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摘 要：以数学实验活动探究“反比例函数的图像与性质（2）”的教学设计为例，揭示了数学实验活动的教学价值：帮助学生直观地理解基本知识和技能、帮助学生体悟知识蕴含的数学思想、帮助学生积累数学学习的经验、帮助学生建立积极的学习情感、帮助师生形成正确教学观念，并简述了数学实验对发展学生数学核心素养的重要意义.
关键词：数学实验;核心素养;反比例函数;数学教学
《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》（下称课标）指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养. 作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”[1]可见，“数学素养”是每一个人生活必备的基本素养，也是每一个人成才成功的关键品质. 初中数学是一门基础性课程，发展学生的“数学素养”是这门课程的核心任务，而开展数学实验教学是发展数学素养的有效策略之一. 江苏省无锡市惠山区数学教师基本功比赛以《反比例函数的图像和性质（2）》的教学设计、课件制作与微课教学为主题，一位一等奖获得者从数学实验融入教学的角度设计了这节课，颇获好评.
1 基于数学实验的教学设计
1.1实验铺垫——明确实验对象
（1）通过上一节课的学习，我们知道，反比例函数的图像的形状是__________.
（2）对于一次函数y=kx+b（k>0，b>0），请你说说它的图像所在的位置和增减性？
（3）类比一次函数的性质，今天我们要研究反比例函数的性质，研究内容有哪些？
1.2实验活动1——初探基本性质
打开几何画板5.0软件：
①选择“自定义工具”，插入“迷你坐标系”;
②点击“数据”，新建可变参数k=-4，将它的参数属性设置为在-15到15之间连续变化;
③点击“绘图”，绘制新函数，将它的属性设置为-8.2到8.2之间连续变化;
④右键参数k，生成参数的动画.
师：请一位同学来点击开始按钮，其他同学思考以下问题：
（1）随着k的变化，图像的形状有变化吗？位置有变化吗？
（2）根据k的取值范围的不同，函数的增减性如何？
（3）归纳反比例函数（k ≠ 0）的性质，并填表：
（4）你对数学实验有何感受？
【设计意图】这一环节的教学目标是认识反比例函数的性质，最近发展区是上一节课学习的画反比例函数的图像，因而设计了先画图、再归纳、后验证的教学思路. 验证环节如何能让知识无懈可击，让学生确信无疑？——数学实验是很好的方式！通过教师的引导和追问，让学生经历动手、动脑、交流、质疑、分析、解决这样一个过程，思维从浅层逐渐走向深刻，并积累了数学学习的经验，初次体验全新学习方式的魅力.
活动二：已知反比例函数的图像经过点A（2，-4）.请你求出k的值，并判断点B（-2，4）、C（-3，5）在这个函数的图像上吗？
师：点A和点B在坐标系中有什么几何特征？你能猜想反比例函数的图像有什么几何特征吗？基于刚才的实验经验，如何用几何画板软件验证现在这个猜想呢？
1.3数学实验2——再探对称性质
①在迷你坐标系中，设置可变参数k，暂取k=-8，绘制反比例函数的图像;
②在的图像上取一动点P，度量点P的坐标，点击“变换”，将O标记为中心，将点P绕点O旋转180°后标记为点P’，度量P’的坐标，并计算点P’的横、纵坐标的乘积;
③分别点击点“P”和“编辑”，选择“操作类按钮-动画”，生成点P的动画;
④分别点击点“P’”和“显示”，选择“追踪绘制的点”，追踪点P’的轨迹.
（1）点击“动画点”按钮，你发现点P’的轨迹有什么特点？
（2）二者“重合”仅仅是视觉效果，还是二者必然在一起？为什么？
（3）通过上述实验，我们发现的图像是中心对称的，如何验证对于任意的非零k，的图像都是中心对称的？
【设计意图】这一环节旨在探究反比例函数图像的中心对称性，由课本上的例题进行变式和追问，引导学生发现问题、提出问题、构思方法、解决问题. 设计这一个环节，是为了延续上一个环节，不仅是知识上的承接，更是为了加强积累“通过数学实验探究解决数学问题”这一活动经验，也为了继续深入拓展做铺垫.
活动三：回到刚在的图像上，现在再来做一个实验，大家看看还能得到什么结论.
