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摘 要：本文首先阐明模型思想和“数学实践”的含义，提出用模型思想指导“数学实践”活动;然后以购物费用估算模型的建立为案例，展示了活动的完整过程。建模思想体现在了问题的提出、模型的建立及求解、模型的验证这一建模过程中。最后通过反思整个活动过程，指出模型思想指导下的“数学实践”活动确实能提高学生的数学能力，提高老师的教学水平。
关键词：模型思想;数学实践;购物;费用估算
数学模型同数学应用、问题解决紧密地联系在一起，对于数学教学具有十分重要的意义。模型思想是学生体会和理解数学和外部世界联系的基本途径，主要体现在建模过程中，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义，必要时还需要拿到现实问题中去检验，这是一个对数学进行科学探究的过程。
“数学实践”是一类以问题为载体、师生共同参与的数学学习活动。针对问题情景，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程。
模型思想和“数学实践”都是从问题出发，都要经历一个相对完整的问题解决过程，在解决问题的过程中往往需要综合应用各种知识和技能，需要与他人协作，两者具有内在的契合性。用模型思想指导“数学实践”活动，将数学建模过程作为“数学实践”活动的主线，能够提高“数学实践”活动的数学价值，有效实现数学教学目标;同时“数学实践”活动由于时间和空间上的灵活性，为模型思想的完整展现提供了良机，有利于模型思想的培养。
对于小学数学教学而言，数学建模和“数学实践”活动本身就具有一定的难度，而将二者有机结合并达到较好教学效果可谓难上加难，相关的案例也不多见，本文以“购物费用估算”为例，展现了一个模型思想指导下的“数学实践”学习活动的完整过程。
一、 活动的起点：问题
选择恰当的问题是搞好“数学实践”活动的起点，也是关键。建模思想强调从日常生活或具体情境中发现问题，“购物费用估算”是日常生活中常见的数学活动，将估算与日常购物相结合，能培养学生估算意识和估算应用能力。在以往的估算教学中，笔者采用了“创设情境、探索交流、总结归纳、应用拓展”的教学思路，感觉良好，但有一次学生提出的一个问题引起了笔者的深思，即“课堂上学到的估算方法在实际购物时为什么用不上？”。为什么会用不上？这需要对实际购物及费用估算进行深入细致地分析，才能得到答案。
日常超市购物一般会在经历一段购物时间后，排队结账，估算（主要是口算）实际发生在结账前（购物过程中或排队等待时），结账后根据发票主要是检查物品的数量、价格和发票上的是否一致，一般不会怀疑价格计算的准确性。结账前估算的依据是物品单价和数量，这里就需要记忆物品的单价（数量可以通过清点物品得到、现场称量并贴上金额标签的物品价格无须记忆），当物品较多时，如何有效记住物品单价是估算要解决的第一个问题。在实际估算时，人们大多是估算到元，而具体的估算方法则是多种多样的，如何找到一个便于记忆、计算快捷、精度适当的估算方法，就成为一个值得探索的问题。而在以往教学中，“创设情境”的时候，过于简化，没有反映出超市购物估算的上述特点，在探索交流时则侧重于估算策略的选择和计算，最终没能提出一个简单有效的可以实际使用的估算模型。
显然这是一个实际的、富有挑战性的问题，那它是否适合作为“数学实践”活动的主题呢？这需要进行评估。经过进一步的分析和研究，笔者认为可以一试。一方面是因为笔者对问题的解决有了初步的构思和把握，涉及的知识和方法基本不超过小学五年级学生的知识水平;另一方面是与部分同学交流后，同学们表示出了对该问题的兴趣，愿意在老师的带领下研究这一问题，而且问题的解决需要收集大量的数据和计算，确实需要学生的参与。
二、 活动的过程：建模
在模型思想指导下，“数学实践”活动的过程，既是探究学习的过程，也是建模的过程，超市购物费用估算模型的建立基本经过以下步骤：
（一） 提出问题
考虑到绝大部分学生都有超市购物的经历，而且组织全体学生实际购物费时费力，所以充分利用学生已有的购物经验，请同学回忆购物过程，直接提出问题：“如何找到一个简单有效地购物费用估算方法？”
（二） 构建和求解估算模型
经过大家的初步讨论，发现问题并不是那么容易解决，需要综合考虑各种因素，笔者引导学生需要将问题简化，有学生提出可以先根据发票上的数据来估算费用，进一步讨论后，问题转化为根据发票金额列（商品单价×数量的结果）的数据估算总费用（商品金额估算到元），这可以抽象出更一般的数学问题：给定一列数，估算数相加的和（估算到整数个位）。
