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摘要：在简谐运动中，若以平衡位置作为总势能的零势能面，系统所具有的总势能与位移的平方成正比，表达式为Ep=■kx2。
关键词：势能零势能面
在简谐运动的规律研究中，回复力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，表达式为F回=-kx。在位移变化的过程中，势能和动能相互转化。目前我们只是对势能的变化作定性的分析，当定量分析问题时，总是对重力势能、弹性势能、动能分别进行研究，比较复杂。笔者认为，既然重力势能和弹性势能统称为势能，那么分析问题时是否可以把它们作为一个整体进行分析呢？重力势能、弹性势能和偏离平衡位置的位移之间是否也存在某种定量关系呢？研究之后，笔者发现可以用Ep=■kx2来表示重力势能与弹性势能的值。以下笔者通过弹簧振子和单摆这两个典型的简谐运动模型，来阐述这个定量关系。
一、弹簧振子
1.水平方向上的弹簧振子
如图2发生的位移为x，系统具有的弹性势能为Ep=■kx2，若位移与图示方向相反也满足这个关系。这个情景很容易得到以平衡位置作为总势能的零势能面，此时系统所具有的总势能为Ep=■kx2。
2.竖直方向上的弹簧振子
在这个模型中，存在着动能、弹性势能、重力势能三者之间的转化。总的来讲，可以理解为动能和势能间的相互转化。当振子从平衡位置开始运动时，动能向势能转化，增加的势能为多少呢？
第一种情形：位移向下，如图4。
先结合图3求振子在平衡位置时弹簧的形变量，进而分析这个过程中系统总势能的增加量。
k△x=mg-----①
由图4分析，求系统增加的总势能。
弹性势能的增加量：Ep1=■k（△x x）2-■k△x2，重力势能的减少量： Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：
Ep1-Ep2=■kx2--------②
以平衡位置作为总势能的零势能面，②式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
第二种情形：位移向上，大小小于振子在平衡位置时弹簧的形变量，如图5。
弹性势能的减少量：Ep1=■k△x2-■k(△x-x)2，重力势能的增加量：Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：Ep1-Ep2=■kx2----------③
以平衡位置作为总势能的零势能面，③式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
第三种情形：位移向上，大小等于振子在平衡位置时弹簧的形变量，如图6。
弹性势能的减少量：Ep1=■k△x2，重力势能的增加量：Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：Ep1-Ep2=k△xx-■k△x2
又偏离平衡位置位移的大小x=△x，有:Ep1-Ep2=■kx2---④
以平衡位置作为总势能的零势能面，④式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
第四种情形：位移向上，大小大于振子在平衡位置时弹簧的形变量，如图7。
弹性势能的减少量：Ep1=■k△x2-■k(△x-x)2，重力势能的增加量：Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：Ep1-Ep2=■kx2-------⑤
以平衡位置作为总势能的零势能面，⑤式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
以平衡位置作为系统总势能的零势能面，上面分析的弹簧振子的几种情形中，总势能的增加量可理解为振子发生位移x时，系统所具有的势能，且有势能的大小与振子位移大小的平方成正比，表达式为：Ep=■kx2。在弹簧振子模型中k为弹簧的倔强系数。
二、单摆（偏角不大于5°）
在单摆模型中小球摆动时，动能和势能相互转化。若以最低点即平衡位置作为重力势能的零势能面，当小球发生的位移如图8所示时，此时系统具有的重力势能也称之为系统总势能，为:Ep=mgxsinθ(sinθ=■l)
Ep=■mg■--------⑥
在单摆模型中有：F回=-kx
系数 ：k=■-----⑦
将⑦式代入⑥式得：Ep=■kx2
这里表明若以平衡位置作为重力势能的零势能面，当摆球发生位移x时，单摆系统所具有的势能的大小也与位移的平方成正比，表达式为：Ep=■kx2(k=mgL)。
总结：其他简谐运动莫过于上述两个基本模型的变形，如果选取平衡位置作为总势能的零势能面，系统所具有的总势能与位移的平方成正比。表达式为：Ep=■kx2。这里k为比例系数（弹簧振子模型中k为弹簧的倔强系数，单摆模型中k=mg/L）。展开一下，当振子或小球处于最大位移处，此时系统的机械能全部以势能的形式体现出来，有：Ep=■kA2。
