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[摘要]主要介绍建立数学模型的一般过程及方法,对数学知识应用作初步的概括,并归结出几种常用的数学模型,初步提出培养学生建模意识以及建立初等数学模型能力的思想。
[关键词]数学模型建模意识能力
中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1120163-01
学以致用,提高学生分析问题和解决问题的综合能力,是时代发展和为社会主义建设培养有用人材的需要。素质教育的实施,标志着我国教学理念,教学模式的重大转变。众所周知,素质教育在数学教学中得到了有力体现,这种体现在很大程度上,取决于培养学生把数学知识应用于实际,以及应用数学知识解决实际问题的综合能力上,这成了数学教学过程中的关键和难点。本文中所提出建立“数学模型的思想”可以帮助学生把数学知识和现实中所遇到的问题联系在一起,达到理论联系实际的效果,学以致用的目的。
一、数学模型以及建立数学模型所需要的一些过程
著名数学家怀特海曾说:“数学就是对于模式的研究”。
所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,在做了一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,并通过数学语言表述出来的一个数学结构,数学中的各种基本概念,都以各自相应的现实原型作为背景,而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系、图表、图像、统计数据等等,都是一些具体的数学模型。
一般说来,建立数学模型的全过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环,如下图所示。
表述(Formulation)是指根据建模的目的和掌握的信息(如数学、现象),将实际问题翻译成数学问题,用数学语言确切地表达出来。
求解(Solution)即选择适当的数学方法求得数学模型的解答。
解释(Interpretation)是指把数学语言表述的翻译回到现实对象,给出实际问题的解答。
验证(Verification)是指用现实对象的信息检验得到的答案,以确认结果的正确性。
二、建立数学模型的一些基本方法
初中数学中常见的建模方法有:对现实生活中普遍存在的等量关系(不等关系),建立方程模型(不等式模型);对现实生活中普遍存在的变量关系,建立函数模型;涉及对数据的收集、整理、分析,建立统计模型;涉及图形,建立几何模型等,在建模中具体要用什么方法,关键要看要解决的问题所涉及哪方面的内容而定,而且对于同一个问题也可有不同的建模方法,同一问题不同的人所建立的模型也不一定相同。
三、几个常见的高中数学模型
对于高中数学知识的应用,我们大体可以把它归结为以下几种模型:
(1)方程(组)模型
方程模型主要有:一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组。
应用:存款率、营销利润、物价涨降、平均增长率(降低率)、行程问题、工程问题、数字问题、生产利润问题等。
(2)不等式(组)模型
不等式模型主要有:一元一次不等式、一元一次不等式组。
应用:市场营销(如选购方式、人员分流增效)、投资等问题。
(3)函数模型
函数模型主要有:一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数。
应用:变量数学关系、用料最省、利润最大、工期最短等问题。
(4)三角形模型
三角模型主要有:解直角三角形问题
应用:航海、测量、面积路线的计算等问题。
(5)几何模型
几何模型主要有:点与线、线与线、线与圆、圆与对称、四边形、图形相似、图形全等。
应用:美工图案设计、建筑设计、城市规划等问题。
四、培养学生根据所学知识建立初等模型的能力
使学生具有一定的解决实际问题的能力是新课标的要求,是素质教育的具体体现,在教学中培养学生自己构建数学模型,解决问题的能力是教学的重点,我们可以从以下几点着手:
1.在教学中注重对学生知识面的培养。把现实生活中遇到的问题转化为数学问题然后加以解决是建模的目的。然而这些问题所涉及的领域较为广博(如:人口、环境、天文、地理、物理、化学、生物等等)。如果对遇到问题没有深刻的把握,又岂能谈解决。因此这就要求学生不仅要有一个较好的数学基础,而且要有一个较为宽广的知识面。例如:计算地球同步通信卫星与地球的高度,和这颗通信卫星对地球的覆盖面积。这就需要学生有一定的物理知识。
2.加强学生数学基本技能的训练。提高学生的观察、分析、比较、抽象、概括、运算、逻辑思维、空间思维能力等等在建模中将起着重要的作用。
3.加强建模训练。建立适当数学模型,是利用数学解决实际问题的前提。建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。解应用题,特别是解综合性较强的应用题的过程,实际上就是建造一个数学模型的过程。在教学中,我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练,也可以给出一些经典的数学问题让学生自己练习建模,例如:两个经典的渡河问题。
问题1:某人现只有一只船,要把带的狗、鸡、米运到河的对岸,船除需要人划之外,至多只能载狗、鸡、米三者之一,而当人不在场时狗要吃鸡,鸡要吃米,试设计一个安全渡河方案,并使渡河次数尽量地少。
