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摘 要：在数学解决问题的过程中，每道题都有突破口，或明或暗或隐或现.如何及时捕捉到解题的突破口？关键点是什么？这些都是总让我们困惑的问题. 笔者通过几个具体的案例来加以阐述.
关键词：解题教学；关键点；心得
在平时的教学与练习中，我们经常会遇到一类看似平常而又无法诠释的问题，其实这并不是真的无法诠释，而是在没有找到突破口之前的一种暂时的困惑而已. 那么这类问题的背后到底隐藏着怎样的玄机呢？这就需要我们能够拥有一双慧眼，及时地捕捉到那个牵一发而能动全身的关键点所在. 实际上，往往找到准确的切入点，就可以实现“一点突破，全线贯通”的奇效. 下面，笔者通过几个具体的案例来加以阐述.
问渠哪得清如许，为有源头活水来
案例1 求tan15°与tan7.5°的值.
分析与解答：对于已经学习两角和与差的三角函数公式的学生而言，解决此题绝没有任何问题，但如果将此题放给还没有学习两角和与差公式的高一学生来做，其情况又会如何呢？我想多数学生会在那儿抓耳挠腮、百思不得其解，继而抱怨老师的故意刁难. 对于一般的学生而言，此题确实有点故意刁难的成分，但却决不能说教师无中生有.为了能够带领学生找到问题解决的突破口，教师在课堂上做了这样的一番引导：
教师：初中时是怎样定义正切函数的？
学生：直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边比邻边.
教师：能否在三角形中求出tan30°的值？
学生：大声地说出（有的学生这时会露出不以为然的窃笑，这些问题太简单；也有的同学会流露出一脸的茫然，这与我们要求的数式有关系吗？）
教师：哪位同学能够在只用尺规的情况下作出15°与7.5°这两个角？
有的学生会很快作出如图1所示的平面图形，即先画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°延长CB到D，使BD=BA，连AD，则∠ADC=15°. 再一次利用“延长线、取相等、角折半”的做法，得到∠AEC=7.5°，继而学生会在三角函数定义的引导下求出正确的结果.
对于没有学过两角和与差三角函数公式的高一学生而言，这看似有点荒唐与刁钻的题目却在初中学习的三角函数定义面前土崩瓦解了，这不得不说是根源的力量.不仅如此，我们还能在探究过程中感受到锲而不舍的认知过程中所爆发出的智慧和意志品质，感受到数学的神奇与美妙.
数学学习不仅需要聪颖的头脑、辛勤的付出，还要拥有追根求源的意识与能力，学会联想、追述本源，有时可以获得意想不到的效果.
明修栈道，暗度陈仓
案例2 命题“若sinα=sinβ，则α=β”的否定是__________.
分析及解答：从表面上看这就是一个简单的命题，从而有的学生就直接利用命题否定形式的给出原则，即条件不变只否定其结论. 所以有的学生给出的答案是：“若sinα=sinβ，则α≠β”. 事情做到这儿看似一切都顺理成章，但我们如果利用命题真假性的判断标准来检测一下，就会很快发现学生给出的答案是一个错误的结果. 因为我们都知道原命题和其否定是一对真假性相对立一组命题，而本例中的原命题和学生给出的其否定形式都是假命题，所以学生给出的答案一定是错误的. 那么问题究竟出现在什么地方呢？其实我们只要将题目的内容细细品味一下，就不难发现原命题中实际上是省略了一个全称性量词“任意”，从而原命题可以改写为 “对于任意角α，β，若sinα=sinβ，则α=β”（而且我们可以判定其是一个假命题）. 继而我们就看到了原命题实际上是一个全称性命题，此时其否定形式就应该是“存在角α，β，使得若sinα=sinβ，则α≠β”（而且我们也很容易判定这很明显就是一个真命题）. 此问题中的玄机就是其省略的全称性量词部分，只要找到了玄机所在，那么问题也迎刃而解了，否则便会是一头雾水.
由此可见，数学解题绝对不是生搬硬套的过程. 在没有真正搞懂其实际意义之前，决不可轻易动笔. 解题之前需要我们审时度势，即“选准切入点、探寻突破点、关注警戒点”，这里面所说的探寻切入点就应该包含对题目中隐含条件的挖掘和利用.
案例3 在等差数列{an}中，若am-1 am 1-a=0，S2m-1=38，且am≠0，则m=_____.