1.4數学实验3——深层性质拓展
①过点P作x轴和y轴的垂线，垂直分别为M、N，可以得到一个四边形PMON，设置为黄色;
②度量PM、PN的长度，计算PM·PN的值;
③点击“动画点”按钮.
（1）你发现了什么？
（2）你能说说这个结论成立的理由吗？
（3）一般地，反比例函数（k ≠ 0）图像上的任意一点P，过点P作两条坐标轴的垂线段所围成的矩形面积是多少呢？
师：通过做实验，我们又发现了一个重要结论——矩形面积等于|k|，我们把这一结论叫做反比例函数的面积不变性.
【设计意图】检验学生运用活动经验开展探索研究的技能，拓展新知，让优秀生“吃饱”，培养学生的应用意识，再次带领学生感受数学实验的价值.
1.5实验小结
（1）经历了本节课的学习，你对于数学实验有何感受？
（2）你学到了反比例函数的哪些性质？你猜反比例函数的图像还会有其他性质吗？如何用数学实验继续开展研究？ 【设计意图】在小结环节，引导学生建构知识脉络，并把自己内心对数学实验的感受表达出来，利用同理心原理升华全体学生对于数学实验的认同感，并鼓励学生对于双曲线的轴对称性做自主研究，培养探究意识.
2 数学实验的教学价值
数学实验是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是在教师引导下，学生运用有关工具，在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动。数学实验过程中，学生既需要“做”，又需要“看”，更需要“思”，还需要倾听和表达，可以说，数学实验是一项调动学生多感官参与的学习活动，许多神经学家的研究显示，参与的感官越多，建立连接的神经越多，就意味着被保存下来的记忆更多. 数学实验的教学价值具体表现为：
2.1数学实验帮助学生直观地理解数学知识与技能
数学实验注重操作与实践，变“听数学”为“做数学”，变“看演示”为“动手做”，变“机械接受”为“主动探究”。数学实验使得数学研究对象“可视化”，让学生对抽象内容获得直观的理解，体验发现乐趣，唤醒主体意识，建构知识结构. 例如实验1，通过按钮操作的设计，让图像的位置变化与反比例系数k的变化可视化，加深了学生对于“k的值决定图像的位置”的认知，增强了直观思维的连贯性和想象思维的合理性，让学生更加确信自己的认知，这种效果是仅凭方格纸上画图或片段式观察归纳所达不到的。
2.2数学实验帮助学生体悟知识蕴含的数学思想
数学思想是数学的灵魂和精髓. 日本数学家、教育家米三国藏曾说：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就被遗忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益.”数学实验，作为研究数学问题的一种工具，对渗透数学思想和方法起到了积极的作用. 设计中的三个实验，无处不在渗透数学思想：每一条性质都经历了特殊猜想—实验验证—一般推理的过程，体现了数学的归纳思想;每一次实验，都经历了观察思考—归纳猜想—操作验证—推理证明的基本步骤，体现了数学的模型思想;每一个动画，都基于运动中的变或不变，体现了函数的对应思想;研究函数整体的性质，聚焦于图像上一个动点的特征，这体现了数学的化归思想，等等.
2.3数学实验帮助学生积累数学学习的经验
首先，在数学实验活动中学生可以获得来自感官、直觉的直接感受和参与体验等经验. 例如几何画板等动手操作类实验活动，既可以获得行为操作的数学活动经验，也可以在活动中进行适当的交流、回味，从而加深对图形特征的认识. 其次，在数学实验活动中学生可以积累探究的经验. 探究是对已有问题的解决而展开的数学活动，既有外显的操作活动，也有思维层面的操作活动，数学实验包含了这两部分. 另外，在数学实验活动中学生还可以积累数学思维的经验. 数学思维活动，包括归纳、类比、推理、分析等活动，数学实验特别强调操作之后的思维过程，这是得到有效实验结论的前提.
