∠BCD
又∵折叠， ∴ BCD=∠DCE，EDC=∠DCE，
`DE=CE
∴△CDE是等腰△.
反思：本案例不仅要学生动手操作，而且要进行数学地思考，把数学经验与所学数学知识结合起来，不仅提高了学生动手能力，而且自主建构知识体系，形成创新意识，把感性认识，上升到理性认识，为解决“动态数学”问题，提供思路探索的经验.突破“思路” 关.
3. 只让学生动手操作、数学探索，是远远不够的， 还必需进行有条理的证明训练，写出形式推理，可为解决“动态数学”问题，提供技术支撑，突破技能关.
案例3 先把形如图2的矩形纸条ABCD对折，得折痕MN，然后展开，沿直线BE，折叠，使点A与线段MN上的点A′重合，延长EA′，交BC于点F.△BEF是什么特殊△？请同学们通过动手折叠，提出猜想，加以证明.
（1） 动手折叠
（2） 分析探索：由折叠可知：MN∥AD∥BC 且M、N分别为AB、CD的中点，由平行线分线段成比例定理知：==1 ，A′ 为线段EF的中点.
又由折叠可知：∠BA′E=∠A=90°，知A′B为线段EF的中垂线，△BEF为等腰△.∠EBA′=∠FBA′（三线合一）
又由折叠可知：∠ABE=∠EBA′=∠FBA′=30°，∠EBF=60° ，△BEF为等边△.
（3） 证明：
由折叠可知：
∠ABE=∠A′BE∠BA′E=∠A=90°MN∥AD∥BC`==1`A′为线段EF的中点`
A′B线段EF的中垂线
`BE=BF`△EBF为等腰△∠A′BE=∠A′BE
`∠ABE=∠A′BE=∠A′BF=30°
`∠EBF=60°`△EBF为等边△
反思：“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，……这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学”.应该注重学生的认知过程，应该让学生从动手操作开始、到数学思考、再到有条理的证明，尤其是加强有条理的证明训练，能为“动态数学”突破技能关.
二、 让学生掌握数学思想方法，是突破“动态数学”的关键
1. 让学生掌握从特殊到一般，把一般化为特殊的思想方法.
案例4 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q.
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2）如图3，当＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当＝m时，EP与EQ满足的数量关系式
为 m ，其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）
【探究二】若=2，AC＝30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm），在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S值的取值范围.
分析 因为特殊性包含有一般性，所以做探究（一）的第（3）步时，就要根据第（1）、（2）步的特殊情况 ，既要根据（1）、（2）的结果，又要根据（1）、（2）的方法.
在做第（1）步时，如下图，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，由＝1， 易知：△AME≌△ENC，EM=EN，∠MEN=90° ∠MEP+∠PEN=∠QEN+∠PEN=90° ， ∠MEP=∠NEQ.在 △MEP与△NEQ中，∠MEP=∠NEQ∠EMP=∠ENQ ` △EMP≌△ENQ.EM=EN
` EP=EQ.
在做第（2）步时，可根据第（1）步中的辅助线：EM、EN；两次三角形全等：△AME≌△ENC； △EMP≌△ENQ，得到启发：当 ＝2时，显然，全等△应变成相似△，EQ=2EP.
在做第（3）步时,就可以根据第（1）、（2） 步中的特殊规律：关键是两个三角形：△EMP、△ENQ的全等或相似 ，易知 ：EQ=mEP.
至于m的范围，可以认为点E从点C出发, 沿线段CA向点A运动，直到EF⊥BC,且F点为垂 足时，m为最大值，如图5，若设AC=DE=，则FC=EF=1， EC=EF=，AE=- ， ==2+ .
∵ 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P
∴ 0 反思：从探究（一）可以看出,可以从特殊中找规律,然后推广到一般情形.是解决“动态数学”重要方法.
对于探究（二）（1）中的最大值、最小值,实际上是旋转过程中的特殊情况,必须把一般情况转化为特殊情况.因为=2，DE=AC=30cm，由探究（1）可知：EP=EQ，S=EP?誗EQ=EQ，S随EQ的增大而增大，如图6当点F与点Q重合于线段BC上时，EQ 最大，EQ=EF=DE=10（cm），S=EQ=75（cm）.
由几何知识可知，如图7当EF⊥BC时，EQ最小，S= EQ=（EC）=（×20）=50（cm）
对于探究（二）（2）仍然要把一般情况转化为特殊情况,如图8，以点E为圆心，EB为半径圆交线段BC于Q，此时，△EBQ为等腰△，EB、EQ关于线段BC的垂线EM对称，当点Q在线段BQ上移动时，总有两线段EQ、EQ′关于直线EM对称，S 每取一个值，总有两个三角形对应，此时：
EQ=EB====5， S = EQ=62.5 (cm)
因此，①当 S<50时，不存在△；②当S=50时，只有一个△；③当5075时，不存在△.
