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摘要：逆向思维又称反向思维,是从对立的角度考虑问题的思维方式.当正向思考有困难时,不妨转换思考方式,进行逆向思考,常能化难为易,使问题迅速而准确地解决.善于逆向思维是思维灵活的一种表现。
关键词：高中数学；教学；逆向思维；思维方式；灵活性
【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 B【文章编号】 1671-1297（2012）06-0090-01
数学中任何一种解题方法都要以某种思维方式为背景，思考问题的角度对解题有直接的影响. 在解题活动中，我们难免会遇到这种情形：从正面直接探求，常常一筹莫展；若改变思维方向，从逆向或反面探求，往往可使问题迎刃而解。所谓逆向思维，即从问题的反面入手，先观察结果的对立面或假定需证的结论不成立，看能推演出什么结果，从而解决问题。
本文通过实例来探讨如何运用逆向思维策略解决数学问题。
一 变更主元法
有些题目按常规思路，从主元角度讨论十分繁琐，若变换一下角度，反客为主，视参数为主元，则问题变得容易解决了。
例1 若不等式mx2-2x-m＋1＜0对于满足︱m︱≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。
分析 视x为主元难度较大，更换主元，视m为主元，
则f（m）＝（x2-1）m＋（1-2x）＜0，显然f（m）的几何意义为-2≤m≤2上的一条线段，
故f（-2）<0
f（2）<0即-2x2-2x+3<0
2x2-2x-1<0
在含参变量的函数、方程、不等式或解析几何等诸多问题，巧妙运用反客为主的方法，往往能使问题得到简捷、别致的解决。
一个数学问题，若正面情况比较复杂，或从正面无法入手时，我们常常从结论的反面去探索，得出反面结论后，再返回到正面，这种逆向思维的方法称为“正难则反”，最常见的方法有补集法、反证法。
二 补集法
例2 关于x的方程x2＋2mx＋2㎡-1＝0至少有一负根，求实数m的取值范围。
分析 本题若正面考虑，则须分下列三种情况加以讨论:
（1）有两个负根；（2）有一正根和一负根；（3）有一负根和一零根
显然，这样解题过程较繁，若我们从命题的反面入手，即先从方程没有负根时探求实数m的范围A，再求出至少有一负根时实数m的范围CRA。
略解 设全集为{m︱Δ≥0}={m︱-1≤m≤1}
若方程没有负根，即只有正跟或零根时m的范围为集合A.
由Δ≥0
x1+x2≥0
x1•x2 得-1≤m≤1
2m≤0
2m2≥0
∴-1≤m≤-22
由A={m︱-1≤m≤-22}
故所求实数m的取值范围为-22 对那些从正面求解很困难或者很烦琐的问题，可以从反面进行探索，把不符合条件的求出来，然后再从总体内淘汰掉，即可得到原问题的解，这是补集思想方法的运用。
三 反证法
用反证法证明命题，即从否定命题的结论入手，并运用命题的条件合乎逻辑地推出矛盾，从而指出否定结论错误，肯定结论正确。
例3 设f（x）是定义在R上的增函数，a、b∈R，且f（a）＋f（b）≥f（-a）＋f（-b），求证：a＋b≥0
分析 本题较为抽象，从正面不易推证，可考虑其反面的情况，即“a＋b<0”，问题即可迅速获解。
略证 假设a＋b<0，则a<-b，依题意知f（a） 当直接推证一个命题为真陷入困境时，若改用反证法，则往往奏效。
四 分析法
数学思维的程序具有双向性（正向或逆向），若按正向思维无从入手时，宜及时逆转思维方向，不妨把“未知”当“已知”，通过分析，推理寻找“需知”。
例4 对一切不小于3的自然数n，求证：2n(n-1)2 ﹥n!
分析 本题若用比较法或综合法，不便入手；采用数学归纳法，过程较繁，若注意到n(n-1)n的代数结构特征，联想到1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n-1)n，逆用此公式，于是，只需证明21＋2＋3＋……＋(n－1)﹥n!
即 2•22•23•……2n－1﹥n! （1）
又 ＝2n-1=c0n-1+c1n-1+c2n-1+……+cn-1n-1
＝1＋（n－1）＋（c2n-1+……+cn-1n-1 ）﹥n
∴ 1•2•22•……2n－1﹥1•2•3…•n＝n!