2.4数学实验帮助学生建立积极的学习情感
课标对于数学课程提出了总体目标，其中情感态度方面的阐述是：“学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲;体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心;体会数学的特点，了解数学的价值;养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯、形成实事求是的科学态度.”在课例的小结环节，学生们纷纷发言：“一直以来我都觉得数学远离生活比较抽象，今天我发现数学竟然能动手操作，数学实验还是蛮有意思的.”“原来想不通的问题，做完实验后，好像就想通了.”“数学实验虽然不能完美解决问题，但是却是一种有意思的学习方法，我学到了更多知识的同时，还与同学讨论，上课还发言了.”同学们的发言，显示了数学实验的魅力和价值：数学实验作为一种工具，让数学知识更加直观易懂;作为一种活动，适合全体学生参与并培养兴趣;作为一座桥梁，沟通了师生之间、生生之间的关系，拉近了数学与学生的距離.
2.5数学实验帮助师生形成正确的教学观念
传统的数学课堂强调老师的示范指导和学生的巩固训练，老师是知识的权威传授者，学生是知识的被动接受者. 而以数学实验为载体的数学教学，数学知识不再以现成结论呈现，而是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经验，逐步建构并完善、发展自己的数学认知结构. 数学实验活动，不仅有学生的亲身体验，生生之间的交流合作，还有师生之间的交往互动，教师和学生在良好的关系与和谐的互动中共同获得对数学育人更高地理解. 可以说，数学实验是一种基于现代教学理念的教学方式，适合师生的终身发展.
3 数学实验对发展数学核心素养的意义
重庆市教育科学研究院康世刚院长认为：“数学素养是指学生在已有数学经验的基础上，通过数学活动对数学的体验、感悟和反思，并在真实情境中有意识地应用数学知识与技能理性地处理问题的行为特征.”数学实验对于培养动手能力、积累活动经验、增强数学体验，有着先天的优越性，不仅如此，数学实验还能反哺思维能力的不足，增强学生对数学知识的体悟. 更值得品位的是，设计中的每个实验，表面上是为了探究知识验证猜想，深层地是在学生心里播下一棵科学精神的种子，实验结论得出后，教师继续引导学生深究结论的严谨性、普适性与应用性，关注学生的推理能力和应用意识的发展，这正符合数学素养的内涵，可以说，数学实验是发展学生数学素养的有效策略.
广大数学教师应大力开展数学实验活动，创新数学教学形式，为发展学生的数学素养不懈努力.
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2.
[2] 董林伟，朱建明.《初中数学实验手册》的研制与思考[J].数学通报，2014（10）：8.
[3] 董林伟.数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方式[J].中国数学教育，2015（5）：2.
[4] 康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015（3）：11.
关键词：数学实验;核心素养;反比例函数;数学教学
《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》（下称课标）指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养. 作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”[1]可见，“数学素养”是每一个人生活必备的基本素养，也是每一个人成才成功的关键品质. 初中数学是一门基础性课程，发展学生的“数学素养”是这门课程的核心任务，而开展数学实验教学是发展数学素养的有效策略之一. 江苏省无锡市惠山区数学教师基本功比赛以《反比例函数的图像和性质（2）》的教学设计、课件制作与微课教学为主题，一位一等奖获得者从数学实验融入教学的角度设计了这节课，颇获好评.
1 基于数学实验的教学设计
1.1实验铺垫——明确实验对象
（1）通过上一节课的学习，我们知道，反比例函数的图像的形状是__________.
（2）对于一次函数y=kx+b（k>0，b>0），请你说说它的图像所在的位置和增减性？
（3）类比一次函数的性质，今天我们要研究反比例函数的性质，研究内容有哪些？
1.2实验活动1——初探基本性质
打开几何画板5.0软件：
①选择“自定义工具”，插入“迷你坐标系”;
②点击“数据”，新建可变参数k=-4，将它的参数属性设置为在-15到15之间连续变化;
③点击“绘图”，绘制新函数，将它的属性设置为-8.2到8.2之间连续变化;
④右键参数k，生成参数的动画.
师：请一位同学来点击开始按钮，其他同学思考以下问题：
（1）随着k的变化，图像的形状有变化吗？位置有变化吗？
（2）根据k的取值范围的不同，函数的增减性如何？
（3）归纳反比例函数（k ≠ 0）的性质，并填表：
（4）你对数学实验有何感受？
【设计意图】这一环节的教学目标是认识反比例函数的性质，最近发展区是上一节课学习的画反比例函数的图像，因而设计了先画图、再归纳、后验证的教学思路. 验证环节如何能让知识无懈可击，让学生确信无疑？——数学实验是很好的方式！通过教师的引导和追问，让学生经历动手、动脑、交流、质疑、分析、解决这样一个过程，思维从浅层逐渐走向深刻，并积累了数学学习的经验，初次体验全新学习方式的魅力.
