众所周知,圆的面积公式的教学是小学数学教学的一个难点。对此,现行小学数学教材采用了把圆等分成若干个小扇形,用这些小扇形一正一倒拼成一个近似的平行四边形的方法推得的。如此教学体现了圆的面积公式的证明方法,逻辑上正确严密,又合乎学生的认识水平,当然无可非议。然而数学是思维的科学,因此作为数学教学,一方面是让学生获得一定的数学知识,更重要的是使学生在获取知识的过程中领略数学思想,培养学生的数学思维,学习和学会思考、分析、推理和解决问题的意识和方法,这样才能形成能力。所有这些不仅有利于学生对当前的学习,更重要的是有利于学生以后的学习和发展。圆的面积问题是学生一生中碰到的第一个用极限方法处理的数学问题,其核心是“把质的变化转化为量的重复”。因此笔者认为,在这一教学过程中,如何启发学生从已有的经验、知识和方法出发,想到怎样转化和为什么要重复先前的做法,以下三个问题是教学的重点、难点和关键。
　　1.怎样使学生想到要把圆等分成若干个小扇形以及怎样分成小扇形?
　　2.怎样使学生想到要把这些小扇形一正一倒拼起来,使之成为近似的平行四边形?
　　3.怎样使学生想到为了使拼成的图形更接近于平行四边形,应该把圆分得更细?
　　对此,传统教法和笔者在网上看到的课件以及许多杂志上登载的教学设计都是直接给出了剪拼过程,而忽视了启发学生想到这些问题的教学,使剪拼方法成了无源之水。不但加大了学生认知的难度,而且丧失了培养学生思维、分析问题和解决问题的能力的极好机会,更重要的是数学教学从一定程度上讲是思想方法的教学,而以上教学使学生本来能领略到的数学思想方法而未能领略,至少是未能较深刻地领略,这样教学的结果必然导致“读死书、死读书”的境地。笔者在教学中引导学生从生活经验和已有的数学知识出发,归纳总结出解决问题的一种方法,然后通过类比把这一方法用于圆的面积公式的推导;结合适时的分析启发,不仅成功地解决了圆的面积公式的推导的问题,而且使学生学习和领略到了分析、归纳和类比以及把质的变化转化为量的重复等重要的数学思想方法,培养了学生的逻辑思维能力解决数学问题的能力。因而取得了很好的效果。现推荐给各位,以供参考。
　　刚上课,笔者设计了如下两个问题:
　　1.给你一个大西瓜,你怎样吃掉它?
　　2.我们知道,判断一较大的自然数能否被3整除。只要看这个数的各个数位上的数之和能否被3整除就可以了。但当这个和仍然比较大的时候应该怎么办?
　　师生共同讨论解决,课件逐步展示如下:
　　师:这些问题的解法给我们解决问题提供了怎样的一种方法?
　　在教师的引导下,学生经过讨论得出:在解决有些问题时,按照某一合理想法如果一次或一时还不能解决时,我们继续重复使用这一方法,问题就有转机,变得可以解决或者有希望得到解决了(这实际上就是一种数学方法)。
　　我们把这种方法画成下面的图形:
　　在出示了课题“圆的面积”后,教师引导学生复习了以前学过的平行四边形和三角形面积公式的推导方法。着重指出:由于平行四边形不方,因而沿着其一条特殊线段——高,把平行四边形剪开后,经过重新拼凑成了一个长方形;三角形由于一边大一边小,我们把两个三角形一正一倒拼成了一个平行四边形然后问学生:对于圆,我们应该怎么办?
　　生:沿一条特殊线段剪开、重新拼凑。
　　点评:这就是解决圆的面积问题的基本思想。
　　师:“圆有特殊线段吗?”
　　生:“有,直径!”
　　按照学生的想法,电脑演示把圆沿一条直径剪开。
　　剪开后每一部分是一个半圆,但通过试验发现,无论怎样拼也不能把这两个半圆拼成已经学过面积计算的某个图形。学生的思维陷入了困境。这时教师点拨:刚上课我们得出了解决问题的一种方法,按照这一方法,我们应该怎么办?
　　生:“继续前面的作法,把半圆再沿着其一条特殊的线段剪开。”
　　师:“半圆有特殊线段吗?”
　　生(稍加思索):“有,对称轴。”
　　电脑演示把每个半圆沿着它的对称轴剪开,成为四个小扇形。
　　师:“显然,分成的四个小扇形的大小、形状完全一样,因此前边的剪开过程就是把圆四等分成了四个扇形。现在咋办?”
　　生:“把这些扇形拼起来。”
　　师:“怎么拼?”
　　生:“……”
　　教师点拨:“同学们看这些小扇形像咱们学过的什么图形?”
