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数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想。分类是研究问题的一种常用方法，通过分类可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决。《分类——一种常用方法》是苏教版七年级数学上册，第二章有理数后的一段阅读材料。笔者在教学设计过程中，以渗透分类思想为主线，设计了数的分类、形的分类、用分类思想解决简单的实际问题三个板块。从而让学生明白：当某个问题有多种情况出现或推导结果不唯一确定时，常运用分类讨论的方法，再加以集中归纳。
一、教学过程简录
1.生活中的分类现象
教师：你用什么方法，可以把凌乱的一堆钱较快地数清楚？（教师通过多媒体呈现，学生先思考再回答）。
学生1：可以先将钱分类，把相同面值的钱整理在一起，就可以较快地数清楚了。
教师：非常好，请同学们说一说，生活中还有其他的分类现象吗？
学生2：水果店里的水果总是分类摆放的。
学生3：超市里的商品也是分类摆放的。
学生4：路边垃圾桶内的垃圾可分为可回收垃圾、不可回收垃圾以及蓄电池类。
……
反思：学生的回答非常精彩，尤其谈到了垃圾的分类，使其在课堂中体会到数学思想来源于生活，提升了他们的节约意识和环保意识。
2.数的分类
教师：同学们都回答得非常好，可见，生活中有很多这样的分类现象，同样在数学中也有很多问题，需要用到分类的方法来解决 （板书课题） 。
例1 已知|a|=3，|b|=5，求a-b的值。
学生4：（学生回答，教师板书）根据题意，要分成4种情况讨论：
由题意可知a=±3，b=±5.
当a=3，b=5时，a-b=3-5=-2；
当a=3，b=-5时，a-b=3-（-5）=8；
当a=-3，b=5时，a-b=-3-5=-8；
当a=-3，b=-5时，a-b=-3-（-5）=2.
教师：正确。本题中的a可以是3或-3，b可以是5或-5，因此要分成4种不同的情况来讨论，对应的a-b的值也就有4个不同的值。
反思：借助于学生已学的绝对值的知识，对数进行分类讨论。解决本题时，可以先铺垫一个小问题：|a|=3，求a的值，这样可以为数学基础较为薄弱的同学搭建解决问题的通道。
练习1 如果|a|=a，则a为 。
学生5：正数和0都满足，所以a为非负数。（学生回答，多媒体呈现答案）
教师：现在，我改变题目中的已知条件，请同学们思考最后的结果。
变式：若|a|=-a，则a为 。
学生6：a为非正数，因为负数和0都满足条件。
教师：很好，我们一起来回顾本题的解决过程，首先对数进行分类，运用分类思想；其次，符合已知条件的数就是a最终的答案。
反思：在解决绝对值问题时，往往要对数进行分类，把有理数分为正有理数、0、负有理数3类， 从而让学生清晰地建构出了这类问题的解决策略。对于理解能力不强的学生，可以让其取一些具体的数值代入，来帮助他们理解本题。
例2 数轴上的点A到表示-1.5的点的距离是3，则点A表示的数为 。
学生7：1.5。
学生8：不对，在数轴上，点A的位置有两种情况，可以在表示-1.5的点的左边，也可以在表示-1.5的右边，因此，点A表示的数可以是-4.5或1.5。
教师：非常棒！根据点A在数轴上的位置的不确定性，要分成两类来考虑。
练习2 已知点A，B为数轴上两点，A点对应的数为0，B点对应的数为3，若数轴上存在一点C，使AC=2BC，则点C所表示的数为 。（注：这里的AC指线段AC的长度）
教师：点C在数轴上的位置可能有几种情况呢？本题要分成几种情况来讨论？
学生9：要分成三种情况：在点A的左侧；在点A和点B之间；在点B的右侧，但是很明显，第一种情况不符合题意，因此点C有两种情况，点C表示的数可以是2或6。
教师：这位同学回答正确、分类全面，当点的位置不确定时，要根据点在数轴上的位置进行分类讨论。（教师板书）
教师：点C可能会在点A或者点B的位置吗？
学生10：不会，若点C在点A的位置，则AC为0，BC为3，不满足AC=2BC，同样的，若点C在点B的位置时，AC为3，BC为0，也不满足要求。
教师：很好，借助数轴对点的位置进行讨论时，我们不要忘了考虑端点处。
教师：非常好，现在排除了-1，0和1，那么哪些数符合已知条件呢？请同学们讨论一下。（学生小组讨论，教师巡视，寻找正确答案）
学生13：我们可以借助于数轴，表示a的点可能有四种情况：在表示-1的点的左侧；在-1和0之间；在0和1之间；在1的右侧。在这四个范围内分别取一些特殊的值代入，发现满足条件的a的范围为-11。
