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在深圳举行的第十四届小学数学教学改革观摩交流展示活动中，我们有机会欣赏了北京大学附属小学杨重生老师执教的“认识平均数”。杨老师在课堂设计中针对小学数学教学的核心内容——统计与概率，基于数据收集、整理与表达，根据核心知识共同拥有的本质属性和相同的逻辑关系，确定了挑战性的学习主题——“认识平均数”。然后，利用统计量“平均数”的学习，培养了学生的数据分析观念，同时感悟了统计的意义。整节课，在杨老师引领下，学生围绕挑战性的学习主题，全身心积极参与，在活动中体验成功，获得发展;学生积极开展从具体到抽象、几何直观、数据分析和问题解决为重点的思维活动，获得了基本的统计知识和技能。此外，这节课着重培养了学生的统计意识和数据分析观念，发展了核心素养，使他们习得了高级思维能力。
一、针对挑战性学习主题，创设问题情境
小学数学深度学习主题教学活动的设计与组织是学生达成深度学习的关键，其要求在整体分析学习主题和确定目标的基础上，对于重点体现单元目标的内容进行深度学习的设计。要着重围绕核心内容，选择挑战性的学习主题，聚焦核心素养的培养，设计引发学生参与和思考的教学活动。教学设计的突破口是针对学习主题和学生学习特征来创设问题情境。问题情境要紧紧围绕挑战性的学习主题，要通过核心知识的学习引发学生深度思考，发展高阶思维。依托问题情境，还应提出能引发学生深度思考的关键问题，进而围绕关键问题进行深度探究。在“认识平均数”一课中，杨老师针对挑战性的学习主题，创设了主题问题情境，在教学中达成了教学目标，促进了学生的深度学习。
师：《稻草人》好看吗？请你根据对书的喜爱程度打分，最高10分。（分别出示课前五位同学的打分，6分、9分、9分、7分、9分）
师：你从这五位同学的打分中了解到了什么？
生：有三个同学打9分，说明这本书还是比较好看的。
生：还有两个同学分别打6分、7分，他们认为没有那么好看，但是我觉得从整体上来看这本书值得推荐的。
师：这五位同学的打分高低不一样，（出示条形图）认真观察数据，能不能用一个数来代表这五位同学对这本书的喜爱程度？可以在学习单可以写一写、画一画，找到这个数后请写在卡片上。
生：（空白卡片）我什么也没有写，因为有很多数都可以代表这五位同学的想法。
师：真是这样吗？请你们说一说这是为什么。
生：数字9，因为数字9出现的次数最多，可以代表大多数同学的想法。
生：數字9，只能代表三个同学的想法，还有两个打6分和7分的同学不能代表。
生：数字40，把五位同学的打分加起来。
生：对这本故事书的打分最高是10分，40超过10，不能代表五位同学的想法，不是特别合适。
生：数字8。
师：数字8是怎么来的？
生：用画一画、移一移的方式变得一样了。（学生在条形图上画一画连线表示移多补少;移动实物磁扣演示移多补少）
生：数字8很合适地代表了这五位同学的喜爱程度。
师：这种方法叫移多补少的方法，还有其他方法吗？
生：用计算的方法，（6+9+9+7+9）÷ 5 = 8。（课件演示把所有的磁扣加起来平均分成5份）
师：刚才我们用移多补少的方法和计算的方法找到的这个数叫做平均数。用这个平均数可以代表五位同学的喜爱程度，平均数不仅能代表全体人的意见，它还能用统计的方法解决问题。
数学深度学习是教师引导学生主动参与的学习过程，学习不是被动的，而是自觉地想问题。深度学习是触及学生心灵的过程，在这个过程中看到他们兴趣的萌发，学习的自信。学生的深度学习来源于教师对深度学习情境的设计，学生对数学核心概念的理解在问题中思考，活动中探究。在课堂上，杨老师为了激活学生的思维和情感，精心创设了给故事书《稻草人》打分的问题情境，这个设计引发出学生深度思考的关键问题：认真观察数据，能不能用一个数来代表这五位学生对这本书的喜爱程度？然后，组织学生围绕这个关键问题进行深度探究。通过写一写、画一画、移一移、说一说等方式，使他们把握了数学的本质，深度理解了平均数的代表性和随机性。