　　生:“噢,我知道了,把这些扇形一正一倒拼起来。”
　　师:“非常好!你是怎样想到这样做的?”
　　生:“因为扇形像三角形,而我们推导三角形面积公式时,是通过把两个完全相同的三角形一正一倒拼成一个平行四边形的。现在,这些扇形既然像三角形,且形状、大小完全相同,并且有四个,自然想到用三角形面积公式的推导方法,把它们一正一倒拼在一起。”
　　师:“回答得非常好!”
　　电脑演示剪拼过程
　　显然,拼成图形的面积仍无法计算。因为它不是三角形拼成的图形,也不像是平行四边形。
　　师(总结做法):“虽然,拼成图形的面积还无法计算,但我们总算把它们拼在一起了。比前面进步了!看来有希望解决,现在告一段落。请同学们总结一下前边的做法。”
　　生:“把圆等分成四个小扇形,然后一正一倒拼在一起(这显然是一个完整的过程了)。”
　　师:“虽然拼在一起了。但拼成图形的面积还是无法计算,怎么办?”
　　此时,学生的思维又一次陷入了困境。教师继续点拨:刚上课我们总结出了解决问题的一种方法,刚才把圆剪成两个半圆后做不下去了,我们使用了这一方法,问题有了转机。现在我们应该怎么办?
　　生甲:“继续前面的做法,再剪再拼。”
　　生乙:“我知道了,再把每个扇形二等分,即把圆八等分后再拼!”
　　电脑显示把圆八等份后拼成的图形。
　　师:“大家看,现在拼成的是什么图形?”
　　生:“像个平行四边形!”
　　师:“这里有两个问题:一是为什么说它像个平行四边形,而不说它就是平行四边形呢?”
　　生:“因为有一组对边是曲边!”
　　师:“就是说拼成的是一个近似的平行四边形。”
　　师:“二是这次我们把圆八等份后拼成了一个近似的平行四边形。那么,上次把圆四等份后拼成的图形也应该是一个近似的平行四边形,究竟是不是呢?”
　　由于受把圆八等分后拼成的是一个近似的平行四边形情况的影响,学生带着观点观察,能够发现:第一次把圆四等分后拼成的图形也是一个近似的平行四边形(如果学生还不能发现,教师可以引导学生从平行四边形的定义的角度去衡量,便能得出结论)。
　　师:“既然上一次把圆四等分后拼成的图形也是一个近似的平行四边形,当时我们为什么没有发现呢?”
　　生:“因为那个图形比较粗糙,特点还不够明显,因而我们没有发现。”
　　点评:这一回顾做得非常好!看起来好像是由出现的新情况在检查错误,实际上不仅培养了学生思维的严密性和解决问题时追求正确和简捷的意识,更重要的是这一问题的解决为后面提供了思路,因而具有承前启后、启迪思维的作用。
　　师:“就是说把圆四等分后拼成的图形和八等分后拼成的图形一样,都是近似的平行四边形;而八等分后拼成图形比四等分后拼成的图形更接近于平行四边形。两次拼成的图形比较说明了什么?”
　　生:“把圆等分成的小扇形越多,即把圆等分得越细,拼成的图形就越接近于平行四边形。”
　　师:“据此,我们应该怎么办?”
　　生:“把圆继续细分后再去拼。”
　　教师用电脑演示:把圆十六等分后拼成的图形,三十二等分后拼成的图形……
　　果然,电脑显示出把圆分成的扇形越多,拼成的图形就越接近于平行四边形,不仅如此,而且由于拼成的近似平行四边形的内角越来越接近于直角,因而拼成的图形接近的还是一个特殊的平行四边形——长方形。
　　师:“电脑证实了我们的猜想。现在,请大家闭上眼睛想:如果我们把圆无限等分下去,拼成的将成为一个什么样的图形呢?”
　　生:“长方形!”
　　电脑显示想象出的长方形。
　　教师再引导学生分析最后得出长方形与圆的关系:长方形的长源于半圆的弧长,宽源于圆的半径。由此得出圆的面积公式。
　　小结点评:本节课关于圆的面积公式的推导,首先引导学生从一个生活问题和一个数学问题的解决中提炼出解决问题的一种重要方法——“把质的变化转化为量的重复”的方法,这是解决圆的面积问题的基本思想方法。在学生思维受阻时用这一方法启发学生一次次闯过了难关,起到了很好的作用。不仅引导启发学生成功地推导出了圆的面积公式,而且使学生从推导过程中领略到了探索解决数学问题的科学方法,更重要的是使学生主动地接触和使用了极限这一重要的数学思想方法。从而形成了解决问题的一种能力,所有这些,对学生以后的学习是非常有利的。