解决这样的问题，常用的估算方法有：（1）忽略小数位法，将每个数的小数部分忽略，然后累加整数部分，可以得到实际数的下限估计部分;（2）进1法，去掉小数位后，将个位加1，累加得到实际数的上限估计部分;（3）四舍五入法，将小数点后的尾数四舍五入，然后累加，计算出的数是实际数的一个更为精确的估计。
在实际操作中，请学生收集一张超市购物发票（要求商品数3-15项，总金额1000以内），将发票上总金额信息部分去掉，另外记下总金额。在课上，学生互相交换发票，根据发票各项商品数据口算估算总金额，将口算结果记下，然后与实际总金额比较，一般会与总金额有差异，老师借机引导学生讨论、交流后，一般可以归结出以上估算方法。
为了进一步弄清上述3种估算方法之间的数量关系，老师提问：“知道了实际数的下限估计部分，能不能很快算出上限估计部分？”，并通过实际数据计算演示，引导学生观察、推理：假设有3个商品金额：25.12、6.88、10.60，下限估计数（X）为25 6 10，上限估计数（S）为26 7 11，那么S=25 1 6 1 10 1=25 6 10 3=X 3，通过归纳可以得到上下限估计数之间的关系式：X=S n（n是商品数），类似的四舍五入法估算的金额数（Z）为：25 7 11，那么Z=25 6 10 2=L i（i是五入的商品数），也就是说只要知道下限金額数，上限金额数和四舍五入法估计的金额数，就可以方便地计算出来，反之亦然。 至此，学生对于上述简化的问题已经有了较为深入地认识，能够确定总金额的范围，并估算出一个较精确的值。
（三） 实际检验估算模型
要求学生在实际购物中，使用上述方法估算，将估算结果记在发票上带回课堂，在课堂上统计计算出实际金额与估计金额的最大、最小差值，以及最大、最小相对误差，相对误差计算式是：（实际值-估计值）/估计值。通过切身经历以及广泛比较，同学们普遍反映估算方法简单易行，估算结果比较准确。
但也有同学提出了异议：“上面的方法是根据已打出的发票进行估算的，而结账前，没有发票，估算时，首先需要知道每个商品的单价和数量，而有些商品的单价，只在货架上标示，只有记住才能计算”。老师顺势问道：“确实，超市购物时间一般较长，如果需要记的商品单价较多，就容易记错，大家有什么好的办法吗？”，同学们经过讨论，提出了各种方法，大致可归结为以下两个方面：一是借助工具记忆，如用笔记下价格、让一同购物的人帮着记、将价格写在手机里，甚至提出用手机扫描商品条形码获取价格;二是尽量减少记忆量，如只记价格的整数部分、边购物边估算，记住中间结果。但在实际购物中，工具虽有助于记忆，却并不常用，人们主要还是靠自己的大脑来记忆和运算，所以应探索如何减少记忆和运算量负担，同时较准确地估算出总金额？
还有同学提出疑问：“上述模型方法是基于商品金额（商品单价×数量）计算的，而商品金额本身有时并不容易计算，例如单价12.7元，数量13，需要计算12.7×13，这个如何简便计算？”。
这些问题的提出，为下一次活动的展开埋下了伏笔。
三、 活动的终点：反思
建模活动结束后，师生的反思很有必要，一方面总结反思是活动的一个重要环节，有利于培养反思意识;另一方面通过反思学生可以进一步理解所用的知识和方法，体会建模过程，积累数学活动经验，老师则可以反思整个教学活动，积累教学经验，进一步提高自己的教学水平。
购物费用估算问题源于日常生活，在师生的共同努力下，发现和提出了“如何简单有效估算超市购物费用？”这样一个富有挑战性的问题。然后师生共同经历了将实际问题简化抽象、采集数据建模求解、再实际检验模型的建模过程。在这一过程中，综合运用了多种知识，多种技能、多种思维方法，培养了学生的问题意识，运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，活动充分体现出了综合性、实践性和过程性，学生的数学能力、解决现实问题的能力得到锻炼和提高。不少同学反映虽然在活动中遇到一些问题和困难，但在老师的指导下，同学们的互相帮助下，克服了困难，当看到在购物中，运用自己参与研究出来的估算方法得到较好的结果时，体验到了成功的喜悦，也增加了自信。
笔者在这次探究活动中也体会到要想将建模思想有效融入“数学实践”活动中，教师需要不断学习、思考、实践，努力成为一个好的数学建模者。要能够提出一个好的问题，初步规划后，应大胆尝试。要相信学生，依靠学生，让学生参与进来，师生的共同努力是活动成功的关键。对这次活动而言，虽然已经走到了终点，但对下一次活动而言，这将是一个新的起点。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京师范大学出版社，2011.
[2]吴伟锋.基于建模的“实践与综合应用”教学[J].新课程（综合），2010（8）：11-12.
[3]庄惠芬.合理把握小学数学建模的定位[C].江苏教育（小学教学），2011（3）：9-11.
