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摘 要：只要找到生活原型，类似于■（1-■）的极限问题，小学生也能顺利理解。实践证明：再抽象的内容，都能用最形象的方法讲给每一个学生。
关键词：循环小数；商；极限问题
人教版五年级上册“用计算器探究规律”：用计算器计算1÷11，2÷11，3÷11，4÷11，想一想它们的得数有什么规律。你能不用计算直接写出下面各题的得数吗？
5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11
首先学生用计算器算出被除数是1、2、3、4的商：
1÷11=0.0909…
2÷11=0.1818…
3÷11=0.2727…
4÷11=0.3636…
然后请学生观察上述算式，说说你发现了什么？
生：商都是循环小数。
生1：我发现第二个算式的商是第一个算式的2倍。
生2：我发现第三个算式的商是第一个算式的3倍。
生3：我发现第四个算式的商是第一个算式的4倍。
师：谁能说说这是为什么呢？
生3：因为除数都是11，而被除数分别是第一个算式的2倍、3倍、4倍，所以商就是第一个算式的2倍、3倍、4倍。
生4：每个商的循环节末位与被除数相加都是10。
生5：我只需要算出1÷11的商就能写出下面的商，被除数是1的几倍，商就是0.0909…的几倍。
生6：这些商都是循环小数，它们的每个循环节的数字和都是9。
生7：我还发现从上到下循环节的第一位一个比一个大1，第二位一个比一个小1，但每个循环节的数字和是9。
师：根据这些规律，你能不用计算直接写出下面算式的商吗？
5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11
学生兴致勃勃，很快完成，交流时有根有据。我当时看见学生学得比较轻松，就将此题一个即兴发挥：你还能直接写出10÷11、11÷11吗？
“能！”学生一起回答。不一会儿有学生就写出了：
10÷11=0.9090…11÷11=1
这时一个学生举起了手：黄老师我有一个问题，我利用除数不变、被除数扩大几倍商就扩大几倍，11÷11的商就等于0.0909…的11倍，把它的每个循环节乘11得11÷11=0.99…但是11÷11=1，不等于0.99…，这是怎么回事？
全班一下子寂静下来。我也一愣，很快我反应过来——这个问题已经涉及类似于■（1-■）的极限问题。
我知道对于1和0.999…在小学生看来绝对不等。情急之下，我做了如下处理：
师：你们认为1和0.999…之间是什么关系？
生齐答：1>0.999…
师：刚才×××同学根据11是1的11倍，所以11÷11的商也应该是1÷11的商的11倍这个推理过程对不对呢？
少部分学生：也对。
（看来很多同学不敢确信这个商的变化规律了。）
师：肯定没有错的。这样一来1和0.999…都是11÷11的商了。这样就推得1=0.999…（那少部分人带着怀疑的表情点着头）
师：对于这个等式同学们肯定无法理解（学生纷纷点头），但它确实是正确的。你们现在理解不了就不用管它，这是高中数学里的极限问题，你们进了高中之后就明白了。
无独有偶，在当天下午数学第二课堂活动中，一个学生递给我一道数学趣味题，我随手把题目放在展示台上呈现给大家并请大家一起思考：在公元前五世纪，古希腊数学家芝诺提出了数学史上一道著名的难题：
古希腊神话中跑步英雄阿基里斯，他跑得再快也追不上他前面100米的乌龟。他的理由是：假设英雄的速度是乌龟的10倍，当英雄追了100米来到乌龟的出发点时，乌龟已经向前走了100÷10=10（米）当英雄再追10米时乌龟又前进了10÷10=1（米）；当英雄再追1米时，乌龟又前进了1÷10=0.1（米）…这样阿基里斯和乌龟永远相距一段距离，所以总也追不上。你认为阿基里斯能追上乌龟吗？
看完题目学生议论纷纷。
有学生说：照这样看来英雄永远追不上乌龟。
有学生说：按题目讲是追不上，但按照实际讲，应该追得上，跑步英雄追不上乌龟？不可能。
由于题目有趣，所以学生的讨论自然热烈，各种观念互不相让，好几分钟过去了，一女生站起来大声说：“我认为阿基里斯能追上乌龟，因为他在追乌龟的过程中他们的距离由100米缩短到10米，再由10米缩短到1米，再由1米缩短到0.1米，再由0.1米缩短到0.01米，这样他们的距离就越来越近，越来越近，到后来就近得我们的眼睛都看不出间隔了，那还叫距离吗？那时就追上了。”（全班一阵热烈的掌声）