分析及解答：大多数学生初次看到此题都会有被电击一样的感觉，因为他们会被题目的表象所迷惑，不能够立刻看到解题的思路. 但如果学生能够看到它们下标的关系，即（m-1） （m 1）=2m，他们就应该自然地想到等差中项的知识，从而得到am-1 am 11=2am，然后再利用等差数列的求和公式就能将问题轻易解决了. 其解题过程如下：
因为am-1 am 1-a=0且数列{an}是等差数列，
所以2am-a=0. 因为am≠0，所以am=2.
因为S2m-1=（2m-1）am且S2m-1=38，所以m=10.
此例中的最大玄机是没有明显的条件可以使用，即条件中没有首相、公差，而学生往往又会直接想到其常规解法，即将条件中的所有量都转化成首相及公差的关系式，但条件中却出现了三个未知数，而且只有两个方程，显然是无法求解的，这也许正是学生感到困惑与迷茫的地方. 平时的教学我们都会强调解题思路的灵动性、可变性，这也正是新课标所极力倡导的素质教育原则，即“要培养学生分析问题及解决问题的能力”.
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
案例4 （苏教版高中数学选修2-1第67页第8题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.
分析及解答：按照证明点共线的常规思路，我们自然会想到利用①几何法即任意两点连线的斜率相等；②向量法即任意两点为端点的向量共线. 无论利用哪种思路都要将点的坐标刻画出来，为此需要将直线的方程和曲线的方程联立. 其解题过程如下： 因为kOA=，kOC==-（到此处时，我们就要面临着新的问题了，即怎样来证明其相等呢？为此就应该静下心来慢慢思考，尽可能快地在迷途中找到方向.这时我们会看到直线OC的斜率里只含有一个变量，而直线OA的斜率中却含有两个变量. 为了能够快速捕捉到我们需要的信息，我们要将其化繁为简，自然而然地想到将直线OA的斜率中的两个变量化简为一个变量. 又因为y=2px1，所以kOA==，至此我们是不是看到了一个崭新的局面呢？问题也就在不经意间被解决了.
忍一时风平浪静，退一步海阔天空
“忍一时风平浪静，退一步海阔天空”这本来说的是一种对待生活的从容而又豁达的心境. 俗话说得好“谦受益，满招损”，“皎皎者易污，峣峣者易折”，对待生活如此，其实在我们的习题教学中也要有这样的指导思想. 要求我们的学生绝不能守着一条小道走到黑，而要学会忍一时、退一步的良好心态. 我们所说的“忍一时、退一步”绝不是随意的避让与退缩，而是要在忍、退的环节中静心思考，努力做到全盘论证，继而才能迎来“云开雾散终有时，守得清心待明月”的美好境界.
案例5 （2008年江苏高考13题）在△ABC中，若AB=2，AC=BC，则S△ABC的最大值是__________.
分析及解题：此题的解题思路应该说是相当的明显，即利用三角形的面积公式S△ABC=AB·ACsinA，但其中的未知因素过多，继而就想到了要设AC或BC的长度，从而将三角形的面积表示为边的函数. 这种解题思路自然顺畅，但真正操作起来却是相当的麻烦. 这时就需要学生有一颗沉静的心态，有一种退一步思考问题的意志品质. 其实由题目的条件学生应该能够发现三角形的顶点C的轨迹，从而也就能轻而易举地获得本题的正确答案了. 略解如下，设AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示.
或许有人会指出本题的这种解法确实相当的简单，但是怎样才能由题意快速地联想到利用解析几何的方法的呢？这当然与我们平时的知识积累有着密不可分的联系，其实这道题是可以在教材中找到其原型的（见苏教版必修二第100页，已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，那么点M的轨迹方程是什么？并画出其所在的曲线），满足题中条件的点的轨迹实际上就是我们常说的阿波罗尼兹圆. 解题中能够产生“忍一时、退一步”的良好的心态是应该建立在扎实的基础之上的. 没有扎实的基础、丰富的积累，数学习题的求解就成了典型的“无源之水、无本之木”了.
要想在数学解题中没有迷茫、困惑，必须在平时的学习中练就一身坚实的本领，既要有坚实的基础、敏锐的洞察力、灵活的思维，还要有以不变应万变的通性通法做坚强后盾. 当然，学生解题的受阻乃至失败，这不仅归因于学生实际掌握知识的多少有关，还与学生的意志品质有着不可或缺的联系.
