1. 数形结合
　　例1 已知关于[x]的方程：[x2-2ax+a=0]有两个实根[α、β]，且满足[0＜α＜1，β＞2]，求实数[a]的取值范围.
　　分析 利用求根公式，将[0＜α＜1，β＞2]转化为关于[a]的不等式组，求[a]的取值范围，这样做计算将会很繁琐. 而利用根与系数的关系进行转化时，很难得到充要条件. 因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找解决问题的充要条件.
　　设[y=f(x)=x2-2ax+a]，如图，若方程[f(x)=0]的两根分别在区间（0，1）和（2，+∞）内，即抛物线[y=f(x)]与[x]轴的两个交点分别位于原点与点（1，0）之间和点（2，0）的右侧. 由此可知，只需考虑[f(0)，f(1)，f(2)]的符号，而无需考虑判别式以及对称轴的位置，因此得出其充要条件为：[f(0)>0,f(1)<0,f(2)<0.]
　　
　　解 设[f(x)=x2-2ax+a]，则方程[f(x)=0]的两个根[α、β]就是抛物线[y=f(x)]与[x]轴的两个交点的横坐标，如图，[0＜α＜1，β＞2]的充要条件是：
　　[f(0)>0,f(1)<0,f(2)<0.即a>0,1-a<0,4-3a<0.]解得[a>43.]
　　所以，当[a>43]时，方程的两个实根[α、β]，满足[0＜α＜1，β＞2].
　　点拨 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意用数形结合研究问题. 在应用数形结合思想解决与不等式有关的问题时，应考虑设辅助函数、利用函数图象来解决.
　　
　　2. 韦达定理
　　例2 已知关于[x]的不等式[ax2+2x+c>0]的解集为[(-13,12)],求[-cx2+2x-a>0]的解集.
　　解析 由[ax2+2x+c>0]的解集为[(-13,12)]知,
　　[a>0],[-13、12]为方程[ax2+2x+c=0]的两个根.
　　由韦达定理得，[-13+12=-2a,-13×12=ca],
　　解得[a=-12,c=2].
　　∴[-cx2+2x-a>0]即[2x2-2x-12<0],
　　∴其解集为(-2,3).
　　点拨 已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是：先由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数.
　　
　　3. 分类讨论
　　例3 已知[A={x |x-a＞0}],[B={x|x2-2ax][-3a2][＜0}]，求[A⋂B]及[A⋃B].
　　解析 [A={x|x＞a}，B={x|(x+a)(x-3a)＜0}]，
　　考虑集合[B]中[-a]与[3a]的大小关系，对字母[a]进行分类讨论：
　　（1）当[a＞0]时，[-a＜3a]，[B={x|-a＜x＜3a}]，
　　∵[-a＜a＜3a]，
　　∴[A⋂B={x|a＜x＜3a}]，[A⋃B][={x|x＞-a}].
　　（2）当[a=0]时，[A={x|x＞0}]，[B=∅]，此时，[A⋂B=∅]，[A⋃B={x|x＞0}].
　　（3）当[a＜0]时，[-a＞3a]，[B={x|3a＜x＜-a}]，
　　∵[3a＜a＜-a]，
　　∴[A⋂B={x|a＜x＜-a}]，[A⋃B][={x|x＞3a}].
　　点拨 分类讨论时，要求既不重复讨论，也不遗漏某些特殊情况，往往是数形结合、分类讨论交叉进行. 不等式的分类讨论常常围绕以下几点展开：（1）一元一次不等式的一次项系数. 该系数的符号与不等式解集的形态有关，所以若含有参数则要进行讨论. （2）一元二次不等式的二次项系数. 该系数若含有参数时，要讨论系数的符号. （3）二次不等式的判别式. 判别式△的符号决定解集的类型，所以若不等式系数中含有参数，往往要对判别式进行讨论. （4）在二次函数[f(x)]与[x]轴有两个交点[(x1，0)、(x2，0)]的情况下，求[f(x)>0]或[f(x)< 0]的解集，若[x1]、[x2]中含有参数，要对[x1]与[x2]的大小关系进行讨论.
　　
　　4. 等价转换思想
　　例4 解不等式[ax2+bx+c>0]（[a>0]）.
　　解析 方法1（转化为解一元一次不等式组）:
　　[ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a]，
　　（1）若[Δ>0]，方程[ax2+bx+c=0]有两个实数根[x1=-b-b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，则[ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)>0].
　　∴[x-x1<0,x-x2<0,]或[x-x1>0,x-x2>0.]
　　∴[xx2].
　　∴不等式的解集为[{x|x<-b-b2-4ac2a]或[x>-b+b2-4ac2a}].
　　（2）若[Δ=0]，方程[ax2+bx+c=0]有两个相等的实数根[x1=x2=-b2a]，
　　则[ax2+bx+c=a(x-b2a)2>0].