若要求发生位移x时对应的速度的大小，由机械能守恒定律得：■kA2=■kx2 ■mv2
■mv2=■kA2-■kx2
v=■
此不失为解决简谐运动中有关动能或速度问题的一柄利刃。
（作者单位：江苏省江安高级中学）
关键词：势能零势能面
在简谐运动的规律研究中，回复力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，表达式为F回=-kx。在位移变化的过程中，势能和动能相互转化。目前我们只是对势能的变化作定性的分析，当定量分析问题时，总是对重力势能、弹性势能、动能分别进行研究，比较复杂。笔者认为，既然重力势能和弹性势能统称为势能，那么分析问题时是否可以把它们作为一个整体进行分析呢？重力势能、弹性势能和偏离平衡位置的位移之间是否也存在某种定量关系呢？研究之后，笔者发现可以用Ep=■kx2来表示重力势能与弹性势能的值。以下笔者通过弹簧振子和单摆这两个典型的简谐运动模型，来阐述这个定量关系。
一、弹簧振子
1.水平方向上的弹簧振子
如图2发生的位移为x，系统具有的弹性势能为Ep=■kx2，若位移与图示方向相反也满足这个关系。这个情景很容易得到以平衡位置作为总势能的零势能面，此时系统所具有的总势能为Ep=■kx2。
2.竖直方向上的弹簧振子
在这个模型中，存在着动能、弹性势能、重力势能三者之间的转化。总的来讲，可以理解为动能和势能间的相互转化。当振子从平衡位置开始运动时，动能向势能转化，增加的势能为多少呢？
第一种情形：位移向下，如图4。
先结合图3求振子在平衡位置时弹簧的形变量，进而分析这个过程中系统总势能的增加量。
k△x=mg-----①
由图4分析，求系统增加的总势能。
弹性势能的增加量：Ep1=■k（△x x）2-■k△x2，重力势能的减少量： Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：
Ep1-Ep2=■kx2--------②
以平衡位置作为总势能的零势能面，②式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
第二种情形：位移向上，大小小于振子在平衡位置时弹簧的形变量，如图5。
弹性势能的减少量：Ep1=■k△x2-■k(△x-x)2，重力势能的增加量：Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：Ep1-Ep2=■kx2----------③
以平衡位置作为总势能的零势能面，③式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
第三种情形：位移向上，大小等于振子在平衡位置时弹簧的形变量，如图6。
弹性势能的减少量：Ep1=■k△x2，重力势能的增加量：Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：Ep1-Ep2=k△xx-■k△x2
又偏离平衡位置位移的大小x=△x，有:Ep1-Ep2=■kx2---④
以平衡位置作为总势能的零势能面，④式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
第四种情形：位移向上，大小大于振子在平衡位置时弹簧的形变量，如图7。
弹性势能的减少量：Ep1=■k△x2-■k(△x-x)2，重力势能的增加量：Ep2=mgx
结合①式得总势能的增加量：Ep1-Ep2=■kx2-------⑤
以平衡位置作为总势能的零势能面，⑤式可简写为Ep=■kx2，表示发生位移x时系统所具有的势能。
以平衡位置作为系统总势能的零势能面，上面分析的弹簧振子的几种情形中，总势能的增加量可理解为振子发生位移x时，系统所具有的势能，且有势能的大小与振子位移大小的平方成正比，表达式为：Ep=■kx2。在弹簧振子模型中k为弹簧的倔强系数。
二、单摆（偏角不大于5°）
在单摆模型中小球摆动时，动能和势能相互转化。若以最低点即平衡位置作为重力势能的零势能面，当小球发生的位移如图8所示时，此时系统具有的重力势能也称之为系统总势能，为:Ep=mgxsinθ(sinθ=■l)
Ep=■mg■--------⑥
在单摆模型中有：F回=-kx
系数 ：k=■-----⑦
将⑦式代入⑥式得：Ep=■kx2
这里表明若以平衡位置作为重力势能的零势能面，当摆球发生位移x时，单摆系统所具有的势能的大小也与位移的平方成正比，表达式为：Ep=■kx2(k=mgL)。
总结：其他简谐运动莫过于上述两个基本模型的变形，如果选取平衡位置作为总势能的零势能面，系统所具有的总势能与位移的平方成正比。表达式为：Ep=■kx2。这里k为比例系数（弹簧振子模型中k为弹簧的倔强系数，单摆模型中k=mg/L）。展开一下，当振子或小球处于最大位移处，此时系统的机械能全部以势能的形式体现出来，有：Ep=■kA2。
若要求发生位移x时对应的速度的大小，由机械能守恒定律得：■kA2=■kx2 ■mv2
■mv2=■kA2-■kx2
v=■
此不失为解决简谐运动中有关动能或速度问题的一柄利刃。
（作者单位：江苏省江安高级中学）