关键词：解题教学；关键点；心得
在平时的教学与练习中，我们经常会遇到一类看似平常而又无法诠释的问题，其实这并不是真的无法诠释，而是在没有找到突破口之前的一种暂时的困惑而已. 那么这类问题的背后到底隐藏着怎样的玄机呢？这就需要我们能够拥有一双慧眼，及时地捕捉到那个牵一发而能动全身的关键点所在. 实际上，往往找到准确的切入点，就可以实现“一点突破，全线贯通”的奇效. 下面，笔者通过几个具体的案例来加以阐述.
问渠哪得清如许，为有源头活水来
案例1 求tan15°与tan7.5°的值.
分析与解答：对于已经学习两角和与差的三角函数公式的学生而言，解决此题绝没有任何问题，但如果将此题放给还没有学习两角和与差公式的高一学生来做，其情况又会如何呢？我想多数学生会在那儿抓耳挠腮、百思不得其解，继而抱怨老师的故意刁难. 对于一般的学生而言，此题确实有点故意刁难的成分，但却决不能说教师无中生有.为了能够带领学生找到问题解决的突破口，教师在课堂上做了这样的一番引导：
教师：初中时是怎样定义正切函数的？
学生：直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边比邻边.
教师：能否在三角形中求出tan30°的值？
学生：大声地说出（有的学生这时会露出不以为然的窃笑，这些问题太简单；也有的同学会流露出一脸的茫然，这与我们要求的数式有关系吗？）
教师：哪位同学能够在只用尺规的情况下作出15°与7.5°这两个角？
有的学生会很快作出如图1所示的平面图形，即先画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°延长CB到D，使BD=BA，连AD，则∠ADC=15°. 再一次利用“延长线、取相等、角折半”的做法，得到∠AEC=7.5°，继而学生会在三角函数定义的引导下求出正确的结果.
对于没有学过两角和与差三角函数公式的高一学生而言，这看似有点荒唐与刁钻的题目却在初中学习的三角函数定义面前土崩瓦解了，这不得不说是根源的力量.不仅如此，我们还能在探究过程中感受到锲而不舍的认知过程中所爆发出的智慧和意志品质，感受到数学的神奇与美妙.
数学学习不仅需要聪颖的头脑、辛勤的付出，还要拥有追根求源的意识与能力，学会联想、追述本源，有时可以获得意想不到的效果.
明修栈道，暗度陈仓
案例2 命题“若sinα=sinβ，则α=β”的否定是__________.
分析及解答：从表面上看这就是一个简单的命题，从而有的学生就直接利用命题否定形式的给出原则，即条件不变只否定其结论. 所以有的学生给出的答案是：“若sinα=sinβ，则α≠β”. 事情做到这儿看似一切都顺理成章，但我们如果利用命题真假性的判断标准来检测一下，就会很快发现学生给出的答案是一个错误的结果. 因为我们都知道原命题和其否定是一对真假性相对立一组命题，而本例中的原命题和学生给出的其否定形式都是假命题，所以学生给出的答案一定是错误的. 那么问题究竟出现在什么地方呢？其实我们只要将题目的内容细细品味一下，就不难发现原命题中实际上是省略了一个全称性量词“任意”，从而原命题可以改写为 “对于任意角α，β，若sinα=sinβ，则α=β”（而且我们可以判定其是一个假命题）. 继而我们就看到了原命题实际上是一个全称性命题，此时其否定形式就应该是“存在角α，β，使得若sinα=sinβ，则α≠β”（而且我们也很容易判定这很明显就是一个真命题）. 此问题中的玄机就是其省略的全称性量词部分，只要找到了玄机所在，那么问题也迎刃而解了，否则便会是一头雾水.
由此可见，数学解题绝对不是生搬硬套的过程. 在没有真正搞懂其实际意义之前，决不可轻易动笔. 解题之前需要我们审时度势，即“选准切入点、探寻突破点、关注警戒点”，这里面所说的探寻切入点就应该包含对题目中隐含条件的挖掘和利用.
案例3 在等差数列{an}中，若am-1 am 1-a=0，S2m-1=38，且am≠0，则m=_____.