活动二：已知反比例函数的图像经过点A（2，-4）.请你求出k的值，并判断点B（-2，4）、C（-3，5）在这个函数的图像上吗？
师：点A和点B在坐标系中有什么几何特征？你能猜想反比例函数的图像有什么几何特征吗？基于刚才的实验经验，如何用几何画板软件验证现在这个猜想呢？
1.3数学实验2——再探对称性质
①在迷你坐标系中，设置可变参数k，暂取k=-8，绘制反比例函数的图像;
②在的图像上取一动点P，度量点P的坐标，点击“变换”，将O标记为中心，将点P绕点O旋转180°后标记为点P’，度量P’的坐标，并计算点P’的横、纵坐标的乘积;
③分别点击点“P”和“编辑”，选择“操作类按钮-动画”，生成点P的动画;
④分别点击点“P’”和“显示”，选择“追踪绘制的点”，追踪点P’的轨迹.
（1）点击“动画点”按钮，你发现点P’的轨迹有什么特点？
（2）二者“重合”仅仅是视觉效果，还是二者必然在一起？为什么？
（3）通过上述实验，我们发现的图像是中心对称的，如何验证对于任意的非零k，的图像都是中心对称的？
【设计意图】这一环节旨在探究反比例函数图像的中心对称性，由课本上的例题进行变式和追问，引导学生发现问题、提出问题、构思方法、解决问题. 设计这一个环节，是为了延续上一个环节，不仅是知识上的承接，更是为了加强积累“通过数学实验探究解决数学问题”这一活动经验，也为了继续深入拓展做铺垫.
活动三：回到刚在的图像上，现在再来做一个实验，大家看看还能得到什么结论.
1.4數学实验3——深层性质拓展
①过点P作x轴和y轴的垂线，垂直分别为M、N，可以得到一个四边形PMON，设置为黄色;
②度量PM、PN的长度，计算PM·PN的值;
③点击“动画点”按钮.
（1）你发现了什么？
（2）你能说说这个结论成立的理由吗？
（3）一般地，反比例函数（k ≠ 0）图像上的任意一点P，过点P作两条坐标轴的垂线段所围成的矩形面积是多少呢？
师：通过做实验，我们又发现了一个重要结论——矩形面积等于|k|，我们把这一结论叫做反比例函数的面积不变性.
【设计意图】检验学生运用活动经验开展探索研究的技能，拓展新知，让优秀生“吃饱”，培养学生的应用意识，再次带领学生感受数学实验的价值.
1.5实验小结
（1）经历了本节课的学习，你对于数学实验有何感受？
（2）你学到了反比例函数的哪些性质？你猜反比例函数的图像还会有其他性质吗？如何用数学实验继续开展研究？ 【设计意图】在小结环节，引导学生建构知识脉络，并把自己内心对数学实验的感受表达出来，利用同理心原理升华全体学生对于数学实验的认同感，并鼓励学生对于双曲线的轴对称性做自主研究，培养探究意识.
2 数学实验的教学价值
数学实验是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是在教师引导下，学生运用有关工具，在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动。数学实验过程中，学生既需要“做”，又需要“看”，更需要“思”，还需要倾听和表达，可以说，数学实验是一项调动学生多感官参与的学习活动，许多神经学家的研究显示，参与的感官越多，建立连接的神经越多，就意味着被保存下来的记忆更多. 数学实验的教学价值具体表现为：
2.1数学实验帮助学生直观地理解数学知识与技能
数学实验注重操作与实践，变“听数学”为“做数学”，变“看演示”为“动手做”，变“机械接受”为“主动探究”。数学实验使得数学研究对象“可视化”，让学生对抽象内容获得直观的理解，体验发现乐趣，唤醒主体意识，建构知识结构. 例如实验1，通过按钮操作的设计，让图像的位置变化与反比例系数k的变化可视化，加深了学生对于“k的值决定图像的位置”的认知，增强了直观思维的连贯性和想象思维的合理性，让学生更加确信自己的认知，这种效果是仅凭方格纸上画图或片段式观察归纳所达不到的。
2.2数学实验帮助学生体悟知识蕴含的数学思想
数学思想是数学的灵魂和精髓. 日本数学家、教育家米三国藏曾说：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就被遗忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益.”数学实验，作为研究数学问题的一种工具，对渗透数学思想和方法起到了积极的作用. 设计中的三个实验，无处不在渗透数学思想：每一条性质都经历了特殊猜想—实验验证—一般推理的过程，体现了数学的归纳思想;每一次实验，都经历了观察思考—归纳猜想—操作验证—推理证明的基本步骤，体现了数学的模型思想;每一个动画，都基于运动中的变或不变，体现了函数的对应思想;研究函数整体的性质，聚焦于图像上一个动点的特征，这体现了数学的化归思想，等等.
