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【摘 要】利用GPS高程代替四等水准能够克服传统水准费时费力、误差积累等缺点。分析了GPS测高精度以及传统水准测量精度要求。区域高程异常拟合的几种数学模型以及各自应用特点。实际工程案例表明，GPS高程能够代替四等水准。
【关键词】水准测量；GPS；高程异常
1引言
GPS技术是现代测绘技术的代表，具有全天候、精度高、操作便捷等优点。传统水准测量方式费时费力，容易出现误差积累等问题，且受天气条件影响较大。因此，利用GPS技术进行水准测量，克服传统水准测量的缺点，成为新时期水准测量技术发展的新方向。然而，利用GPS技术获得的高程为大地高，需要进一步转化为具有物理意义的正高或正常高，这就需要结合较高精度的大地水准面模型进行计算。本文讨论了现阶段GPS高程測量的精度以及利用GPS水准进行拟合获得高精度高程数据的拟合模型等问题。最后结合实际工程案例的实测数据进行了拟合模型的精度验证，结果表明利用GPS高程测量数据的精度与四等水准测量量精度相当，具有一定的实用价值。
2高程测量精度
2.1传统水准测量精度
任意一点到大地水准面的垂直距离称为正高，而地面一点沿参考椭球面法线至参考椭球的垂直距离称为大地高。传统水准测量获得高程为正高或正常高，而GPS测量获得高程为大地高。传统水准高程测量精度受多种因素的影响，误差来源主要有人为操作误差、仪器误差、大气垂直折光误差、水准标尺误差、电磁场对电子水准仪的电磁干扰等。
水准测量每公里高程精度计算公式为：，每公里高差全中误差计算公式为： ，四等水准测量精度要求为和。式中，q为往返测段数，R为测段长度，W为各项改正后水准环的闭合差，n为测段数。
2.2GPS高程测量精度
由于GPS测量方式的特点决定，GPS平面控制测量的精度较高，而高程测量精度较低。由GPS卫星所测两点之间的高差的误差约为平面控制精度的两倍左右。若在GPS高程测量控制网中利用传统水准测量技术测量1/4高程点的正常高，进而求出这些点的高程异常，利用一定的数学模型拟合该区域高程异常模型，便可以利用该模型结合大地高计算出该区域其他点的正常高。但是利用水准测量技术测量水准点正常高时应注意这些点在该区域分布均匀。现阶段国内外利用GPS高程计算正常高的方法主要有：曲面拟合法、多面拟合法、解析内插法等。高程模型的解算方法主要有四参数法和七参数法，具体采用那些方法具体根据所测区域内已知水准点个数确定。
3 GPS高程拟合模型
3.1多面函数拟合模型
多面函数模型是利用数学上多面函数曲面对实际似大地水准面进行近似表示，具体做法是：利用多面函数对每个插值点都与已知数据点建立函数关系，然后将这些函数值进行迭加，进而获得最有拟合曲面。多面函数方法的解算是利用推估法和最小二乘拟合，然而推估法和最小二乘的协方差具有统计特性，在数据量较少的地区，难以获得有效的统计特征，很大程度上影响了该方法的精度。多面函数的核函数与距离有函数关系，因而可以根据水准点之间的几何分布关系确定，同时该方法也顾及了未知高程点和已知高程点的相对关系。
一般假设曲面高程与坐标X，Y之间的关系为： ，其中ai为待定系数，Q（x，y，xi，yi）为核函数。
3.2 曲面拟合模型
当测区内水准点分布较为均匀且成面状分布时，可以利用曲面数学模型对待求似大地水准面进行拟合。具体做法是：根据测区内已知水准点的平面坐标和高程异常值，利用曲面函数进行拟合。曲面函数一般可以用多项式或者球谐函数表示。设水准点高程异常与其平面坐标的函数关系为： ，其中，f（x，y）为曲面主要趋势，第二项为模型误差。曲面拟合模型可分为曲面拟合和曲面样条拟合。曲面拟合中最常用的数学方法是二次曲面拟合。二次曲面拟合是将似大地水准面表示为平面坐标x，y的二次多项式，用已经与已知水准点的高程进行了联测了的水准点高程异常进行拟合，得到多项式各项系数。然后利用拟合得到的曲面函数，将其他未知点平面坐标带入模型，求出这些点的高程异常，进而求出未知水准点的正常高。通常将区域内的已知点叫做区域支撑点。设区域内任意一点的（x，y）的高程异常用二次函数表示为：
3.3曲线拟合模型