教师：你真聪明！能够想到利用数轴这一工具来分析问题，从而进行分类讨论。
反思：练习2是在例2基础上的拔高，让学生知道解决数的分类问题时，数轴是一个非常重要的工具，要注意数形结合思想的运用。同时，能力提升题又对学生提出了更高的要求，充分体现了逆向思维在数学中的应用。通过这组练习，学生对数学中的分类思想有了一个质的飞跃。
3.形的分类
例3 如图1，点B、C在线段AD上，请问图中有多少条线段？
图1
学生14：有6条。有线段AB、BC、CD、AC、BD、AD。 教师：正确。还有其它数线段的方法吗？
学生15：可以先确定一个端点A有AB、AC、AD；再确定B端点有BC、BD；最后确定C端点有CD。
教师：回答很有顺序性。可以根据左端点的不同进行分类讨论，这样有顺序地数就可以做到不重复、不遗漏。
练习3：如图2，在3 ×4的网格中，每个方格都是正方形，请你数一数图中正方形共有多少个？
教师：你是如何有序数出正方形的个数的？
学生16：1×1的正方形有12个，2×2的正方形有6个，3×3的正方形有2个，共有20个正方形。
教师：本题先是对正方形的边长进行分类，再在不同的类里数出正方形的个数。
反思：这一板块，从学生熟悉的数线段入手，再到数正方形，从形的角度让学生体会到，根据图形的特征，先确定分类标准，再对不同的类进行讨论，同时，所分的类要做到不重复、不遗漏，充分体现了利用分类思想来解决数学问题，具有一定的优越性，是数学中一种重要的思想方法。
4.分类思想的实际应用
例4 如图3-1，在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、向下或向左、向右走一格，那么这枚棋子走28步后_____到达B处。（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）
学生17：由A到B最少需要5步，或者7步，或者9步……都是奇数步，所以我猜想28步后不能到达B处。
教师：你的猜想有一定的道理。通过具体的实验我们会发现，其实不管怎么走，要想到达B必须是奇数步，可以作为参考，但似乎这样的理由还不是很充分。为什么偶数步肯定到不了呢？
教师（学生都很难解决这个问题，教师给出解决方案）：按照上面的规定，棋子每走一步都有2-4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情况十分复杂。因此，我们可以把棋盘上的方格分成黑白相间的两类（如图3-2），且使每个黑格的四周都是白格，每个白格的四周都是黑格，那么，棋子从黑色的A格出发，第一步必定进入白格，第二步必定进入黑格，第三步又进入白格……也就是说，棋子走奇数步时，进入白格；走偶数步时，进入黑格。所以，当棋子从A格出发走28步后，必定落在黑格而不可能进入白色的B格。
反思：将棋盘上的小方格分成黑、白两类，可以看作是分类思想在处理较复杂问题时的最简单的应用。 其中不乏精彩的回答，尤其是学生在讲到从A到B最少要走5步，走28格不可能到达B处，其实就从数的角度归纳出解决问题的方法：以最少的步数到达B处以后，再多走一步就是偶数步，要回到原来的B处，必须在此基础上多走一步，那就变成奇数步，如此下去，只能是奇数步到达B处，偶数步必然不会到达B处，从奇数、偶数的分类来解决本题是学生最容易接受的。这是课堂上的生成资源，但是教师在上课时没有很好地把握这一资源，是本节课的遗憾之处。其次，从形的角度，把棋盘分成黑白两类来解决，使学生的分类思想得到了提升：数学是源于生活而用于生活的。
二、教学小结
在解答某些数学问题时，有时会出现多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在试题中占有重要的位置。
分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体—确定分类标准，正确进行分类—逐步进行讨论，获取阶段性结果—归纳小结，综合得出结论。分类讨论应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论。
对于七年级的学生来讲，本节课是让学生初步了解中学数学中的分类讨论思想，不宜过难。而且在总结时可以给出以下几个注意点：1.当一个数学问题不唯一时，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况（简称类），然后对每一种情况分别进行讨论，这种解决问题的思想就是分类思想。2.关于数的分类，通常把有理数分成正有理数、0、负有理数3类。3.分类时，所分的类应做到不重复不遗漏。4.数轴是解决数学问题的一个重要工具，要注意数形结合思想的运用。