反思：从探究（二）可以看出，只有把复杂、一般的问题，转化为：图6、图7、图8、9等各种特殊的情况，才能进行分类讨论，把复杂、一般的问题，转化为特殊的问题，是解题的关键.
2. 让学生掌握数形结合的思想方法.
案例5：例1：如图A，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′<180°），连接AD′、BE′设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、E.（2007徐州市中考压轴题）
（1） （略） （2） 若△ABC满足∠ACB=60°，AC=，BC=，①（略）
② 若E为BC的中点，求△OBC面积的最大值.
解 :（2）
② 分析：若按常规思路，只用求极值的代数方法，求△OBC面积的最大值.则落入陷阱，很难求出.如按数形结合的思想分析：S=BC•OG.其中BC=为定值，欲使S最大，当且仅当OG为最大.而OG则随E′的运动，而发生变化（如图B），由题意可知，E′在以C为圆心，EC为半径的圆上运动，由几何知识可知，当BE′与⊙C相切时（如图C），sin∠OBC===的值最大，锐角∠OBC最大值为30°，即BE′⊥CE′时，OG最大.此时点E′与点O重合，在直角△OGC中，∠OCG=60°，OG=OC•Sin60°=×=，S=BC•OG=××=. （解：略）
本案例在拓展三角形与圆的有关知识的同时，更加紧密的把“数”中的“S=BC•OG”计算与“形”中运动变化的图形有机结合起来.在更高的层次上运用了数形结合的思想.在教学过程中，应当不失时机的渗透各种数学思想:化归思想、函数思想、转化思想、分类讨论等.可为突破“动态数学”其关键作用.
三、 制作多媒体课件是突破“动态数学”的手段
利用信息技术制作成集文字、图像、图形、动画、声音、视频为一体的多媒体课件，可为突破“动态数学”，展示一个崭新的天地.多媒体技术形象、生动、直观性强，能将课本抽象的概念、复杂的运动、变化过程，直接展示在学生面前，从而调动学生的眼、耳、脑，主动地观察运动变化的每一个细节；作为数学教师，利用多媒体技术进行教学，能如虎添翼，轻点鼠标，让天下知识皆汇于咫尺荧屏.那么，如何制作课件才能更好地突破“动态数学”呢？
1. 利用几何画板演示，是数学教师的首选，能把教师说不明、道不清的运动问题，清楚地演示出来.不仅能定性的反映，而且能定量刻画.无论是两圆的位置关系的转化，还是二次函数图象的运动变化；也无论是圆锥侧面展开图的展开，还是正、反比例函数图象的变化，都能够通过几何画板演示的清清楚楚.让学生在观察“动态数学”的运动过程中，突破了“动态数学”的神秘面纱.
2. 利用Authorware软件，制作交互性动画课件，让学生在游戏般的互动中，认识“动态数学”的真缔，无论是“神州”飞船的运动轨迹，还是动画影片，都可以通过Authorware软件展示.
3. 利用flash软件，幻灯片等，制作动画课件等等.
突破“动态数学”问题,不是一朝一夕的,需要学生在不断地动手实验、感知体会、自主探索建构知识体系、反省创新等循环往复的活动过程中,提高综合素质，又需要学生百折不挠、坚韧不拔的毅力,更需要掌握解决“动态数学”问题的思想方法.
一、 让学生动手操作、数学地思考、证明，是突破“动态数学”的基础关
1. 让学生动手操作、实践，能为突破“动态数学”问题积累感性经验.
《新课程标准》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，不仅要“学数学”，更要“做数学”.动手操作、动脑思考，获得的知识，既生动、鲜活又真切、牢固，在动手操作、动脑思考中，既培养学生手、脑并用的意识和习惯，又使学生在活动中自主建构知识体系，增强创新能力，得到全面、内在、长远、和谐的发展.在教学过程中，可通过课外数学实验，提高学生动手、动脑的能力，为突破“动态数学”提供感性经验支撑.
案例1 师：（1） 请同学们在上课前，把一个正方体形的墨水瓶纸盒，用剪刀，剪开成一个平面展开图形，能剪成几种形式？
同学甲（右图）:
同学乙（右图）：
同学丙（右图）：
同学丁（右图）：
同学A :（下图）：
师：（2） 请同学们在上课时，给你的同桌互相演示几遍.