我大吃一惊：“怎么解释得这么到位呀！”这道题不又是一道极限问题的生活原型吗？
通过这两道极限问题的教学引发了我如下思考：
1.学生的探究潜力是无法估量的。
新课标强调：通过改变教学方式让学生成为学习的主体。在内容合适的情况下，放手让学生自主探究往往会取得意想不到的效果。但不少教师往往不愿放手让学生去探究，一是因为这些探究知识不考，二是担心学生不行，会影响教学进度和效果。实践证明，只要内容合适——属于最近发展区的内容、给足探究的时间和空间，适时点拨，学生不仅能自主探究，而且探究的潜能巨大，发现同样惊人，更有助于培养学生自主探究、自主思考、勇于创新的人格。
2.让“安徒生”参与编写小学数学课本
上下午两道极限问题，显然下午的题目有童话般的情境，更能激发孩子的探究热情，更能激发他们的思维潜能。把小学的数学知识贯穿于一个个童话、故事中，或用趣味数学、“某某猜想”等形式出现，就能把小学所学的数学知识赋予有趣的情境，数学就不再枯燥，也许学生会像喜欢信息技术课那样喜欢上数学课。
3.再抽象的内容，都能用最形象的方法教给每一个学生
受“英雄追不上乌龟”的原理启发，下午我又提出上午1与0.999…的关系问题。
师：结合“英雄追不上乌龟”的道理，想一想，1与0.9相差多少？（0.1），1与0.99的差是多少？（0.01），1与0.999的差是？（0.001），1与0.9999的差是？（0.0001）……你發现什么？
生：随着小数点后面9的个数增多，它与1的差小数点后面的0就越来越多。
师：当小数点后面9的个数无限个呢？
生：差的小数点后面0的个数就是无限个。
师：闭着眼睛想一想，零点几的小数点后面是无限个0，……
师：这不就意味着1与0.999…的差是0了吗？所以1=0.999…现在能理解吗？（很多学生点头）
让小学五年级的学生理解类似于■（1-■）的极限问题很难想象。通过这次教学活动，我深感再深奥的数学知识只要找到了它的生活原型，或者将其转变成小学生看得见、摸得着、理解得了的数学知识，学生不仅易于接受，而且乐于学习、探究，难怪新课标一再强调把数学问题生活化，生活现象数学化。
参考文献：
单新秋.“循环小数”教学实录及评析[J].湖南教育，1999.
编辑 段丽君
关键词：循环小数；商；极限问题
人教版五年级上册“用计算器探究规律”：用计算器计算1÷11，2÷11，3÷11，4÷11，想一想它们的得数有什么规律。你能不用计算直接写出下面各题的得数吗？
5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11
首先学生用计算器算出被除数是1、2、3、4的商：
1÷11=0.0909…
2÷11=0.1818…
3÷11=0.2727…
4÷11=0.3636…
然后请学生观察上述算式，说说你发现了什么？
生：商都是循环小数。
生1：我发现第二个算式的商是第一个算式的2倍。
生2：我发现第三个算式的商是第一个算式的3倍。
生3：我发现第四个算式的商是第一个算式的4倍。
师：谁能说说这是为什么呢？
生3：因为除数都是11，而被除数分别是第一个算式的2倍、3倍、4倍，所以商就是第一个算式的2倍、3倍、4倍。
生4：每个商的循环节末位与被除数相加都是10。
生5：我只需要算出1÷11的商就能写出下面的商，被除数是1的几倍，商就是0.0909…的几倍。
生6：这些商都是循环小数，它们的每个循环节的数字和都是9。
生7：我还发现从上到下循环节的第一位一个比一个大1，第二位一个比一个小1，但每个循环节的数字和是9。
师：根据这些规律，你能不用计算直接写出下面算式的商吗？
5÷11，6÷11，7÷11，8÷11，9÷11
学生兴致勃勃，很快完成，交流时有根有据。我当时看见学生学得比较轻松，就将此题一个即兴发挥：你还能直接写出10÷11、11÷11吗？
“能！”学生一起回答。不一会儿有学生就写出了：
10÷11=0.9090…11÷11=1
这时一个学生举起了手：黄老师我有一个问题，我利用除数不变、被除数扩大几倍商就扩大几倍，11÷11的商就等于0.0909…的11倍，把它的每个循环节乘11得11÷11=0.99…但是11÷11=1，不等于0.99…，这是怎么回事？