[4]陈丽兰，刘鸣，曹景明.儿童估算策略选择研究述评及展望[J].数学教育学报，2009（6）：83-86.
作者简介：
朱琴，江蘇省南京市，南京市诚信小学。
关键词：模型思想;数学实践;购物;费用估算
数学模型同数学应用、问题解决紧密地联系在一起，对于数学教学具有十分重要的意义。模型思想是学生体会和理解数学和外部世界联系的基本途径，主要体现在建模过程中，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义，必要时还需要拿到现实问题中去检验，这是一个对数学进行科学探究的过程。
“数学实践”是一类以问题为载体、师生共同参与的数学学习活动。针对问题情景，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程。
模型思想和“数学实践”都是从问题出发，都要经历一个相对完整的问题解决过程，在解决问题的过程中往往需要综合应用各种知识和技能，需要与他人协作，两者具有内在的契合性。用模型思想指导“数学实践”活动，将数学建模过程作为“数学实践”活动的主线，能够提高“数学实践”活动的数学价值，有效实现数学教学目标;同时“数学实践”活动由于时间和空间上的灵活性，为模型思想的完整展现提供了良机，有利于模型思想的培养。
对于小学数学教学而言，数学建模和“数学实践”活动本身就具有一定的难度，而将二者有机结合并达到较好教学效果可谓难上加难，相关的案例也不多见，本文以“购物费用估算”为例，展现了一个模型思想指导下的“数学实践”学习活动的完整过程。
一、 活动的起点：问题
选择恰当的问题是搞好“数学实践”活动的起点，也是关键。建模思想强调从日常生活或具体情境中发现问题，“购物费用估算”是日常生活中常见的数学活动，将估算与日常购物相结合，能培养学生估算意识和估算应用能力。在以往的估算教学中，笔者采用了“创设情境、探索交流、总结归纳、应用拓展”的教学思路，感觉良好，但有一次学生提出的一个问题引起了笔者的深思，即“课堂上学到的估算方法在实际购物时为什么用不上？”。为什么会用不上？这需要对实际购物及费用估算进行深入细致地分析，才能得到答案。
日常超市购物一般会在经历一段购物时间后，排队结账，估算（主要是口算）实际发生在结账前（购物过程中或排队等待时），结账后根据发票主要是检查物品的数量、价格和发票上的是否一致，一般不会怀疑价格计算的准确性。结账前估算的依据是物品单价和数量，这里就需要记忆物品的单价（数量可以通过清点物品得到、现场称量并贴上金额标签的物品价格无须记忆），当物品较多时，如何有效记住物品单价是估算要解决的第一个问题。在实际估算时，人们大多是估算到元，而具体的估算方法则是多种多样的，如何找到一个便于记忆、计算快捷、精度适当的估算方法，就成为一个值得探索的问题。而在以往教学中，“创设情境”的时候，过于简化，没有反映出超市购物估算的上述特点，在探索交流时则侧重于估算策略的选择和计算，最终没能提出一个简单有效的可以实际使用的估算模型。
显然这是一个实际的、富有挑战性的问题，那它是否适合作为“数学实践”活动的主题呢？这需要进行评估。经过进一步的分析和研究，笔者认为可以一试。一方面是因为笔者对问题的解决有了初步的构思和把握，涉及的知识和方法基本不超过小学五年级学生的知识水平;另一方面是与部分同学交流后，同学们表示出了对该问题的兴趣，愿意在老师的带领下研究这一问题，而且问题的解决需要收集大量的数据和计算，确实需要学生的参与。
二、 活动的过程：建模
在模型思想指导下，“数学实践”活动的过程，既是探究学习的过程，也是建模的过程，超市购物费用估算模型的建立基本经过以下步骤：
（一） 提出问题
考虑到绝大部分学生都有超市购物的经历，而且组织全体学生实际购物费时费力，所以充分利用学生已有的购物经验，请同学回忆购物过程，直接提出问题：“如何找到一个简单有效地购物费用估算方法？”
（二） 构建和求解估算模型
经过大家的初步讨论，发现问题并不是那么容易解决，需要综合考虑各种因素，笔者引导学生需要将问题简化，有学生提出可以先根据发票上的数据来估算费用，进一步讨论后，问题转化为根据发票金额列（商品单价×数量的结果）的数据估算总费用（商品金额估算到元），这可以抽象出更一般的数学问题：给定一列数，估算数相加的和（估算到整数个位）。
解决这样的问题，常用的估算方法有：（1）忽略小数位法，将每个数的小数部分忽略，然后累加整数部分，可以得到实际数的下限估计部分;（2）进1法，去掉小数位后，将个位加1，累加得到实际数的上限估计部分;（3）四舍五入法，将小数点后的尾数四舍五入，然后累加，计算出的数是实际数的一个更为精确的估计。
