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在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高同学们分析问题和解决问题的能力是大有帮助的，下面就讲解几种圆中常用辅助线的添法。
一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径），或连结过弦的端点的半径.
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，再根据勾股定理求有关量.
例1 如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D二点.求证：AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB于E，
∵O为圆心，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.
例2 如图2，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：[AC]=[BD].
证明：连结OC，OD，
∵M，N分别是AO，BO的中点，AO=BO，
∴OM=ON，
又CM⊥OA，DN⊥OB，OC=OD，
∴Rt△COM≌Rt△DON，
∴∠COA=∠DOB，
∴[AC]=[BD].
例3 如图3，已知M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM.
证明：连结OM，ON，MN，
∵O为圆心，M，N分别是弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵AB=CD，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM.
二、当题目已知直径时，常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形；当题目已知有90°的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端，利用圆周角的性质得到直径.
例4 如图4，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC.
证明：连结AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADP=90°，
又AC=PC，
∴AC=CD=[ 1
2 ]AP.
三、遇到等弧时，常作的辅助线有这么几种：①作等弧所对的弦；②作等弧所对的圆心角；③作等弧所对的圆周角.
例5 如图5，已知在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=[ 1
2 ]AD.
证明：作直径CF，连结DF，BF，AD，
∵CF为⊙O的直径，
∴CD⊥FD，
∵CD⊥AB，
∴AB∥DF，
∴[AD]=[BF]，
∴AD=BF，
又OE⊥BC，且O为圆心，CO=FO，
∴CE=BE，
∴OE=[ 1
2 ]BF=[ 1
2 ]AD.
四、遇到题目中已知有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点），利用切线的性质定理，得到直角或直角三角形.
例6 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD的长.
解：连结OE，则OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴[ OE
BC ]=[ AO
AB ]，
∵AO=AB-OB，OB=OE
∴[ OE
BC ]=[ AB-OE
AB ]，
在Rt△ABC中，AB=[AC2 BC2] =[122 92] =15，
∴[ OE
9 ]=[ 15-OE
15 ]，
解得OE=[ 45
8 ]，
∴BD=2OB=2OE=[ 45
4 ]，
∴AD=AB-DB=15-[ 45
4 ]=[ 15
4 ].
答：AD的长为[ 15
4 ].
五、遇到需要证明某一直线是圆的切线时，
①当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；
例7 如图7，点P是⊙O的弦CB延长线上的一点，点A在⊙O上，且∠BAP=∠C.求证：PA是⊙O的切线.
证明：作⊙O的直径AD，连结BD，则∠C=∠D，∠ABD=90°，即∠D ∠BAD=90°，
∴∠C ∠BAD=90°，
∵∠C=∠BAP，
∴∠BAD ∠BAP=90°.
即PA⊥DA，所以PA为⊙O的切线.
②如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例8 如图8，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC BD=AB，求证：直线L与⊙O相切.
证明：过O作OE⊥L于E，
∵O是AB的中点，且AC∥BD∥OE，
∴OE是梯形ACDB的中位线，
∴OE=[ 1
2 ]（AC BD），
又AC BD=AB，
∴OE=[ 1
2 ]AB.
∴OE是⊙O的半径，
∴直线L是⊙O的切线.
六、当圆上有四点时，常构造圆内接四边形.
例9 如图9，△ABC内接于⊙O，F是BA延长线上的一点.直线DA平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC=AD·AE.
证明：连结BE，
∵∠1=∠3，∠2=∠1，
∴∠3=∠2，
∵四边形ACBE为圆内接四边形，
∴∠ACD=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴[ AE
AC ]=[ AB
AD ]，
∴AB·AC=AD·AE.
一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径），或连结过弦的端点的半径.
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，再根据勾股定理求有关量.
例1 如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D二点.求证：AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB于E，
∵O为圆心，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.
例2 如图2，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：[AC]=[BD].
证明：连结OC，OD，
∵M，N分别是AO，BO的中点，AO=BO，
∴OM=ON，
又CM⊥OA，DN⊥OB，OC=OD，
∴Rt△COM≌Rt△DON，
∴∠COA=∠DOB，
∴[AC]=[BD].
例3 如图3，已知M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM.
证明：连结OM，ON，MN，
∵O为圆心，M，N分别是弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵AB=CD，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM.
二、当题目已知直径时，常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形；当题目已知有90°的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端，利用圆周角的性质得到直径.
例4 如图4，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC.
证明：连结AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADP=90°，
又AC=PC，
∴AC=CD=[ 1
2 ]AP.
三、遇到等弧时，常作的辅助线有这么几种：①作等弧所对的弦；②作等弧所对的圆心角；③作等弧所对的圆周角.
例5 如图5，已知在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=[ 1
2 ]AD.
证明：作直径CF，连结DF，BF，AD，
∵CF为⊙O的直径，
∴CD⊥FD，
∵CD⊥AB，
∴AB∥DF，
∴[AD]=[BF]，
∴AD=BF，
又OE⊥BC，且O为圆心，CO=FO，
∴CE=BE，
∴OE=[ 1
2 ]BF=[ 1
2 ]AD.
四、遇到题目中已知有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点），利用切线的性质定理，得到直角或直角三角形.
例6 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD的长.
解：连结OE，则OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴[ OE
BC ]=[ AO
AB ]，
∵AO=AB-OB，OB=OE
∴[ OE
BC ]=[ AB-OE
AB ]，
在Rt△ABC中，AB=[AC2 BC2] =[122 92] =15，
∴[ OE
9 ]=[ 15-OE
15 ]，
解得OE=[ 45
8 ]，
∴BD=2OB=2OE=[ 45
4 ]，
∴AD=AB-DB=15-[ 45
4 ]=[ 15
4 ].
答：AD的长为[ 15
4 ].
五、遇到需要证明某一直线是圆的切线时，
①当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；
例7 如图7，点P是⊙O的弦CB延长线上的一点，点A在⊙O上，且∠BAP=∠C.求证：PA是⊙O的切线.
证明：作⊙O的直径AD，连结BD，则∠C=∠D，∠ABD=90°，即∠D ∠BAD=90°，
∴∠C ∠BAD=90°，
∵∠C=∠BAP，
∴∠BAD ∠BAP=90°.
即PA⊥DA，所以PA为⊙O的切线.
②如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例8 如图8，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC BD=AB，求证：直线L与⊙O相切.
证明：过O作OE⊥L于E，
∵O是AB的中点，且AC∥BD∥OE，
∴OE是梯形ACDB的中位线，
∴OE=[ 1
2 ]（AC BD），
又AC BD=AB，
∴OE=[ 1
2 ]AB.
∴OE是⊙O的半径，
∴直线L是⊙O的切线.
六、当圆上有四点时，常构造圆内接四边形.
例9 如图9，△ABC内接于⊙O，F是BA延长线上的一点.直线DA平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC=AD·AE.
证明：连结BE，
∵∠1=∠3，∠2=∠1，
∴∠3=∠2，
∵四边形ACBE为圆内接四边形，
∴∠ACD=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴[ AE
AC ]=[ AB
AD ]，
∴AB·AC=AD·AE.