（3） 请同学们把剪成的平面展开图，再折叠成原来的正方体形墨水纸盒.
（4） 请同学们停止用手操作，用脑想象原来图形的剪开、折叠过程.
反思：通过“做数学”训练，学生得到的是“动态的数学”知识，将积累学生的数学经验，扎实学生的数学现实，提高想象力，为突破“动态数学”准备感性经验认识.
2. 在动手操作的基础上， 数学地思考，可为突破“动态数学”丰富探索思路.
案例2 师：请同学们把形如矩形ABFG纸条（图1），沿任意折痕CD折叠，使CK′、AG交于点E.△CDE是怎样的三角形？请动手折叠、猜想、并说明思路. 学生甲：△CDE是等边△.
学生甲:△CDE是等边△.
学生乙：△CDE是等腰△.
学生丙：△CDE是任意△.
师：请同学们反复操作、度量 、猜想
学生A：△CDE是等腰△.
师：为什么？请同学们说出思路？
学生B：
∵矩形纸条ABFG.
∴ AG∥BF EDC=∠BCD
又∵折叠， ∴ BCD=∠DCE，EDC=∠DCE，
`DE=CE
∴△CDE是等腰△.
反思：本案例不仅要学生动手操作，而且要进行数学地思考，把数学经验与所学数学知识结合起来，不仅提高了学生动手能力，而且自主建构知识体系，形成创新意识，把感性认识，上升到理性认识，为解决“动态数学”问题，提供思路探索的经验.突破“思路” 关.
3. 只让学生动手操作、数学探索，是远远不够的， 还必需进行有条理的证明训练，写出形式推理，可为解决“动态数学”问题，提供技术支撑，突破技能关.
案例3 先把形如图2的矩形纸条ABCD对折，得折痕MN，然后展开，沿直线BE，折叠，使点A与线段MN上的点A′重合，延长EA′，交BC于点F.△BEF是什么特殊△？请同学们通过动手折叠，提出猜想，加以证明.
（1） 动手折叠
（2） 分析探索：由折叠可知：MN∥AD∥BC 且M、N分别为AB、CD的中点，由平行线分线段成比例定理知：==1 ，A′ 为线段EF的中点.
又由折叠可知：∠BA′E=∠A=90°，知A′B为线段EF的中垂线，△BEF为等腰△.∠EBA′=∠FBA′（三线合一）
又由折叠可知：∠ABE=∠EBA′=∠FBA′=30°，∠EBF=60° ，△BEF为等边△.
（3） 证明：
由折叠可知：
∠ABE=∠A′BE∠BA′E=∠A=90°MN∥AD∥BC`==1`A′为线段EF的中点`
A′B线段EF的中垂线
`BE=BF`△EBF为等腰△∠A′BE=∠A′BE
`∠ABE=∠A′BE=∠A′BF=30°
`∠EBF=60°`△EBF为等边△
反思：“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，……这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学”.应该注重学生的认知过程，应该让学生从动手操作开始、到数学思考、再到有条理的证明，尤其是加强有条理的证明训练，能为“动态数学”突破技能关.
二、 让学生掌握数学思想方法，是突破“动态数学”的关键
1. 让学生掌握从特殊到一般，把一般化为特殊的思想方法.
案例4 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q.
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2）如图3，当＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当＝m时，EP与EQ满足的数量关系式
为 m ，其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）
【探究二】若=2，AC＝30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm），在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S值的取值范围.
分析 因为特殊性包含有一般性，所以做探究（一）的第（3）步时，就要根据第（1）、（2）步的特殊情况 ，既要根据（1）、（2）的结果，又要根据（1）、（2）的方法.
在做第（1）步时，如下图，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，由＝1， 易知：△AME≌△ENC，EM=EN，∠MEN=90° ∠MEP+∠PEN=∠QEN+∠PEN=90° ， ∠MEP=∠NEQ.在 △MEP与△NEQ中，∠MEP=∠NEQ∠EMP=∠ENQ ` △EMP≌△ENQ.EM=EN
` EP=EQ.
在做第（2）步时，可根据第（1）步中的辅助线：EM、EN；两次三角形全等：△AME≌△ENC； △EMP≌△ENQ，得到启发：当 ＝2时，显然，全等△应变成相似△，EQ=2EP.
在做第（3）步时,就可以根据第（1）、（2） 步中的特殊规律：关键是两个三角形：△EMP、△ENQ的全等或相似 ，易知 ：EQ=mEP.