二、聚焦数学核心知识，组织深度探究活动
北京市著名特级教师吴正宪认为：“数学是有联系的、数学是有结构的、数学是有系统的，繁杂的知识中一定会有一些核心的概念统领，抓住了关键问题，抓住这个知识的‘牛鼻子’，达到举一反三、触类旁通、纲举目张。”小学数学深度学习以数学学科的核心内容为线索，从核心内容出发，提炼出具有挑战性的主题。这样做的目的是把数学教学的重点放在主题所反映的核心知识和方法思维上，在促进学生理解和掌握知识的过程中，培养其数学思维能力和解决问题的能力。聚焦数学核心内容的教学设计，可以实现“用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题的表面覆盖”。在本节课中，杨老师就引领学生聚焦核心知识，组织了深度探究活动。
师：我们推荐班上唱歌比较好的两名同学，给大家唱歌。同学们，请听一下这首歌大约唱了多少秒，把你估计的整秒数写在小卡片上。（用秒表计时，并收集全班学生的记录数据）
师：大家估计的时间差异还挺大呢，这里面肯定有同学估计得比较准。请大家仔细想一想，怎么才能让我们的估计更准呢？
生：看看我们班估计时长的平均数会不会与这个真实的数据9.52秒接近。
师：同学们猜一猜我们班的平均数与真实数据比较近还是比较远？
生：我觉得比较近，相差1～2秒。
生：我觉得比较远，相差3～4秒。
师：把同学们的数据录入电脑里面，我们一起看看。（录入数据的同时，课件显示录入数据的平均数，录完数据，全班的平均数是11.08）
师：全班的平均数是11.08秒，与真实的数据9.52秒比较接近了。 生：这个平均数很神奇。
师：你对平均数还有什么新认识？
生：平均数到最后才能确定，与每一个数据都有关系。
生：有的数据过大，有的数据过小，但是平均数还是比较接近真实数据的。
师：神奇的平均数还可以帮助我们估计时间。
小学数学深度学习围绕具有挑战性的学习主题展开，学习主题以数学核心内容均是确定的。核心内容会有一个基本的、反映其学科本质的特征，而这些特征往往反映的是数学学科的基本思想和方法，是发展学生数学学科核心素养的关键。本单元确定的学习主题的核心素养是具备数据分析观念，感悟统计的意义。因此，在杨老师的教学中，学生经历了收集数据、整理数据、分析数据的过程，体会到了数据是有信息的。他们通过数据分析得出了有价值的结论，让统计更好地为我们的生活和学习服务。找准这个“发力点”，能够引发学生深度思考和主动探究，促进数学思维的进阶发展，逐步实现深度学习，促进深度理解。
三、 把握数学的本质，进行持续性评价监控
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而是以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化，为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的聯系，与学生学科知识的联系。”数学深度学习是以培养学生的数学素养为目标的教学，其学习方式不能只是记住公式、法则，然后像计算机那样按程序进行运算，而是应该让学生在数学学习中逐步体会数学的本质。在数学学习中，如果领会其中的数学本质，举一反三，加以推广，就会收到事半功倍的效果。杨老师在本课中学生完成学习任务后对学习效果及时进行了检测，依据深度学习的目标，为学生持续地提供了清晰的反馈，帮助他们改进了学习过程。
师：平均数出现在我们日常生活和工作中的哪些地方？
生：计算我们班的平均分。
生：笔、鼠标、矿泉水瓶等的大小都与平均数有关。
师：笔、鼠标、矿泉水瓶等的大小都与我们手的大小的平均数有关。