总之，在数学教学中，切实把握好分类的数学思想方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平有计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生的学习效率和数学能力的法宝。
一、教学过程简录
1.生活中的分类现象
教师：你用什么方法，可以把凌乱的一堆钱较快地数清楚？（教师通过多媒体呈现，学生先思考再回答）。
学生1：可以先将钱分类，把相同面值的钱整理在一起，就可以较快地数清楚了。
教师：非常好，请同学们说一说，生活中还有其他的分类现象吗？
学生2：水果店里的水果总是分类摆放的。
学生3：超市里的商品也是分类摆放的。
学生4：路边垃圾桶内的垃圾可分为可回收垃圾、不可回收垃圾以及蓄电池类。
……
反思：学生的回答非常精彩，尤其谈到了垃圾的分类，使其在课堂中体会到数学思想来源于生活，提升了他们的节约意识和环保意识。
2.数的分类
教师：同学们都回答得非常好，可见，生活中有很多这样的分类现象，同样在数学中也有很多问题，需要用到分类的方法来解决 （板书课题） 。
例1 已知|a|=3，|b|=5，求a-b的值。
学生4：（学生回答，教师板书）根据题意，要分成4种情况讨论：
由题意可知a=±3，b=±5.
当a=3，b=5时，a-b=3-5=-2；
当a=3，b=-5时，a-b=3-（-5）=8；
当a=-3，b=5时，a-b=-3-5=-8；
当a=-3，b=-5时，a-b=-3-（-5）=2.
教师：正确。本题中的a可以是3或-3，b可以是5或-5，因此要分成4种不同的情况来讨论，对应的a-b的值也就有4个不同的值。
反思：借助于学生已学的绝对值的知识，对数进行分类讨论。解决本题时，可以先铺垫一个小问题：|a|=3，求a的值，这样可以为数学基础较为薄弱的同学搭建解决问题的通道。
练习1 如果|a|=a，则a为 。
学生5：正数和0都满足，所以a为非负数。（学生回答，多媒体呈现答案）
教师：现在，我改变题目中的已知条件，请同学们思考最后的结果。
变式：若|a|=-a，则a为 。
学生6：a为非正数，因为负数和0都满足条件。
教师：很好，我们一起来回顾本题的解决过程，首先对数进行分类，运用分类思想；其次，符合已知条件的数就是a最终的答案。
反思：在解决绝对值问题时，往往要对数进行分类，把有理数分为正有理数、0、负有理数3类， 从而让学生清晰地建构出了这类问题的解决策略。对于理解能力不强的学生，可以让其取一些具体的数值代入，来帮助他们理解本题。
例2 数轴上的点A到表示-1.5的点的距离是3，则点A表示的数为 。
学生7：1.5。
学生8：不对，在数轴上，点A的位置有两种情况，可以在表示-1.5的点的左边，也可以在表示-1.5的右边，因此，点A表示的数可以是-4.5或1.5。
教师：非常棒！根据点A在数轴上的位置的不确定性，要分成两类来考虑。
练习2 已知点A，B为数轴上两点，A点对应的数为0，B点对应的数为3，若数轴上存在一点C，使AC=2BC，则点C所表示的数为 。（注：这里的AC指线段AC的长度）
教师：点C在数轴上的位置可能有几种情况呢？本题要分成几种情况来讨论？
学生9：要分成三种情况：在点A的左侧；在点A和点B之间；在点B的右侧，但是很明显，第一种情况不符合题意，因此点C有两种情况，点C表示的数可以是2或6。
教师：这位同学回答正确、分类全面，当点的位置不确定时，要根据点在数轴上的位置进行分类讨论。（教师板书）
教师：点C可能会在点A或者点B的位置吗？
学生10：不会，若点C在点A的位置，则AC为0，BC为3，不满足AC=2BC，同样的，若点C在点B的位置时，AC为3，BC为0，也不满足要求。
教师：很好，借助数轴对点的位置进行讨论时，我们不要忘了考虑端点处。
教师：非常好，现在排除了-1，0和1，那么哪些数符合已知条件呢？请同学们讨论一下。（学生小组讨论，教师巡视，寻找正确答案）
学生13：我们可以借助于数轴，表示a的点可能有四种情况：在表示-1的点的左侧；在-1和0之间；在0和1之间；在1的右侧。在这四个范围内分别取一些特殊的值代入，发现满足条件的a的范围为-1
教师：你真聪明！能够想到利用数轴这一工具来分析问题，从而进行分类讨论。
反思：练习2是在例2基础上的拔高，让学生知道解决数的分类问题时，数轴是一个非常重要的工具，要注意数形结合思想的运用。同时，能力提升题又对学生提出了更高的要求，充分体现了逆向思维在数学中的应用。通过这组练习，学生对数学中的分类思想有了一个质的飞跃。
3.形的分类
