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摘要：在《常微分方程》课程的实践环节中，为了激发学生的学习热情，培养学生的自主创新能力，笔者总结归纳了一个行之有效的“案例专题化”教学法。通过前期充分的教学准备，实施中让学生“读问题—找方法—做问题—解决问题”，实质性地提高了实践环节的教学效果。
关键词：实践环节；案例专题化；教学法
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0050-02
一、引言
《常微分方程》是高等院校数学类专业的一门应用性较强的基础课，但因其公式推导繁多，计算量偏大、理论性问题多，很容易让学生感觉枯燥、疲劳。随着现代教学方法的发展，特别是计算机多媒体等教学工具的引入，使得这门应用数学中最古老，但一直充满活力的学科的教学方法更加丰富，在教学效果上有了质的提高。现在国内外许多高校在开设这门理论课的同时，都相应地配套一个实践性教学环节，或称为《微分方程课程设计》、《微分方程数值解》等。通过专门编订教学指导书或教学计划，结合数学实验软件（如MATLAB、Mathematic或Maple），将理论课中相应内容通过图像直观展示，加深对问题的理解，同时拓宽应用知识的学习，如问题求解的编程实现、数值算法的精度分析等。理论教学可以训练学生的逻辑思维能力、计算推导和定性分析能力，实践环节能够帮助学生直观分析理解问题、提高学生计算机操作能力、增强学生理论联系实际解决问题的能力。在实际教学过程中，这种理论与实践相结合的教学，的确取得了很好的教学效果，激发了学生的学习热情，提高了学生的认知能力和动手能力。
通过几年的教学总结，我们发现实践环节教学的方式方法还存在许多可以提升的空间。比如，在《微分方程课程设计》的指导书中，算法的分析、结果显示主要针对一些普通微分方程例子，而那些生活中的实际问题所占比例并不多，不能很好地体现《常微分方程》“应用性较强”的课程性质，同时也难以在培养学生的分析问题和处理问题的能力上收到更好的教学效果。于是，我们通过收集大量应用案例问题，将其整理、归类并分散到各个实践小环节中去，让学生先“读问题”，然后“找方法”，再到“做问题”，最后“解决问题”。这也就是我们的“案例专题化”教学法的基本应用过程的简单概括。
二、实施前期准备
1.更新观念，集思广益，优化大纲。在实践课中，老师已不再是高高在上的“师者”，不再仅仅是“传道、授业、解惑”，我们要让学生变“俯首听命”为“操刀上阵”！上世纪70～80年代，英国学者劳伦斯首倡“教师作为研究者”的理论。他提倡教师在教学上采用探究的方法，而不是采用讲授、指导的方法，教师应以学习者和研究者的身份出现，而不是以经验和技术型专家的身份出现。随着教育改革的深入，这样的观点受到越来越多人的认可。为了让学生更好地在实践环节中“学以致用”，老师必须在实践环节中做“顾问参谋”，师生协调共同参与“案例专题”的分析处理。我们咨询了许多有多年讲授经验的同事，并对国内外多种教材进行了分析，比如美国经典教材，就采用先给出应用案例再进行理论分析的模式，国内王高雄老师等编的《常微分方程》第三版教材[1]的绪论以及各章中都引入了大量实例，同时增补了数值计算章节。因此，我们对实践环节的教学大纲进行优化改进，将算法的讲解部分压缩，留出足够时间让学生来“讲问题，做问题”。
2.资料收集，整合归类，合理分布。比如，通过对同步教材中的例子的整理，其中物体冷却过程的数学建模问题，因其构建的方程是比较简单的一阶方程，我们将其作为实践课程的第一个基本案例，并设定要求用至少两类基本Euler法求解，并用图像来展示，分析其结果的差异，并给出合理的解释。又比如，大纲中微分方程组的数值处理部分，我们选取生物学中的两物种捕食模型和三物种食物链模型的案例来组织。在讲解Runge-Kutta方法时，预设“刚性问题求解”的案例，以两类高阶方程为例，对比选择一个非刚性方程问题（如：数学摆）和一个刚性方程问题（如：Van-del-Pol方程）。这是前期教学准备工作的关键，大量收集并对案例进行分类整理，归类划分，建立充实的案例专题库，并能实时更新补充。
3.动态调控，精选方案，优化过程。前苏联大教育家巴班斯基，提出教学过程最优化的理论[2]，他把教学过程最优化理解为：教师有目的地选定一种建立教学过程的最佳方案，保证在规定时间内解决教养和教育学生的任务，并取得尽可能最大的效果。他特别强调了五个不可或缺的最优化因素中的关键是选择最佳方案，其本质是获取最优效果。我们在实践教学过程中，充分调动学生的主观能动性，还会根据学生的学习实际情况，及时调控案例任务，在案例专题库中选调更优案例，优化实践环节的教学过程。
三、实际操作
实践环节的课程设计与《常微分方程》同步进行，授课对象是大二的本科生，已经修过《数学实验》[3]或类似课程，在数学实验中具备了基本的算法分析能力和动手编程能力[4]。因此，实践环节中，根据大纲章节顺序有层次、由浅入深地布置案例题，让学生按照“读问题—找方法—做问题—解决问题”的步骤进行学习和自我学习，让学生在对案例专题的探讨过程中，学会基本数值算法，思考、分析问题，然后去求解问题。