师：教室门的门把手放在门的那个位置合适？（课件演示过高、过低、中间位置）高和矮的人都来开这扇门，用这个门把手，它放的位置与什么的平均数有关？
生：放的位置与人的身高的平均数有关。
师：平均数在我们身边还有很多，等待我们去研究、去发现。
深度学习的学习主题具有持续探究的特点，是富有挑战性的、能吸引学生学习兴趣的，一般是以多样化的形式来切入学习问题和任务。在杨老师的教学中，学生通过研究教室的门把手放在门的过高、过低、中间哪个位置合适，来吸引学生全面、深度地参入到学习活动中，帮助他们建立起了经验和知识的联系，激发了他们的潜能。学生经过探究发现，门把手放的位置与身高的平均数有关。杨老师引导学生对平均数概念进行了深刻认识，让学生明白：平均数的本质具有代表性和随机性，平均数代表一组数据的整体水平或者真实水平。这样，既注重统计知识的实际应用，又避免了单纯的数字计算和概念判断。针对学生学习过程中遇到的困难，杨老师在给予帮助和支持的同时，检测诊断学生的理解与掌握情况并进行反馈，以便有效调控后续的学习进度，促使学生完成了学习任务。
深度学习是发展学生核心素养的有效途径。在统计量“平均数”这类挑战性学习主题下培养学生的核心素养，可以聚焦数据分析。因为数据分析是大数据时代处理随机现象的主要方法，在当下，其已经深入到社会生活的各个方面。在小学阶段需要着重培养学生对数据和信息的敏感性，应使他们学会收集和整理数据，要理解和处理数据并针对结果进行合理的预测、推断和决策，要能初步理解统计在实际生活中的作用。
通过观摩这节精彩的数学课，我们认为，数学教学应致力于发展学生的核心素养，要引导他们会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。一堂好的数学课，应当更多地倾向于培养学生的数学思维习惯，要强化他们在错综复杂的事物中把握本质的能力，要强化他们在杂乱无章的事物中理清头绪的能力，要强化他们在千头万绪的事物中发现规律的能力。这些能力，恰恰是数学基本思想的核心。发展学生核心素养是一个系统化的、长期的培育工程，要有一个好的探究主线，要有一个好的活动平台，要有一个好的推进策略，这三者相互贯通、有序推进，便构成了培育学生数学核心素养的基本途径。这样，通过促使学生进行深度学习，可以依托零碎的数学知识建立起整体化、系统化、逻辑化的数学结构，建好知识的“承重墙”，打通知识的“隔断墙”。
（责任编辑：杨强）
一、针对挑战性学习主题，创设问题情境
小学数学深度学习主题教学活动的设计与组织是学生达成深度学习的关键，其要求在整体分析学习主题和确定目标的基础上，对于重点体现单元目标的内容进行深度学习的设计。要着重围绕核心内容，选择挑战性的学习主题，聚焦核心素养的培养，设计引发学生参与和思考的教学活动。教学设计的突破口是针对学习主题和学生学习特征来创设问题情境。问题情境要紧紧围绕挑战性的学习主题，要通过核心知识的学习引发学生深度思考，发展高阶思维。依托问题情境，还应提出能引发学生深度思考的关键问题，进而围绕关键问题进行深度探究。在“认识平均数”一课中，杨老师针对挑战性的学习主题，创设了主题问题情境，在教学中达成了教学目标，促进了学生的深度学习。
师：《稻草人》好看吗？请你根据对书的喜爱程度打分，最高10分。（分别出示课前五位同学的打分，6分、9分、9分、7分、9分）
师：你从这五位同学的打分中了解到了什么？
生：有三个同学打9分，说明这本书还是比较好看的。
生：还有两个同学分别打6分、7分，他们认为没有那么好看，但是我觉得从整体上来看这本书值得推荐的。
师：这五位同学的打分高低不一样，（出示条形图）认真观察数据，能不能用一个数来代表这五位同学对这本书的喜爱程度？可以在学习单可以写一写、画一画，找到这个数后请写在卡片上。
生：（空白卡片）我什么也没有写，因为有很多数都可以代表这五位同学的想法。
师：真是这样吗？请你们说一说这是为什么。