2.3数学实验帮助学生积累数学学习的经验
首先，在数学实验活动中学生可以获得来自感官、直觉的直接感受和参与体验等经验. 例如几何画板等动手操作类实验活动，既可以获得行为操作的数学活动经验，也可以在活动中进行适当的交流、回味，从而加深对图形特征的认识. 其次，在数学实验活动中学生可以积累探究的经验. 探究是对已有问题的解决而展开的数学活动，既有外显的操作活动，也有思维层面的操作活动，数学实验包含了这两部分. 另外，在数学实验活动中学生还可以积累数学思维的经验. 数学思维活动，包括归纳、类比、推理、分析等活动，数学实验特别强调操作之后的思维过程，这是得到有效实验结论的前提.
2.4数学实验帮助学生建立积极的学习情感
课标对于数学课程提出了总体目标，其中情感态度方面的阐述是：“学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲;体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心;体会数学的特点，了解数学的价值;养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯、形成实事求是的科学态度.”在课例的小结环节，学生们纷纷发言：“一直以来我都觉得数学远离生活比较抽象，今天我发现数学竟然能动手操作，数学实验还是蛮有意思的.”“原来想不通的问题，做完实验后，好像就想通了.”“数学实验虽然不能完美解决问题，但是却是一种有意思的学习方法，我学到了更多知识的同时，还与同学讨论，上课还发言了.”同学们的发言，显示了数学实验的魅力和价值：数学实验作为一种工具，让数学知识更加直观易懂;作为一种活动，适合全体学生参与并培养兴趣;作为一座桥梁，沟通了师生之间、生生之间的关系，拉近了数学与学生的距離.
2.5数学实验帮助师生形成正确的教学观念
传统的数学课堂强调老师的示范指导和学生的巩固训练，老师是知识的权威传授者，学生是知识的被动接受者. 而以数学实验为载体的数学教学，数学知识不再以现成结论呈现，而是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经验，逐步建构并完善、发展自己的数学认知结构. 数学实验活动，不仅有学生的亲身体验，生生之间的交流合作，还有师生之间的交往互动，教师和学生在良好的关系与和谐的互动中共同获得对数学育人更高地理解. 可以说，数学实验是一种基于现代教学理念的教学方式，适合师生的终身发展.
3 数学实验对发展数学核心素养的意义
重庆市教育科学研究院康世刚院长认为：“数学素养是指学生在已有数学经验的基础上，通过数学活动对数学的体验、感悟和反思，并在真实情境中有意识地应用数学知识与技能理性地处理问题的行为特征.”数学实验对于培养动手能力、积累活动经验、增强数学体验，有着先天的优越性，不仅如此，数学实验还能反哺思维能力的不足，增强学生对数学知识的体悟. 更值得品位的是，设计中的每个实验，表面上是为了探究知识验证猜想，深层地是在学生心里播下一棵科学精神的种子，实验结论得出后，教师继续引导学生深究结论的严谨性、普适性与应用性，关注学生的推理能力和应用意识的发展，这正符合数学素养的内涵，可以说，数学实验是发展学生数学素养的有效策略.
广大数学教师应大力开展数学实验活动，创新数学教学形式，为发展学生的数学素养不懈努力.
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2.
[2] 董林伟，朱建明.《初中数学实验手册》的研制与思考[J].数学通报，2014（10）：8.
[3] 董林伟.数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方式[J].中国数学教育，2015（5）：2.
[4] 康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015（3）：11.