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【摘要】本文在启发式教学思想的引领下，针对最大似然估计法给出具体的教学设计思路，遵循学生的认知规律，充分调动学生学习的主观能动性，践行“以学生为中心”的教学理念，将学生学习的主动权最大限度地还给学生，以期优化传统的教学模式，提高教学效率.
【关键词】启发式教学，最大似然估计法，似然函数，教学模式
【基金项目】山东大学（威海）校级教育教学改革研究项目，项目名称：慕课滋养下《概率论与数理统计》课程多元化教学改革研究，项目编号：Y2019057
《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》中指出，要大力推进教学方法的改革，提倡启发式教学，注重因材施教.
一、启发式教学简介
启发式教学是教师根据教学目标，针对教学内容，从学生的实际出发，采用多种教学方法，引导学生积极主动地学习，从而促进学生全面发展的一种教学指导思想.这种教学模式是相对传统教学提出的一种新的教学方法，重在引导学生积极主动地学习新知识，让学生在探索和发现中获得相应的知识内容，有助于培养学生主动思考和分析问题的能力.教师将启发式教学思想融入课堂，有助于发挥学生的主体地位，充分激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性.教师在概率统计课程的教学过程中应用启发式教学方法，不仅可以使学生学会主动学习和独立思考，提升思维能力，而且可以提高学生学习的效率，培养其创新意识，提高其创新能力，真正实现素质教育.中国最早提出启发式教学的是大教育家孔子，他主张“不愤不启，不悱不发”，意为先鼓励学生积极独立的思考，再进行适时启发和开导.这种教育理念符合教学基本规律，对当前教育仍具有重要的借鉴价值.
二、教学案例分析
最大似然估计法（简称MLE）是在总体分布类型已知条件下使用的一种重要而普遍的参数估计方法，具有许多良好的统计性质，其充分利用了总体分布提供的信息，克服了矩估计法在这方面的缺陷.这种参数估计方法具有深刻的统计思想内涵，是各种数理统计方法的基础，教学目标要求学生熟练掌握这种参数估计的方法.但由于这种参数估计法计算繁杂，原理抽象，因此学生学习起来有一定难度，这就需要教师在教学方法上多下功夫，精心设计教学过程，充分启发学生的积极思维，遵循学生的认知规律，将复杂抽象的问题简单、直观化.笔者根据教学目标的要求，将启发式教学思想融入教学环节，设计教学过程如下.
1.历史由来.
“好的开始是成功的一半”.下面介绍最大似然估计法的历史演变过程.这种参数估计方法最早是由德国数学家高斯在1821年提出，后来英国统计学家费歇于1922年在其一篇文章中重新提出了这一方法，并首次研究了这种方法的一些性质，自此这种參数估计的方法得到了广泛的应用，因此最大似然估计法常归功于费歇，“最大似然估计”这一名称也是由费歇给出的.作为知识的延伸，教师可以给学生分享两位数学家在学术方面的巨大贡献和对科学的敬业精神，启发学生锲而不舍、追求真理、勇于探索的科学精神，增强学生勇攀科学高峰的责任感和使命感，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当.
此外，为活跃课堂气氛，增加课堂的趣味性，教师可将历史人物的传奇小故事纳入课堂.比如享有“数学王子”美誉的高斯，他小时候就已经展现出了与众不同的数学才能，教师介绍他与小学数学老师的故事，可以启发学生善于思考，勤于动脑，向学生传递正能量.
2.问题引入.
作为一种重要的参数估计方法，最大似然估计法具有广泛的实际应用，但因其复杂的计算过程和抽象的理论知识，学生学起来有一定的难度.抽象的理论知识并非无源之水，无根之木，它其实源于丰富多彩的现实生活.为便于学生理解，教师引入如下简单的生活实例，把复杂抽象的理论知识简单、具体化，让学生在实际问题中感悟，给学生一种直观的印象，帮助学生理解最大似然估计法的基本思想方法.
引例 设袋子中有黑白两种颜色的球，比例为9∶1，但是不知道哪种颜色的球多.现在做一个随机试验：有放回地抽取3次，每次取1 个.假设在一次试验中，取到 2 个白球，1 个黑球，用随机事件A表示这个结果，试判断哪种颜色的球多.