例3 如图1，点B、C在线段AD上，请问图中有多少条线段？
图1
学生14：有6条。有线段AB、BC、CD、AC、BD、AD。 教师：正确。还有其它数线段的方法吗？
学生15：可以先确定一个端点A有AB、AC、AD；再确定B端点有BC、BD；最后确定C端点有CD。
教师：回答很有顺序性。可以根据左端点的不同进行分类讨论，这样有顺序地数就可以做到不重复、不遗漏。
练习3：如图2，在3 ×4的网格中，每个方格都是正方形，请你数一数图中正方形共有多少个？
教师：你是如何有序数出正方形的个数的？
学生16：1×1的正方形有12个，2×2的正方形有6个，3×3的正方形有2个，共有20个正方形。
教师：本题先是对正方形的边长进行分类，再在不同的类里数出正方形的个数。
反思：这一板块，从学生熟悉的数线段入手，再到数正方形，从形的角度让学生体会到，根据图形的特征，先确定分类标准，再对不同的类进行讨论，同时，所分的类要做到不重复、不遗漏，充分体现了利用分类思想来解决数学问题，具有一定的优越性，是数学中一种重要的思想方法。
4.分类思想的实际应用
例4 如图3-1，在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、向下或向左、向右走一格，那么这枚棋子走28步后_____到达B处。（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）
学生17：由A到B最少需要5步，或者7步，或者9步……都是奇数步，所以我猜想28步后不能到达B处。
教师：你的猜想有一定的道理。通过具体的实验我们会发现，其实不管怎么走，要想到达B必须是奇数步，可以作为参考，但似乎这样的理由还不是很充分。为什么偶数步肯定到不了呢？
教师（学生都很难解决这个问题，教师给出解决方案）：按照上面的规定，棋子每走一步都有2-4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情况十分复杂。因此，我们可以把棋盘上的方格分成黑白相间的两类（如图3-2），且使每个黑格的四周都是白格，每个白格的四周都是黑格，那么，棋子从黑色的A格出发，第一步必定进入白格，第二步必定进入黑格，第三步又进入白格……也就是说，棋子走奇数步时，进入白格；走偶数步时，进入黑格。所以，当棋子从A格出发走28步后，必定落在黑格而不可能进入白色的B格。
反思：将棋盘上的小方格分成黑、白两类，可以看作是分类思想在处理较复杂问题时的最简单的应用。 其中不乏精彩的回答，尤其是学生在讲到从A到B最少要走5步，走28格不可能到达B处，其实就从数的角度归纳出解决问题的方法：以最少的步数到达B处以后，再多走一步就是偶数步，要回到原来的B处，必须在此基础上多走一步，那就变成奇数步，如此下去，只能是奇数步到达B处，偶数步必然不会到达B处，从奇数、偶数的分类来解决本题是学生最容易接受的。这是课堂上的生成资源，但是教师在上课时没有很好地把握这一资源，是本节课的遗憾之处。其次，从形的角度，把棋盘分成黑白两类来解决，使学生的分类思想得到了提升：数学是源于生活而用于生活的。
二、教学小结
在解答某些数学问题时，有时会出现多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在试题中占有重要的位置。
分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体—确定分类标准，正确进行分类—逐步进行讨论，获取阶段性结果—归纳小结，综合得出结论。分类讨论应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论。
对于七年级的学生来讲，本节课是让学生初步了解中学数学中的分类讨论思想，不宜过难。而且在总结时可以给出以下几个注意点：1.当一个数学问题不唯一时，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况（简称类），然后对每一种情况分别进行讨论，这种解决问题的思想就是分类思想。2.关于数的分类，通常把有理数分成正有理数、0、负有理数3类。3.分类时，所分的类应做到不重复不遗漏。4.数轴是解决数学问题的一个重要工具，要注意数形结合思想的运用。
总之，在数学教学中，切实把握好分类的数学思想方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平有计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生的学习效率和数学能力的法宝。