分析及解答：大多数学生初次看到此题都会有被电击一样的感觉，因为他们会被题目的表象所迷惑，不能够立刻看到解题的思路. 但如果学生能够看到它们下标的关系，即（m-1） （m 1）=2m，他们就应该自然地想到等差中项的知识，从而得到am-1 am 11=2am，然后再利用等差数列的求和公式就能将问题轻易解决了. 其解题过程如下：
因为am-1 am 1-a=0且数列{an}是等差数列，
所以2am-a=0. 因为am≠0，所以am=2.
因为S2m-1=（2m-1）am且S2m-1=38，所以m=10.
此例中的最大玄机是没有明显的条件可以使用，即条件中没有首相、公差，而学生往往又会直接想到其常规解法，即将条件中的所有量都转化成首相及公差的关系式，但条件中却出现了三个未知数，而且只有两个方程，显然是无法求解的，这也许正是学生感到困惑与迷茫的地方. 平时的教学我们都会强调解题思路的灵动性、可变性，这也正是新课标所极力倡导的素质教育原则，即“要培养学生分析问题及解决问题的能力”.
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
案例4 （苏教版高中数学选修2-1第67页第8题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.
分析及解答：按照证明点共线的常规思路，我们自然会想到利用①几何法即任意两点连线的斜率相等；②向量法即任意两点为端点的向量共线. 无论利用哪种思路都要将点的坐标刻画出来，为此需要将直线的方程和曲线的方程联立. 其解题过程如下： 因为kOA=，kOC==-（到此处时，我们就要面临着新的问题了，即怎样来证明其相等呢？为此就应该静下心来慢慢思考，尽可能快地在迷途中找到方向.这时我们会看到直线OC的斜率里只含有一个变量，而直线OA的斜率中却含有两个变量. 为了能够快速捕捉到我们需要的信息，我们要将其化繁为简，自然而然地想到将直线OA的斜率中的两个变量化简为一个变量. 又因为y=2px1，所以kOA==，至此我们是不是看到了一个崭新的局面呢？问题也就在不经意间被解决了.
忍一时风平浪静，退一步海阔天空
“忍一时风平浪静，退一步海阔天空”这本来说的是一种对待生活的从容而又豁达的心境. 俗话说得好“谦受益，满招损”，“皎皎者易污，峣峣者易折”，对待生活如此，其实在我们的习题教学中也要有这样的指导思想. 要求我们的学生绝不能守着一条小道走到黑，而要学会忍一时、退一步的良好心态. 我们所说的“忍一时、退一步”绝不是随意的避让与退缩，而是要在忍、退的环节中静心思考，努力做到全盘论证，继而才能迎来“云开雾散终有时，守得清心待明月”的美好境界.
案例5 （2008年江苏高考13题）在△ABC中，若AB=2，AC=BC，则S△ABC的最大值是__________.
分析及解题：此题的解题思路应该说是相当的明显，即利用三角形的面积公式S△ABC=AB·ACsinA，但其中的未知因素过多，继而就想到了要设AC或BC的长度，从而将三角形的面积表示为边的函数. 这种解题思路自然顺畅，但真正操作起来却是相当的麻烦. 这时就需要学生有一颗沉静的心态，有一种退一步思考问题的意志品质. 其实由题目的条件学生应该能够发现三角形的顶点C的轨迹，从而也就能轻而易举地获得本题的正确答案了. 略解如下，设AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示.
或许有人会指出本题的这种解法确实相当的简单，但是怎样才能由题意快速地联想到利用解析几何的方法的呢？这当然与我们平时的知识积累有着密不可分的联系，其实这道题是可以在教材中找到其原型的（见苏教版必修二第100页，已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，那么点M的轨迹方程是什么？并画出其所在的曲线），满足题中条件的点的轨迹实际上就是我们常说的阿波罗尼兹圆. 解题中能够产生“忍一时、退一步”的良好的心态是应该建立在扎实的基础之上的. 没有扎实的基础、丰富的积累，数学习题的求解就成了典型的“无源之水、无本之木”了.
要想在数学解题中没有迷茫、困惑，必须在平时的学习中练就一身坚实的本领，既要有坚实的基础、敏锐的洞察力、灵活的思维，还要有以不变应万变的通性通法做坚强后盾. 当然，学生解题的受阻乃至失败，这不仅归因于学生实际掌握知识的多少有关，还与学生的意志品质有着不可或缺的联系.