当测区内GPS水准点的分布比较特殊，呈现线状分布时，采用曲线拟合模型对该区域内似大地水准面进行拟合较为合适。当测区内水准点个数比较多，测线比较长，且地面起伏程度较大时，应按照最小二乘拟合求解。采取分段拟合的方法可以有效降低拟合模型的误差，如三次样条拟合等方法。样条函数是一种组合函数，由连续、平滑的各段函数组成，该函数具有能在一切节点上进行计算和微分的优点，这些节点通过利用一个闭区间集合进行限制。整个三次样条函数的区间可以进一步划分为几个子区间，每个子区间都可以表示为一个光滑连续的数学函数，而这些子函数在每个区间与区间之间的连接点上连续，因此可以将这些子函数连接成一个整体的合成函数。如果对样条函数进行了边界固定，将称为固定边界的三次样条函数。如果测区未知点过多，测线过长时，对测区似大地水准面进行区域整体拟合精度较低，若采用分段拟合则能够有效提高模型精度。
4工程实例
某测区内共有国家二级水准点8个，为验证GPS水准高程的精度，在测区内布设28个GPS水准点。第一步，对已知水准点进行GPS观测，求出这些点的高程异常。利用曲面函数对测区内高程异常进行模型拟合。第二步，将24个以及5个已知水准点的平面坐标代入高程异常模型，求出这些点的高程异常，进而求出测区内水准点的正常高。表1为测区内水准点高程异常的模型精度。
表1 精度统计
点个数 误差绝对值最大值/cm 误差绝对值最小值/cm 中误差/cm
28 6.27 1.34 2.18
从表1中可以看出，利用GPS高程结合区域似大地水准面模型可以求解位置水准点的正常高，精度统计达到了厘米级精度，可以满足四等水准的精度要求。
5结论
本文详细介绍了GPS高程与水准测量高程的区别，以及如何将GPS高程转化为似大地水准面高程。在利用测区内已知水准点高程计算区域似大地水准面模型时可以利用多面函数模型、曲面函数模型、曲线函数模型等数学模型。具体应用时应注意水准点的分布状况以及已知水准点的数量等问题。
参考文献：
[1]钟波，罗志才. GPS水准综合模型的应用研究[J]. 测绘通报，2007，06：5-7+36.
[2]杨帆，赵瑞山，邹阳，等. GPS水准综合模型在局部控制测量中的应用研究[J]. 测绘通报，2012，09：4-6+10.
[3]袁德宝，崔希民，王果，等. GPS水准单一模型和综合模型精度比较[J]. 测绘科学，2011，05：55-56+48.
【关键词】水准测量；GPS；高程异常
1引言
GPS技术是现代测绘技术的代表，具有全天候、精度高、操作便捷等优点。传统水准测量方式费时费力，容易出现误差积累等问题，且受天气条件影响较大。因此，利用GPS技术进行水准测量，克服传统水准测量的缺点，成为新时期水准测量技术发展的新方向。然而，利用GPS技术获得的高程为大地高，需要进一步转化为具有物理意义的正高或正常高，这就需要结合较高精度的大地水准面模型进行计算。本文讨论了现阶段GPS高程測量的精度以及利用GPS水准进行拟合获得高精度高程数据的拟合模型等问题。最后结合实际工程案例的实测数据进行了拟合模型的精度验证，结果表明利用GPS高程测量数据的精度与四等水准测量量精度相当，具有一定的实用价值。
2高程测量精度
2.1传统水准测量精度
任意一点到大地水准面的垂直距离称为正高，而地面一点沿参考椭球面法线至参考椭球的垂直距离称为大地高。传统水准测量获得高程为正高或正常高，而GPS测量获得高程为大地高。传统水准高程测量精度受多种因素的影响，误差来源主要有人为操作误差、仪器误差、大气垂直折光误差、水准标尺误差、电磁场对电子水准仪的电磁干扰等。
水准测量每公里高程精度计算公式为：，每公里高差全中误差计算公式为： ，四等水准测量精度要求为和。式中，q为往返测段数，R为测段长度，W为各项改正后水准环的闭合差，n为测段数。
2.2GPS高程测量精度
由于GPS测量方式的特点决定，GPS平面控制测量的精度较高，而高程测量精度较低。由GPS卫星所测两点之间的高差的误差约为平面控制精度的两倍左右。若在GPS高程测量控制网中利用传统水准测量技术测量1/4高程点的正常高，进而求出这些点的高程异常，利用一定的数学模型拟合该区域高程异常模型，便可以利用该模型结合大地高计算出该区域其他点的正常高。但是利用水准测量技术测量水准点正常高时应注意这些点在该区域分布均匀。现阶段国内外利用GPS高程计算正常高的方法主要有：曲面拟合法、多面拟合法、解析内插法等。高程模型的解算方法主要有四参数法和七参数法，具体采用那些方法具体根据所测区域内已知水准点个数确定。