1.读问题。每一个案例，它首先是一个应用题，要求学生读懂它，让他们自己去回答“问题是什么，做什么，要求怎么做”，以分组或个人的形式去分析案例，并按照案例中的问题和要求去思考，使学生主动咨询和收集相关资料，为下一步工作做好准备。
2.找方法。“工欲善其事，必先利其器”，让学生对案例中引出的数值处理方法进行学习，然后用来处理案例。案例中提出需要用到的方法，正是大纲中要求的相应数值方法的学习内容。比如，在“用后退Euler法来分析Logistic模型初值问题”中，要求学生首先主动学习Euler法，然后有目的去分析对比几类Euler法，理解并采纳具有绝对稳定性的后退Euler法来解决问题。又比如，“一类化学方程的刚性问题的Runge-Kutta方法处理策略”中，自然要对Runge-Kutta方法了解深入透彻。
3.做问题。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生学会方法之后，重点就是针对问题去认认真真地做，这也是我们实践课的重要目标之一。在做的过程中，严格执行学生自己完成任务的要求，可以适当放宽时限。另外，可以让学生课堂上汇报自己的进程、结果，这也起到督促作用，同时还能激励他们主动学习。
4.解决问题。这是案例专题的最后一环，不可忽视它的重要作用。一方面，问题的解决需要进行上机检验，可以用现场操作、实验报告等方式展示结果，也便于老师评价打分；另一方面，解决问题后的反思总结不可或缺，可以让学生对所学知识有个很及时的“反刍消化”过程。
四、结束语
坚持以人为本，加强培养创新意识，运用多种方式着力培养学生的学习主动性，一直是《常微分方程》的实践教学环节的教学改革目标。“案例专题化”的教学方法，由“案例引方法”再“用方法做案例”，以学生为主体，教师做“顾问”，在实践环节的具体教学过程中，有效地激发了学生去快乐学习、主动学习和创新性学习。
参考文献：
[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2010.
[2]俞国良.当代青少年心理与教育大辞典[M].太原：山西人民出版社，1999：442.
[3]张智丰.数学实验[M].北京：科学出版社，2008
[4]张小红.将数学实验的思想融入数学类课程[C]//大学数学课程报告论坛论文集.北京：高等教育出版社，2007：254-256.
基金项目：杭州电子科技大学高等教育研究项目（ZC1104）和重点研究项目（ZD1201）
关键词：实践环节；案例专题化；教学法
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0050-02
一、引言
《常微分方程》是高等院校数学类专业的一门应用性较强的基础课，但因其公式推导繁多，计算量偏大、理论性问题多，很容易让学生感觉枯燥、疲劳。随着现代教学方法的发展，特别是计算机多媒体等教学工具的引入，使得这门应用数学中最古老，但一直充满活力的学科的教学方法更加丰富，在教学效果上有了质的提高。现在国内外许多高校在开设这门理论课的同时，都相应地配套一个实践性教学环节，或称为《微分方程课程设计》、《微分方程数值解》等。通过专门编订教学指导书或教学计划，结合数学实验软件（如MATLAB、Mathematic或Maple），将理论课中相应内容通过图像直观展示，加深对问题的理解，同时拓宽应用知识的学习，如问题求解的编程实现、数值算法的精度分析等。理论教学可以训练学生的逻辑思维能力、计算推导和定性分析能力，实践环节能够帮助学生直观分析理解问题、提高学生计算机操作能力、增强学生理论联系实际解决问题的能力。在实际教学过程中，这种理论与实践相结合的教学，的确取得了很好的教学效果，激发了学生的学习热情，提高了学生的认知能力和动手能力。
通过几年的教学总结，我们发现实践环节教学的方式方法还存在许多可以提升的空间。比如，在《微分方程课程设计》的指导书中，算法的分析、结果显示主要针对一些普通微分方程例子，而那些生活中的实际问题所占比例并不多，不能很好地体现《常微分方程》“应用性较强”的课程性质，同时也难以在培养学生的分析问题和处理问题的能力上收到更好的教学效果。于是，我们通过收集大量应用案例问题，将其整理、归类并分散到各个实践小环节中去，让学生先“读问题”，然后“找方法”，再到“做问题”，最后“解决问题”。这也就是我们的“案例专题化”教学法的基本应用过程的简单概括。
二、实施前期准备