生：数字9，因为数字9出现的次数最多，可以代表大多数同学的想法。
生：數字9，只能代表三个同学的想法，还有两个打6分和7分的同学不能代表。
生：数字40，把五位同学的打分加起来。
生：对这本故事书的打分最高是10分，40超过10，不能代表五位同学的想法，不是特别合适。
生：数字8。
师：数字8是怎么来的？
生：用画一画、移一移的方式变得一样了。（学生在条形图上画一画连线表示移多补少;移动实物磁扣演示移多补少）
生：数字8很合适地代表了这五位同学的喜爱程度。
师：这种方法叫移多补少的方法，还有其他方法吗？
生：用计算的方法，（6+9+9+7+9）÷ 5 = 8。（课件演示把所有的磁扣加起来平均分成5份）
师：刚才我们用移多补少的方法和计算的方法找到的这个数叫做平均数。用这个平均数可以代表五位同学的喜爱程度，平均数不仅能代表全体人的意见，它还能用统计的方法解决问题。
数学深度学习是教师引导学生主动参与的学习过程，学习不是被动的，而是自觉地想问题。深度学习是触及学生心灵的过程，在这个过程中看到他们兴趣的萌发，学习的自信。学生的深度学习来源于教师对深度学习情境的设计，学生对数学核心概念的理解在问题中思考，活动中探究。在课堂上，杨老师为了激活学生的思维和情感，精心创设了给故事书《稻草人》打分的问题情境，这个设计引发出学生深度思考的关键问题：认真观察数据，能不能用一个数来代表这五位学生对这本书的喜爱程度？然后，组织学生围绕这个关键问题进行深度探究。通过写一写、画一画、移一移、说一说等方式，使他们把握了数学的本质，深度理解了平均数的代表性和随机性。
二、聚焦数学核心知识，组织深度探究活动
北京市著名特级教师吴正宪认为：“数学是有联系的、数学是有结构的、数学是有系统的，繁杂的知识中一定会有一些核心的概念统领，抓住了关键问题，抓住这个知识的‘牛鼻子’，达到举一反三、触类旁通、纲举目张。”小学数学深度学习以数学学科的核心内容为线索，从核心内容出发，提炼出具有挑战性的主题。这样做的目的是把数学教学的重点放在主题所反映的核心知识和方法思维上，在促进学生理解和掌握知识的过程中，培养其数学思维能力和解决问题的能力。聚焦数学核心内容的教学设计，可以实现“用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题的表面覆盖”。在本节课中，杨老师就引领学生聚焦核心知识，组织了深度探究活动。
师：我们推荐班上唱歌比较好的两名同学，给大家唱歌。同学们，请听一下这首歌大约唱了多少秒，把你估计的整秒数写在小卡片上。（用秒表计时，并收集全班学生的记录数据）
师：大家估计的时间差异还挺大呢，这里面肯定有同学估计得比较准。请大家仔细想一想，怎么才能让我们的估计更准呢？
生：看看我们班估计时长的平均数会不会与这个真实的数据9.52秒接近。
师：同学们猜一猜我们班的平均数与真实数据比较近还是比较远？
生：我觉得比较近，相差1～2秒。
生：我觉得比较远，相差3～4秒。
师：把同学们的数据录入电脑里面，我们一起看看。（录入数据的同时，课件显示录入数据的平均数，录完数据，全班的平均数是11.08）
师：全班的平均数是11.08秒，与真实的数据9.52秒比较接近了。 生：这个平均数很神奇。
师：你对平均数还有什么新认识？
生：平均数到最后才能确定，与每一个数据都有关系。
生：有的数据过大，有的数据过小，但是平均数还是比较接近真实数据的。
师：神奇的平均数还可以帮助我们估计时间。
小学数学深度学习围绕具有挑战性的学习主题展开，学习主题以数学核心内容均是确定的。核心内容会有一个基本的、反映其学科本质的特征，而这些特征往往反映的是数学学科的基本思想和方法，是发展学生数学学科核心素养的关键。本单元确定的学习主题的核心素养是具备数据分析观念，感悟统计的意义。因此，在杨老师的教学中，学生经历了收集数据、整理数据、分析数据的过程，体会到了数据是有信息的。他们通过数据分析得出了有价值的结论，让统计更好地为我们的生活和学习服务。找准这个“发力点”，能够引发学生深度思考和主动探究，促进数学思维的进阶发展，逐步实现深度学习，促进深度理解。