至于m的范围，可以认为点E从点C出发, 沿线段CA向点A运动，直到EF⊥BC,且F点为垂 足时，m为最大值，如图5，若设AC=DE=，则FC=EF=1， EC=EF=，AE=- ， ==2+ .
∵ 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P
∴ 0
对于探究（二）（1）中的最大值、最小值,实际上是旋转过程中的特殊情况,必须把一般情况转化为特殊情况.因为=2，DE=AC=30cm，由探究（1）可知：EP=EQ，S=EP?誗EQ=EQ，S随EQ的增大而增大，如图6当点F与点Q重合于线段BC上时，EQ 最大，EQ=EF=DE=10（cm），S=EQ=75（cm）.
由几何知识可知，如图7当EF⊥BC时，EQ最小，S= EQ=（EC）=（×20）=50（cm）
对于探究（二）（2）仍然要把一般情况转化为特殊情况,如图8，以点E为圆心，EB为半径圆交线段BC于Q，此时，△EBQ为等腰△，EB、EQ关于线段BC的垂线EM对称，当点Q在线段BQ上移动时，总有两线段EQ、EQ′关于直线EM对称，S 每取一个值，总有两个三角形对应，此时：
EQ=EB====5， S = EQ=62.5 (cm)
因此，①当 S<50时，不存在△；②当S=50时，只有一个△；③当50
反思：从探究（二）可以看出，只有把复杂、一般的问题，转化为：图6、图7、图8、9等各种特殊的情况，才能进行分类讨论，把复杂、一般的问题，转化为特殊的问题，是解题的关键.
2. 让学生掌握数形结合的思想方法.
案例5：例1：如图A，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′<180°），连接AD′、BE′设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、E.（2007徐州市中考压轴题）
（1） （略） （2） 若△ABC满足∠ACB=60°，AC=，BC=，①（略）
② 若E为BC的中点，求△OBC面积的最大值.
解 :（2）
② 分析：若按常规思路，只用求极值的代数方法，求△OBC面积的最大值.则落入陷阱，很难求出.如按数形结合的思想分析：S=BC•OG.其中BC=为定值，欲使S最大，当且仅当OG为最大.而OG则随E′的运动，而发生变化（如图B），由题意可知，E′在以C为圆心，EC为半径的圆上运动，由几何知识可知，当BE′与⊙C相切时（如图C），sin∠OBC===的值最大，锐角∠OBC最大值为30°，即BE′⊥CE′时，OG最大.此时点E′与点O重合，在直角△OGC中，∠OCG=60°，OG=OC•Sin60°=×=，S=BC•OG=××=. （解：略）
本案例在拓展三角形与圆的有关知识的同时，更加紧密的把“数”中的“S=BC•OG”计算与“形”中运动变化的图形有机结合起来.在更高的层次上运用了数形结合的思想.在教学过程中，应当不失时机的渗透各种数学思想:化归思想、函数思想、转化思想、分类讨论等.可为突破“动态数学”其关键作用.
三、 制作多媒体课件是突破“动态数学”的手段
利用信息技术制作成集文字、图像、图形、动画、声音、视频为一体的多媒体课件，可为突破“动态数学”，展示一个崭新的天地.多媒体技术形象、生动、直观性强，能将课本抽象的概念、复杂的运动、变化过程，直接展示在学生面前，从而调动学生的眼、耳、脑，主动地观察运动变化的每一个细节；作为数学教师，利用多媒体技术进行教学，能如虎添翼，轻点鼠标，让天下知识皆汇于咫尺荧屏.那么，如何制作课件才能更好地突破“动态数学”呢？
1. 利用几何画板演示，是数学教师的首选，能把教师说不明、道不清的运动问题，清楚地演示出来.不仅能定性的反映，而且能定量刻画.无论是两圆的位置关系的转化，还是二次函数图象的运动变化；也无论是圆锥侧面展开图的展开，还是正、反比例函数图象的变化，都能够通过几何画板演示的清清楚楚.让学生在观察“动态数学”的运动过程中，突破了“动态数学”的神秘面纱.
2. 利用Authorware软件，制作交互性动画课件，让学生在游戏般的互动中，认识“动态数学”的真缔，无论是“神州”飞船的运动轨迹，还是动画影片，都可以通过Authorware软件展示.
3. 利用flash软件，幻灯片等，制作动画课件等等.
突破“动态数学”问题,不是一朝一夕的,需要学生在不断地动手实验、感知体会、自主探索建构知识体系、反省创新等循环往复的活动过程中,提高综合素质，又需要学生百折不挠、坚韧不拔的毅力,更需要掌握解决“动态数学”问题的思想方法.