在实际操作中，请学生收集一张超市购物发票（要求商品数3-15项，总金额1000以内），将发票上总金额信息部分去掉，另外记下总金额。在课上，学生互相交换发票，根据发票各项商品数据口算估算总金额，将口算结果记下，然后与实际总金额比较，一般会与总金额有差异，老师借机引导学生讨论、交流后，一般可以归结出以上估算方法。
为了进一步弄清上述3种估算方法之间的数量关系，老师提问：“知道了实际数的下限估计部分，能不能很快算出上限估计部分？”，并通过实际数据计算演示，引导学生观察、推理：假设有3个商品金额：25.12、6.88、10.60，下限估计数（X）为25 6 10，上限估计数（S）为26 7 11，那么S=25 1 6 1 10 1=25 6 10 3=X 3，通过归纳可以得到上下限估计数之间的关系式：X=S n（n是商品数），类似的四舍五入法估算的金额数（Z）为：25 7 11，那么Z=25 6 10 2=L i（i是五入的商品数），也就是说只要知道下限金額数，上限金额数和四舍五入法估计的金额数，就可以方便地计算出来，反之亦然。 至此，学生对于上述简化的问题已经有了较为深入地认识，能够确定总金额的范围，并估算出一个较精确的值。
（三） 实际检验估算模型
要求学生在实际购物中，使用上述方法估算，将估算结果记在发票上带回课堂，在课堂上统计计算出实际金额与估计金额的最大、最小差值，以及最大、最小相对误差，相对误差计算式是：（实际值-估计值）/估计值。通过切身经历以及广泛比较，同学们普遍反映估算方法简单易行，估算结果比较准确。
但也有同学提出了异议：“上面的方法是根据已打出的发票进行估算的，而结账前，没有发票，估算时，首先需要知道每个商品的单价和数量，而有些商品的单价，只在货架上标示，只有记住才能计算”。老师顺势问道：“确实，超市购物时间一般较长，如果需要记的商品单价较多，就容易记错，大家有什么好的办法吗？”，同学们经过讨论，提出了各种方法，大致可归结为以下两个方面：一是借助工具记忆，如用笔记下价格、让一同购物的人帮着记、将价格写在手机里，甚至提出用手机扫描商品条形码获取价格;二是尽量减少记忆量，如只记价格的整数部分、边购物边估算，记住中间结果。但在实际购物中，工具虽有助于记忆，却并不常用，人们主要还是靠自己的大脑来记忆和运算，所以应探索如何减少记忆和运算量负担，同时较准确地估算出总金额？
还有同学提出疑问：“上述模型方法是基于商品金额（商品单价×数量）计算的，而商品金额本身有时并不容易计算，例如单价12.7元，数量13，需要计算12.7×13，这个如何简便计算？”。
这些问题的提出，为下一次活动的展开埋下了伏笔。
三、 活动的终点：反思
建模活动结束后，师生的反思很有必要，一方面总结反思是活动的一个重要环节，有利于培养反思意识;另一方面通过反思学生可以进一步理解所用的知识和方法，体会建模过程，积累数学活动经验，老师则可以反思整个教学活动，积累教学经验，进一步提高自己的教学水平。
购物费用估算问题源于日常生活，在师生的共同努力下，发现和提出了“如何简单有效估算超市购物费用？”这样一个富有挑战性的问题。然后师生共同经历了将实际问题简化抽象、采集数据建模求解、再实际检验模型的建模过程。在这一过程中，综合运用了多种知识，多种技能、多种思维方法，培养了学生的问题意识，运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，活动充分体现出了综合性、实践性和过程性，学生的数学能力、解决现实问题的能力得到锻炼和提高。不少同学反映虽然在活动中遇到一些问题和困难，但在老师的指导下，同学们的互相帮助下，克服了困难，当看到在购物中，运用自己参与研究出来的估算方法得到较好的结果时，体验到了成功的喜悦，也增加了自信。
笔者在这次探究活动中也体会到要想将建模思想有效融入“数学实践”活动中，教师需要不断学习、思考、实践，努力成为一个好的数学建模者。要能够提出一个好的问题，初步规划后，应大胆尝试。要相信学生，依靠学生，让学生参与进来，师生的共同努力是活动成功的关键。对这次活动而言，虽然已经走到了终点，但对下一次活动而言，这将是一个新的起点。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京师范大学出版社，2011.
[2]吴伟锋.基于建模的“实践与综合应用”教学[J].新课程（综合），2010（8）：11-12.
[3]庄惠芬.合理把握小学数学建模的定位[C].江苏教育（小学教学），2011（3）：9-11.
[4]陈丽兰，刘鸣，曹景明.儿童估算策略选择研究述评及展望[J].数学教育学报，2009（6）：83-86.
作者简介：
朱琴，江蘇省南京市，南京市诚信小学。