三、 把握数学的本质，进行持续性评价监控
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而是以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化，为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的聯系，与学生学科知识的联系。”数学深度学习是以培养学生的数学素养为目标的教学，其学习方式不能只是记住公式、法则，然后像计算机那样按程序进行运算，而是应该让学生在数学学习中逐步体会数学的本质。在数学学习中，如果领会其中的数学本质，举一反三，加以推广，就会收到事半功倍的效果。杨老师在本课中学生完成学习任务后对学习效果及时进行了检测，依据深度学习的目标，为学生持续地提供了清晰的反馈，帮助他们改进了学习过程。
师：平均数出现在我们日常生活和工作中的哪些地方？
生：计算我们班的平均分。
生：笔、鼠标、矿泉水瓶等的大小都与平均数有关。
师：笔、鼠标、矿泉水瓶等的大小都与我们手的大小的平均数有关。
师：教室门的门把手放在门的那个位置合适？（课件演示过高、过低、中间位置）高和矮的人都来开这扇门，用这个门把手，它放的位置与什么的平均数有关？
生：放的位置与人的身高的平均数有关。
师：平均数在我们身边还有很多，等待我们去研究、去发现。
深度学习的学习主题具有持续探究的特点，是富有挑战性的、能吸引学生学习兴趣的，一般是以多样化的形式来切入学习问题和任务。在杨老师的教学中，学生通过研究教室的门把手放在门的过高、过低、中间哪个位置合适，来吸引学生全面、深度地参入到学习活动中，帮助他们建立起了经验和知识的联系，激发了他们的潜能。学生经过探究发现，门把手放的位置与身高的平均数有关。杨老师引导学生对平均数概念进行了深刻认识，让学生明白：平均数的本质具有代表性和随机性，平均数代表一组数据的整体水平或者真实水平。这样，既注重统计知识的实际应用，又避免了单纯的数字计算和概念判断。针对学生学习过程中遇到的困难，杨老师在给予帮助和支持的同时，检测诊断学生的理解与掌握情况并进行反馈，以便有效调控后续的学习进度，促使学生完成了学习任务。
深度学习是发展学生核心素养的有效途径。在统计量“平均数”这类挑战性学习主题下培养学生的核心素养，可以聚焦数据分析。因为数据分析是大数据时代处理随机现象的主要方法，在当下，其已经深入到社会生活的各个方面。在小学阶段需要着重培养学生对数据和信息的敏感性，应使他们学会收集和整理数据，要理解和处理数据并针对结果进行合理的预测、推断和决策，要能初步理解统计在实际生活中的作用。
通过观摩这节精彩的数学课，我们认为，数学教学应致力于发展学生的核心素养，要引导他们会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。一堂好的数学课，应当更多地倾向于培养学生的数学思维习惯，要强化他们在错综复杂的事物中把握本质的能力，要强化他们在杂乱无章的事物中理清头绪的能力，要强化他们在千头万绪的事物中发现规律的能力。这些能力，恰恰是数学基本思想的核心。发展学生核心素养是一个系统化的、长期的培育工程，要有一个好的探究主线，要有一个好的活动平台，要有一个好的推进策略，这三者相互贯通、有序推进，便构成了培育学生数学核心素养的基本途径。这样，通过促使学生进行深度学习，可以依托零碎的数学知识建立起整体化、系统化、逻辑化的数学结构，建好知识的“承重墙”，打通知识的“隔断墙”。
（责任编辑：杨强）