问题2:三名商人各带着一名随从,要乘一只小船过河,这只小船最多只能容纳两个人。随从们密约,在河的任意一岸,一旦他们的人数比商
人多,就杀人取货。商人们已获知了这项密约,试为商人们制定一个安全的过河方案,并使渡河次数尽量地少。
这样的问题一定会很吸引学生,为了找出答案,学生必定倾尽全力,全身投入,这样自然会提高学生的建模能力。
当然也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题(如利息、股票、利润、人口等问题),引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型,培养学生的建模能力。
4.定期在班内或校内举行数学建模竞赛。现在每年都举行大学生数学建模竞赛——三个学生,三天时间。我们也可以同样举行初中生数学建模竞赛,只需把问题所需的数学知识限定在初中数学范围内就可以了,这样做既可以培养学生相互合作的精神,又可以让建模思想在学生间得到传播,同时也有利于学生构建模型,解决问题意识的培养,最重要的是通过竞赛可以使学生通过建模解决问题的能力得到提高。
5.和课外实践活动相结合开展初等数学建模课。在教学过程中我们可以开数学建模课,主要是以学生共同讨论结合老师讲评为主,两周一节就可以了。我们可以把数学实践活动中遇到的问题,以数学建模的方式拿到建模课上和学生一起讨论,这样做既没影响正常教学,又可以丰富教学内容,提高学生学习兴趣,还可以培养学生构建模型的能力。
五、引入“数学建模思想”的作用和意义
1.以数学建模为导向,可以激发学生学习数学的兴趣。
2.在数学实践活动中构建数学模型,解决实际问题,有利于学生的基础知识、基本技能、运算能力、逻辑思维能力、空间想象力的提高。
3.数学建模可以激发学生的创造欲望。
4.数学建模可以丰富教学内容,培养学生创新能力,提高学生解决问题的能力。
5.数学建模可以让学生体验成功,建立自信心,自信心是为人做事的基石,没有自信心什么都做不成。
6.数学建模可以帮助学生把数学知识和现实中所遇到的问题联系在一起,达到理论联系实际的效果,学以致用的目的。
六、结束语
数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁,建立数学模型是用数学知识解决实际问题的有效方法,在初中数学教学中初步培养学生构造模型解决问题的能力是数学发展的需要。应用数学知识解决实际问题的思想符合新课标的要求。在初中阶段引入建模思想有利于学生综合能力提高,可以为学生以后的数学学习打下坚实的基础。
参考文献:
[1]熊启才,《数学模型方法及应用》,重庆:重庆大学出版社,2005.
[2]胡炯涛,《数学教学论》,桂林:广西教育出版社,1999.
[3]贺东凡,《现代教育理论》,北京:科学出版社,1996.
[关键词]数学模型建模意识能力
中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1120163-01
学以致用,提高学生分析问题和解决问题的综合能力,是时代发展和为社会主义建设培养有用人材的需要。素质教育的实施,标志着我国教学理念,教学模式的重大转变。众所周知,素质教育在数学教学中得到了有力体现,这种体现在很大程度上,取决于培养学生把数学知识应用于实际,以及应用数学知识解决实际问题的综合能力上,这成了数学教学过程中的关键和难点。本文中所提出建立“数学模型的思想”可以帮助学生把数学知识和现实中所遇到的问题联系在一起,达到理论联系实际的效果,学以致用的目的。
一、数学模型以及建立数学模型所需要的一些过程
著名数学家怀特海曾说:“数学就是对于模式的研究”。
所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,在做了一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,并通过数学语言表述出来的一个数学结构,数学中的各种基本概念,都以各自相应的现实原型作为背景,而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系、图表、图像、统计数据等等,都是一些具体的数学模型。
一般说来,建立数学模型的全过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环,如下图所示。
表述(Formulation)是指根据建模的目的和掌握的信息(如数学、现象),将实际问题翻译成数学问题,用数学语言确切地表达出来。
求解(Solution)即选择适当的数学方法求得数学模型的解答。
解释(Interpretation)是指把数学语言表述的翻译回到现实对象,给出实际问题的解答。
验证(Verification)是指用现实对象的信息检验得到的答案,以确认结果的正确性。
二、建立数学模型的一些基本方法
初中数学中常见的建模方法有:对现实生活中普遍存在的等量关系(不等关系),建立方程模型(不等式模型);对现实生活中普遍存在的变量关系,建立函数模型;涉及对数据的收集、整理、分析,建立统计模型;涉及图形,建立几何模型等,在建模中具体要用什么方法,关键要看要解决的问题所涉及哪方面的内容而定,而且对于同一个问题也可有不同的建模方法,同一问题不同的人所建立的模型也不一定相同。
三、几个常见的高中数学模型