　　∴[x1≠-b2a]，即不等式的解集为[{x|x≠-b2a}].
　　（3）若[Δ<0]，方程[ax2+bx+c=0]没有实数根，此时[ax2+bx+c>0]恒成立，
　　∴不等式的解集为[{x|x∈R}].
　　方法2（转化为解简单的绝对值不等式）:
　　[ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a>0]，
　　∴原不等式化为[a(x+b2a)2>b2-4ac4a].
　　（1）若[Δ>0]，则[|x+b2a|>b2-4ac2a]，
　　∴[x+b2a<-b2-4ac2a]或[x+b2a>b2-4ac2a]
　　∴不等式的解集为[{x|x<-b-b2-4ac2a]或[x>-b+b2-4ac2a}].
　　（2）若[Δ=0]，原不等式可化为[(x+b2a)2>0]，
　　∴不等式的解集为[{x|x≠-b2a}]
　　（3）若[Δ<0]，则不等式的解集为[{x|x∈R}].
　　点拨  解不等式时，一定要树立等价转化的思想，要保证每一步进行的都是不等式的同解变形（即等价变换）.
　　
　　5. 变换主元
　　例5 若不等式 [2x-1>m(x2-1)]对满足[m≤2]的所有[m]都成立,求[x]的取值范围.
　　分析 对于[m∈[-2,2]],不等式[2x-1>m(x2-1)]恒成立,若将[m]视为主元,可利用函数的观点来解决，即利用函数的单调性解不等式.
　　解 原不等式化为[x2-1m-2x-1<0.]
　　令[fm=x2-1m-2x-1,(-2≤m≤2),]
　　根据题意有
　　[f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0,f(2)=2(x2-1)-(2x-1)<0.]
　　即[2x2+2x-3＞0,2x2-2x-1＜0.]
　　解得[-1+72　　点拨 从表面上看，这是一个关于[x]的一元二次不等式，实际上是一个关于[m]的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2，2]，求参数[x]的取值范围.
　　
　　6. 最值法
　　例6 已知当[x∈[0,1]]时[f(x)=x2+ax+3-a>0]恒成立，求[a]的取值范围．
　　解 只需[f(x)]在区间[0,1]上的最小值大于0即可.先求[f(x)=(x+a2)2-a24+3-a]在[0,1]上的最小值.
　　（1）当-[a2<0],即[a>0]时, [f(x)min=f(0)=3-a.]由[3-a>0]，得[a＜3]，则[0　　（2）当0≤-[a2]≤1时，即-2≤[a]≤0时, [f(x)min=][f(-a2)=-a24+3-a].由[-a24+3-a]>0，得[-6　　（3）当-[a2>1]，即[a<-2]时,[f(x)min=f(1)=4>0]恒成立．
　　综上所述，[a<3].
　　点拨 对于以下四种类型的不等式：[f(a,x)>0]或[f(a,x)≥0]，[f(a,x)<0]或[f(a,x)≤0.] 如果在确定其中一个字母范围的条件下，求另一个字母的取值范围，那么通常可以借助函数最值法加以处理.
　　
　　7. 数轴标根法
　　例7 [x2-2x-8>0]
　　先用十字相乘法或公式法分解因式得到：[(x-4)(x+2)>0].
　　数轴标根法:[-2<4].
　　
　　解集为[{x|x>4或x<-2}].
　　点拨 对[-x2-x+6>0]这种不等式怎么办呢？所以在这里说明一下，我们的不等式是这样的[ax2-bx+c>0]和[ax2-bx+c<0]，在这里规定：[a>0].如果你的不等式是[a<0]的情况，你就要在不等式的左右两边同时乘以-1还要变号，那么你的不等式就可以用我们的数轴标根法来求解了.
　　
　　练习
　　1. 已知不等式[ax2+bx+c﹥0 (a≠0)]的解集为[{x|α﹤x﹤β,0<α﹤β}]. 求不等式[cx2+bx+a﹤0]的解集.
　　2. 设不等式[x2-2ax+a+2≤0]的解集为[M]，如果[M⊆]［1，4］，求实数[a]的取值范围.
　　3．解关于[x]的不等式[ax2-2(a+1)x+4>0][(a>0)].
　　4. 为使周长为20cm的长方形面积大于[15cm2]，不大于[20cm2]，它的短边多长？
　　5. 不等式[x2-ax-6a>0]的解为[xb]，且[b-a≤5(a≠b)]，求实数[a]的取值范围.
　　
　　答案
　　1. [{x︱x<1β]或[x>1α}] 2. (-1，[187])
　　3. 当[a＝1]时，[{x|x∈R且x≠2}]；当[a≠1]时，[{x|x<2a或x>2}]；若[02a}]
　　4. [5-10　　5. [-25≤a<24或0