全班一下子寂静下来。我也一愣，很快我反应过来——这个问题已经涉及类似于■（1-■）的极限问题。
我知道对于1和0.999…在小学生看来绝对不等。情急之下，我做了如下处理：
师：你们认为1和0.999…之间是什么关系？
生齐答：1>0.999…
师：刚才×××同学根据11是1的11倍，所以11÷11的商也应该是1÷11的商的11倍这个推理过程对不对呢？
少部分学生：也对。
（看来很多同学不敢确信这个商的变化规律了。）
师：肯定没有错的。这样一来1和0.999…都是11÷11的商了。这样就推得1=0.999…（那少部分人带着怀疑的表情点着头）
师：对于这个等式同学们肯定无法理解（学生纷纷点头），但它确实是正确的。你们现在理解不了就不用管它，这是高中数学里的极限问题，你们进了高中之后就明白了。
无独有偶，在当天下午数学第二课堂活动中，一个学生递给我一道数学趣味题，我随手把题目放在展示台上呈现给大家并请大家一起思考：在公元前五世纪，古希腊数学家芝诺提出了数学史上一道著名的难题：
古希腊神话中跑步英雄阿基里斯，他跑得再快也追不上他前面100米的乌龟。他的理由是：假设英雄的速度是乌龟的10倍，当英雄追了100米来到乌龟的出发点时，乌龟已经向前走了100÷10=10（米）当英雄再追10米时乌龟又前进了10÷10=1（米）；当英雄再追1米时，乌龟又前进了1÷10=0.1（米）…这样阿基里斯和乌龟永远相距一段距离，所以总也追不上。你认为阿基里斯能追上乌龟吗？
看完题目学生议论纷纷。
有学生说：照这样看来英雄永远追不上乌龟。
有学生说：按题目讲是追不上，但按照实际讲，应该追得上，跑步英雄追不上乌龟？不可能。
由于题目有趣，所以学生的讨论自然热烈，各种观念互不相让，好几分钟过去了，一女生站起来大声说：“我认为阿基里斯能追上乌龟，因为他在追乌龟的过程中他们的距离由100米缩短到10米，再由10米缩短到1米，再由1米缩短到0.1米，再由0.1米缩短到0.01米，这样他们的距离就越来越近，越来越近，到后来就近得我们的眼睛都看不出间隔了，那还叫距离吗？那时就追上了。”（全班一阵热烈的掌声）
我大吃一惊：“怎么解释得这么到位呀！”这道题不又是一道极限问题的生活原型吗？
通过这两道极限问题的教学引发了我如下思考：
1.学生的探究潜力是无法估量的。
新课标强调：通过改变教学方式让学生成为学习的主体。在内容合适的情况下，放手让学生自主探究往往会取得意想不到的效果。但不少教师往往不愿放手让学生去探究，一是因为这些探究知识不考，二是担心学生不行，会影响教学进度和效果。实践证明，只要内容合适——属于最近发展区的内容、给足探究的时间和空间，适时点拨，学生不仅能自主探究，而且探究的潜能巨大，发现同样惊人，更有助于培养学生自主探究、自主思考、勇于创新的人格。
2.让“安徒生”参与编写小学数学课本
上下午两道极限问题，显然下午的题目有童话般的情境，更能激发孩子的探究热情，更能激发他们的思维潜能。把小学的数学知识贯穿于一个个童话、故事中，或用趣味数学、“某某猜想”等形式出现，就能把小学所学的数学知识赋予有趣的情境，数学就不再枯燥，也许学生会像喜欢信息技术课那样喜欢上数学课。
3.再抽象的内容，都能用最形象的方法教给每一个学生
受“英雄追不上乌龟”的原理启发，下午我又提出上午1与0.999…的关系问题。
师：结合“英雄追不上乌龟”的道理，想一想，1与0.9相差多少？（0.1），1与0.99的差是多少？（0.01），1与0.999的差是？（0.001），1与0.9999的差是？（0.0001）……你發现什么？
生：随着小数点后面9的个数增多，它与1的差小数点后面的0就越来越多。
师：当小数点后面9的个数无限个呢？
生：差的小数点后面0的个数就是无限个。
师：闭着眼睛想一想，零点几的小数点后面是无限个0，……
师：这不就意味着1与0.999…的差是0了吗？所以1=0.999…现在能理解吗？（很多学生点头）
让小学五年级的学生理解类似于■（1-■）的极限问题很难想象。通过这次教学活动，我深感再深奥的数学知识只要找到了它的生活原型，或者将其转变成小学生看得见、摸得着、理解得了的数学知识，学生不仅易于接受，而且乐于学习、探究，难怪新课标一再强调把数学问题生活化，生活现象数学化。
参考文献：
单新秋.“循环小数”教学实录及评析[J].湖南教育，1999.
编辑 段丽君