∴（1）式成立，即不等式2n(n-1)2 ﹥n!成立。
以上证明过程有两大特点：（1）逆用数列求和公式及组合数性质，并适当放缩，从而使证明过程简化；（2）采用分析法，便于操作，分析法实质是执因索果，是逆向思维的一种具体形式。
此外，逆向思维的求解方法在排列、组合、概率等有关题目中有着广泛的应用，一般当解题陷入“山重水复疑无路”的困境时，运用逆向思维策略可步入“柳暗花明又一村”的天地。
通过以上几例可以看出逆向思维、正难则反的策略作用是巨大的，特别是论证综合性较强的题目运用更为广泛。逆向思维具有求异性、探索性和发散性等特征，能培养学生突破原有的思维模式寻求新的思维方式的能力，所以当习惯于正向思维时，某种逆向思维就会开拓新的境界.逆向思维能力的强弱，能反映一个学生能否学好数学的标志之一，运用所学知识进行逆向思维，可以提高学生解题的灵活性，培养学生的思维水平。
总之，在数学解题过程中，按正向思维难以入手时，要善于反其道而行之，对以上逆向思维的方法进行适当的归纳和训练，这对优化学生的思维结构，培养创新能力大有裨益。
参考文献
[1] 陆广地.一题多变，训练能力.高中数学教与学,2004.8
[2] 胡党华.重视解题后的再思考.中学数学研究,2002.6
[3] 包建芳.从基础出发，向简单化归.高中数学教与学,2004.3
关键词：高中数学；教学；逆向思维；思维方式；灵活性
【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 B【文章编号】 1671-1297（2012）06-0090-01
数学中任何一种解题方法都要以某种思维方式为背景，思考问题的角度对解题有直接的影响. 在解题活动中，我们难免会遇到这种情形：从正面直接探求，常常一筹莫展；若改变思维方向，从逆向或反面探求，往往可使问题迎刃而解。所谓逆向思维，即从问题的反面入手，先观察结果的对立面或假定需证的结论不成立，看能推演出什么结果，从而解决问题。
本文通过实例来探讨如何运用逆向思维策略解决数学问题。
一 变更主元法
有些题目按常规思路，从主元角度讨论十分繁琐，若变换一下角度，反客为主，视参数为主元，则问题变得容易解决了。
例1 若不等式mx2-2x-m＋1＜0对于满足︱m︱≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。
分析 视x为主元难度较大，更换主元，视m为主元，
则f（m）＝（x2-1）m＋（1-2x）＜0，显然f（m）的几何意义为-2≤m≤2上的一条线段，
故f（-2）<0
f（2）<0即-2x2-2x+3<0
2x2-2x-1<0
在含参变量的函数、方程、不等式或解析几何等诸多问题，巧妙运用反客为主的方法，往往能使问题得到简捷、别致的解决。
一个数学问题，若正面情况比较复杂，或从正面无法入手时，我们常常从结论的反面去探索，得出反面结论后，再返回到正面，这种逆向思维的方法称为“正难则反”，最常见的方法有补集法、反证法。
二 补集法
例2 关于x的方程x2＋2mx＋2㎡-1＝0至少有一负根，求实数m的取值范围。
分析 本题若正面考虑，则须分下列三种情况加以讨论:
（1）有两个负根；（2）有一正根和一负根；（3）有一负根和一零根
显然，这样解题过程较繁，若我们从命题的反面入手，即先从方程没有负根时探求实数m的范围A，再求出至少有一负根时实数m的范围CRA。
略解 设全集为{m︱Δ≥0}={m︱-1≤m≤1}
若方程没有负根，即只有正跟或零根时m的范围为集合A.
由Δ≥0
x1+x2≥0
x1•x2 得-1≤m≤1
2m≤0
2m2≥0
∴-1≤m≤-22
由A={m︱-1≤m≤-22}
故所求实数m的取值范围为-22
三 反证法
用反证法证明命题，即从否定命题的结论入手，并运用命题的条件合乎逻辑地推出矛盾，从而指出否定结论错误，肯定结论正确。
例3 设f（x）是定义在R上的增函数，a、b∈R，且f（a）＋f（b）≥f（-a）＋f（-b），求证：a＋b≥0
分析 本题较为抽象，从正面不易推证，可考虑其反面的情况，即“a＋b<0”，问题即可迅速获解。
略证 假设a＋b<0，则a<-b，依题意知f（a）
四 分析法
数学思维的程序具有双向性（正向或逆向），若按正向思维无从入手时，宜及时逆转思维方向，不妨把“未知”当“已知”，通过分析，推理寻找“需知”。
例4 对一切不小于3的自然数n，求证：2n(n-1)2 ﹥n!
分析 本题若用比较法或综合法，不便入手；采用数学归纳法，过程较繁，若注意到n(n-1)n的代数结构特征，联想到1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n-1)n，逆用此公式，于是，只需证明21＋2＋3＋……＋(n－1)﹥n!
即 2•22•23•……2n－1﹥n! （1）
又 ＝2n-1=c0n-1+c1n-1+c2n-1+……+cn-1n-1
＝1＋（n－1）＋（c2n-1+……+cn-1n-1 ）﹥n
∴ 1•2•22•……2n－1﹥1•2•3…•n＝n!
∴（1）式成立，即不等式2n(n-1)2 ﹥n!成立。
以上证明过程有两大特点：（1）逆用数列求和公式及组合数性质，并适当放缩，从而使证明过程简化；（2）采用分析法，便于操作，分析法实质是执因索果，是逆向思维的一种具体形式。
此外，逆向思维的求解方法在排列、组合、概率等有关题目中有着广泛的应用，一般当解题陷入“山重水复疑无路”的困境时，运用逆向思维策略可步入“柳暗花明又一村”的天地。
通过以上几例可以看出逆向思维、正难则反的策略作用是巨大的，特别是论证综合性较强的题目运用更为广泛。逆向思维具有求异性、探索性和发散性等特征，能培养学生突破原有的思维模式寻求新的思维方式的能力，所以当习惯于正向思维时，某种逆向思维就会开拓新的境界.逆向思维能力的强弱，能反映一个学生能否学好数学的标志之一，运用所学知识进行逆向思维，可以提高学生解题的灵活性，培养学生的思维水平。
总之，在数学解题过程中，按正向思维难以入手时，要善于反其道而行之，对以上逆向思维的方法进行适当的归纳和训练，这对优化学生的思维结构，培养创新能力大有裨益。
参考文献
[1] 陆广地.一题多变，训练能力.高中数学教与学,2004.8
[2] 胡党华.重视解题后的再思考.中学数学研究,2002.6
[3] 包建芳.从基础出发，向简单化归.高中数学教与学,2004.3