1.更新观念，集思广益，优化大纲。在实践课中，老师已不再是高高在上的“师者”，不再仅仅是“传道、授业、解惑”，我们要让学生变“俯首听命”为“操刀上阵”！上世纪70～80年代，英国学者劳伦斯首倡“教师作为研究者”的理论。他提倡教师在教学上采用探究的方法，而不是采用讲授、指导的方法，教师应以学习者和研究者的身份出现，而不是以经验和技术型专家的身份出现。随着教育改革的深入，这样的观点受到越来越多人的认可。为了让学生更好地在实践环节中“学以致用”，老师必须在实践环节中做“顾问参谋”，师生协调共同参与“案例专题”的分析处理。我们咨询了许多有多年讲授经验的同事，并对国内外多种教材进行了分析，比如美国经典教材，就采用先给出应用案例再进行理论分析的模式，国内王高雄老师等编的《常微分方程》第三版教材[1]的绪论以及各章中都引入了大量实例，同时增补了数值计算章节。因此，我们对实践环节的教学大纲进行优化改进，将算法的讲解部分压缩，留出足够时间让学生来“讲问题，做问题”。
2.资料收集，整合归类，合理分布。比如，通过对同步教材中的例子的整理，其中物体冷却过程的数学建模问题，因其构建的方程是比较简单的一阶方程，我们将其作为实践课程的第一个基本案例，并设定要求用至少两类基本Euler法求解，并用图像来展示，分析其结果的差异，并给出合理的解释。又比如，大纲中微分方程组的数值处理部分，我们选取生物学中的两物种捕食模型和三物种食物链模型的案例来组织。在讲解Runge-Kutta方法时，预设“刚性问题求解”的案例，以两类高阶方程为例，对比选择一个非刚性方程问题（如：数学摆）和一个刚性方程问题（如：Van-del-Pol方程）。这是前期教学准备工作的关键，大量收集并对案例进行分类整理，归类划分，建立充实的案例专题库，并能实时更新补充。
3.动态调控，精选方案，优化过程。前苏联大教育家巴班斯基，提出教学过程最优化的理论[2]，他把教学过程最优化理解为：教师有目的地选定一种建立教学过程的最佳方案，保证在规定时间内解决教养和教育学生的任务，并取得尽可能最大的效果。他特别强调了五个不可或缺的最优化因素中的关键是选择最佳方案，其本质是获取最优效果。我们在实践教学过程中，充分调动学生的主观能动性，还会根据学生的学习实际情况，及时调控案例任务，在案例专题库中选调更优案例，优化实践环节的教学过程。
三、实际操作
实践环节的课程设计与《常微分方程》同步进行，授课对象是大二的本科生，已经修过《数学实验》[3]或类似课程，在数学实验中具备了基本的算法分析能力和动手编程能力[4]。因此，实践环节中，根据大纲章节顺序有层次、由浅入深地布置案例题，让学生按照“读问题—找方法—做问题—解决问题”的步骤进行学习和自我学习，让学生在对案例专题的探讨过程中，学会基本数值算法，思考、分析问题，然后去求解问题。
1.读问题。每一个案例，它首先是一个应用题，要求学生读懂它，让他们自己去回答“问题是什么，做什么，要求怎么做”，以分组或个人的形式去分析案例，并按照案例中的问题和要求去思考，使学生主动咨询和收集相关资料，为下一步工作做好准备。
2.找方法。“工欲善其事，必先利其器”，让学生对案例中引出的数值处理方法进行学习，然后用来处理案例。案例中提出需要用到的方法，正是大纲中要求的相应数值方法的学习内容。比如，在“用后退Euler法来分析Logistic模型初值问题”中，要求学生首先主动学习Euler法，然后有目的去分析对比几类Euler法，理解并采纳具有绝对稳定性的后退Euler法来解决问题。又比如，“一类化学方程的刚性问题的Runge-Kutta方法处理策略”中，自然要对Runge-Kutta方法了解深入透彻。
3.做问题。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生学会方法之后，重点就是针对问题去认认真真地做，这也是我们实践课的重要目标之一。在做的过程中，严格执行学生自己完成任务的要求，可以适当放宽时限。另外，可以让学生课堂上汇报自己的进程、结果，这也起到督促作用，同时还能激励他们主动学习。
4.解决问题。这是案例专题的最后一环，不可忽视它的重要作用。一方面，问题的解决需要进行上机检验，可以用现场操作、实验报告等方式展示结果，也便于老师评价打分；另一方面，解决问题后的反思总结不可或缺，可以让学生对所学知识有个很及时的“反刍消化”过程。
四、结束语
坚持以人为本，加强培养创新意识，运用多种方式着力培养学生的学习主动性，一直是《常微分方程》的实践教学环节的教学改革目标。“案例专题化”的教学方法，由“案例引方法”再“用方法做案例”，以学生为主体，教师做“顾问”，在实践环节的具体教学过程中，有效地激发了学生去快乐学习、主动学习和创新性学习。
参考文献：
[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2010.
[2]俞国良.当代青少年心理与教育大辞典[M].太原：山西人民出版社，1999：442.
[3]张智丰.数学实验[M].北京：科学出版社，2008
[4]张小红.将数学实验的思想融入数学类课程[C]//大学数学课程报告论坛论文集.北京：高等教育出版社，2007：254-256.
基金项目：杭州电子科技大学高等教育研究项目（ZC1104）和重点研究项目（ZD1201）