对于高中数学知识的应用,我们大体可以把它归结为以下几种模型:
(1)方程(组)模型
方程模型主要有:一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组。
应用:存款率、营销利润、物价涨降、平均增长率(降低率)、行程问题、工程问题、数字问题、生产利润问题等。
(2)不等式(组)模型
不等式模型主要有:一元一次不等式、一元一次不等式组。
应用:市场营销(如选购方式、人员分流增效)、投资等问题。
(3)函数模型
函数模型主要有:一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数。
应用:变量数学关系、用料最省、利润最大、工期最短等问题。
(4)三角形模型
三角模型主要有:解直角三角形问题
应用:航海、测量、面积路线的计算等问题。
(5)几何模型
几何模型主要有:点与线、线与线、线与圆、圆与对称、四边形、图形相似、图形全等。
应用:美工图案设计、建筑设计、城市规划等问题。
四、培养学生根据所学知识建立初等模型的能力
使学生具有一定的解决实际问题的能力是新课标的要求,是素质教育的具体体现,在教学中培养学生自己构建数学模型,解决问题的能力是教学的重点,我们可以从以下几点着手:
1.在教学中注重对学生知识面的培养。把现实生活中遇到的问题转化为数学问题然后加以解决是建模的目的。然而这些问题所涉及的领域较为广博(如:人口、环境、天文、地理、物理、化学、生物等等)。如果对遇到问题没有深刻的把握,又岂能谈解决。因此这就要求学生不仅要有一个较好的数学基础,而且要有一个较为宽广的知识面。例如:计算地球同步通信卫星与地球的高度,和这颗通信卫星对地球的覆盖面积。这就需要学生有一定的物理知识。
2.加强学生数学基本技能的训练。提高学生的观察、分析、比较、抽象、概括、运算、逻辑思维、空间思维能力等等在建模中将起着重要的作用。
3.加强建模训练。建立适当数学模型,是利用数学解决实际问题的前提。建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。解应用题,特别是解综合性较强的应用题的过程,实际上就是建造一个数学模型的过程。在教学中,我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练,也可以给出一些经典的数学问题让学生自己练习建模,例如:两个经典的渡河问题。
问题1:某人现只有一只船,要把带的狗、鸡、米运到河的对岸,船除需要人划之外,至多只能载狗、鸡、米三者之一,而当人不在场时狗要吃鸡,鸡要吃米,试设计一个安全渡河方案,并使渡河次数尽量地少。
问题2:三名商人各带着一名随从,要乘一只小船过河,这只小船最多只能容纳两个人。随从们密约,在河的任意一岸,一旦他们的人数比商
人多,就杀人取货。商人们已获知了这项密约,试为商人们制定一个安全的过河方案,并使渡河次数尽量地少。
这样的问题一定会很吸引学生,为了找出答案,学生必定倾尽全力,全身投入,这样自然会提高学生的建模能力。
当然也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题(如利息、股票、利润、人口等问题),引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型,培养学生的建模能力。
4.定期在班内或校内举行数学建模竞赛。现在每年都举行大学生数学建模竞赛——三个学生,三天时间。我们也可以同样举行初中生数学建模竞赛,只需把问题所需的数学知识限定在初中数学范围内就可以了,这样做既可以培养学生相互合作的精神,又可以让建模思想在学生间得到传播,同时也有利于学生构建模型,解决问题意识的培养,最重要的是通过竞赛可以使学生通过建模解决问题的能力得到提高。
5.和课外实践活动相结合开展初等数学建模课。在教学过程中我们可以开数学建模课,主要是以学生共同讨论结合老师讲评为主,两周一节就可以了。我们可以把数学实践活动中遇到的问题,以数学建模的方式拿到建模课上和学生一起讨论,这样做既没影响正常教学,又可以丰富教学内容,提高学生学习兴趣,还可以培养学生构建模型的能力。
五、引入“数学建模思想”的作用和意义
1.以数学建模为导向,可以激发学生学习数学的兴趣。
2.在数学实践活动中构建数学模型,解决实际问题,有利于学生的基础知识、基本技能、运算能力、逻辑思维能力、空间想象力的提高。
3.数学建模可以激发学生的创造欲望。
4.数学建模可以丰富教学内容,培养学生创新能力,提高学生解决问题的能力。
5.数学建模可以让学生体验成功,建立自信心,自信心是为人做事的基石,没有自信心什么都做不成。
6.数学建模可以帮助学生把数学知识和现实中所遇到的问题联系在一起,达到理论联系实际的效果,学以致用的目的。
六、结束语
数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁,建立数学模型是用数学知识解决实际问题的有效方法,在初中数学教学中初步培养学生构造模型解决问题的能力是数学发展的需要。应用数学知识解决实际问题的思想符合新课标的要求。在初中阶段引入建模思想有利于学生综合能力提高,可以为学生以后的数学学习打下坚实的基础。
参考文献:
[1]熊启才,《数学模型方法及应用》,重庆:重庆大学出版社,2005.
[2]胡炯涛,《数学教学论》,桂林:广西教育出版社,1999.
[3]贺东凡,《现代教育理论》,北京:科学出版社,1996.