3 GPS高程拟合模型
3.1多面函数拟合模型
多面函数模型是利用数学上多面函数曲面对实际似大地水准面进行近似表示，具体做法是：利用多面函数对每个插值点都与已知数据点建立函数关系，然后将这些函数值进行迭加，进而获得最有拟合曲面。多面函数方法的解算是利用推估法和最小二乘拟合，然而推估法和最小二乘的协方差具有统计特性，在数据量较少的地区，难以获得有效的统计特征，很大程度上影响了该方法的精度。多面函数的核函数与距离有函数关系，因而可以根据水准点之间的几何分布关系确定，同时该方法也顾及了未知高程点和已知高程点的相对关系。
一般假设曲面高程与坐标X，Y之间的关系为： ，其中ai为待定系数，Q（x，y，xi，yi）为核函数。
3.2 曲面拟合模型
当测区内水准点分布较为均匀且成面状分布时，可以利用曲面数学模型对待求似大地水准面进行拟合。具体做法是：根据测区内已知水准点的平面坐标和高程异常值，利用曲面函数进行拟合。曲面函数一般可以用多项式或者球谐函数表示。设水准点高程异常与其平面坐标的函数关系为： ，其中，f（x，y）为曲面主要趋势，第二项为模型误差。曲面拟合模型可分为曲面拟合和曲面样条拟合。曲面拟合中最常用的数学方法是二次曲面拟合。二次曲面拟合是将似大地水准面表示为平面坐标x，y的二次多项式，用已经与已知水准点的高程进行了联测了的水准点高程异常进行拟合，得到多项式各项系数。然后利用拟合得到的曲面函数，将其他未知点平面坐标带入模型，求出这些点的高程异常，进而求出未知水准点的正常高。通常将区域内的已知点叫做区域支撑点。设区域内任意一点的（x，y）的高程异常用二次函数表示为：
3.3曲线拟合模型
当测区内GPS水准点的分布比较特殊，呈现线状分布时，采用曲线拟合模型对该区域内似大地水准面进行拟合较为合适。当测区内水准点个数比较多，测线比较长，且地面起伏程度较大时，应按照最小二乘拟合求解。采取分段拟合的方法可以有效降低拟合模型的误差，如三次样条拟合等方法。样条函数是一种组合函数，由连续、平滑的各段函数组成，该函数具有能在一切节点上进行计算和微分的优点，这些节点通过利用一个闭区间集合进行限制。整个三次样条函数的区间可以进一步划分为几个子区间，每个子区间都可以表示为一个光滑连续的数学函数，而这些子函数在每个区间与区间之间的连接点上连续，因此可以将这些子函数连接成一个整体的合成函数。如果对样条函数进行了边界固定，将称为固定边界的三次样条函数。如果测区未知点过多，测线过长时，对测区似大地水准面进行区域整体拟合精度较低，若采用分段拟合则能够有效提高模型精度。
4工程实例
某测区内共有国家二级水准点8个，为验证GPS水准高程的精度，在测区内布设28个GPS水准点。第一步，对已知水准点进行GPS观测，求出这些点的高程异常。利用曲面函数对测区内高程异常进行模型拟合。第二步，将24个以及5个已知水准点的平面坐标代入高程异常模型，求出这些点的高程异常，进而求出测区内水准点的正常高。表1为测区内水准点高程异常的模型精度。
表1 精度统计
点个数 误差绝对值最大值/cm 误差绝对值最小值/cm 中误差/cm
28 6.27 1.34 2.18
从表1中可以看出，利用GPS高程结合区域似大地水准面模型可以求解位置水准点的正常高，精度统计达到了厘米级精度，可以满足四等水准的精度要求。
5结论
本文详细介绍了GPS高程与水准测量高程的区别，以及如何将GPS高程转化为似大地水准面高程。在利用测区内已知水准点高程计算区域似大地水准面模型时可以利用多面函数模型、曲面函数模型、曲线函数模型等数学模型。具体应用时应注意水准点的分布状况以及已知水准点的数量等问题。
参考文献：
[1]钟波，罗志才. GPS水准综合模型的应用研究[J]. 测绘通报，2007，06：5-7+36.
[2]杨帆，赵瑞山，邹阳，等. GPS水准综合模型在局部控制测量中的应用研究[J]. 测绘通报，2012，09：4-6+10.
[3]袁德宝，崔希民，王果，等. GPS水准单一模型和综合模型精度比较[J]. 测绘科学，2011，05：55-56+48.