若用参数θ表示袋子中白球的概率，则问题转化为判断θ=0.1还是θ=0.9的问题.绝大部分学生都会回答白球多，即θ=0.9，这一判断过程实际上已经用到了最大似然估计法的基本思想.教师要充分肯定学生的回答，并将这一过程系统化.通过进一步分析可以发现，所求问题就是在θ所有可能的取值中选择θ的一个值，使得已经发生的事件即“取到2个白球，1个黑球”具有最大的概率.这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是最大似然估计法的基本思想.
解 设袋子中白球的概率为θ，Xi表示第i次取球的情况（i=1，2，3），则Xi=1，第i次取到白球，0，第i次取到黑球.
设第一、三次取到白球，第二次取到黑球，则
P（X1=1，X2=0，X3=1）=θ2（1-θ）.
若θ=0.1，则P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.009;
若θ=0.9，则P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.081
【关键词】启发式教学，最大似然估计法，似然函数，教学模式
【基金项目】山东大学（威海）校级教育教学改革研究项目，项目名称：慕课滋养下《概率论与数理统计》课程多元化教学改革研究，项目编号：Y2019057
《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》中指出，要大力推进教学方法的改革，提倡启发式教学，注重因材施教.
一、启发式教学简介
启发式教学是教师根据教学目标，针对教学内容，从学生的实际出发，采用多种教学方法，引导学生积极主动地学习，从而促进学生全面发展的一种教学指导思想.这种教学模式是相对传统教学提出的一种新的教学方法，重在引导学生积极主动地学习新知识，让学生在探索和发现中获得相应的知识内容，有助于培养学生主动思考和分析问题的能力.教师将启发式教学思想融入课堂，有助于发挥学生的主体地位，充分激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性.教师在概率统计课程的教学过程中应用启发式教学方法，不仅可以使学生学会主动学习和独立思考，提升思维能力，而且可以提高学生学习的效率，培养其创新意识，提高其创新能力，真正实现素质教育.中国最早提出启发式教学的是大教育家孔子，他主张“不愤不启，不悱不发”，意为先鼓励学生积极独立的思考，再进行适时启发和开导.这种教育理念符合教学基本规律，对当前教育仍具有重要的借鉴价值.
二、教学案例分析
最大似然估计法（简称MLE）是在总体分布类型已知条件下使用的一种重要而普遍的参数估计方法，具有许多良好的统计性质，其充分利用了总体分布提供的信息，克服了矩估计法在这方面的缺陷.这种参数估计方法具有深刻的统计思想内涵，是各种数理统计方法的基础，教学目标要求学生熟练掌握这种参数估计的方法.但由于这种参数估计法计算繁杂，原理抽象，因此学生学习起来有一定难度，这就需要教师在教学方法上多下功夫，精心设计教学过程，充分启发学生的积极思维，遵循学生的认知规律，将复杂抽象的问题简单、直观化.笔者根据教学目标的要求，将启发式教学思想融入教学环节，设计教学过程如下.
1.历史由来.
“好的开始是成功的一半”.下面介绍最大似然估计法的历史演变过程.这种参数估计方法最早是由德国数学家高斯在1821年提出，后来英国统计学家费歇于1922年在其一篇文章中重新提出了这一方法，并首次研究了这种方法的一些性质，自此这种參数估计的方法得到了广泛的应用，因此最大似然估计法常归功于费歇，“最大似然估计”这一名称也是由费歇给出的.作为知识的延伸，教师可以给学生分享两位数学家在学术方面的巨大贡献和对科学的敬业精神，启发学生锲而不舍、追求真理、勇于探索的科学精神，增强学生勇攀科学高峰的责任感和使命感，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当.
此外，为活跃课堂气氛，增加课堂的趣味性，教师可将历史人物的传奇小故事纳入课堂.比如享有“数学王子”美誉的高斯，他小时候就已经展现出了与众不同的数学才能，教师介绍他与小学数学老师的故事，可以启发学生善于思考，勤于动脑，向学生传递正能量.
2.问题引入.
作为一种重要的参数估计方法，最大似然估计法具有广泛的实际应用，但因其复杂的计算过程和抽象的理论知识，学生学起来有一定的难度.抽象的理论知识并非无源之水，无根之木，它其实源于丰富多彩的现实生活.为便于学生理解，教师引入如下简单的生活实例，把复杂抽象的理论知识简单、具体化，让学生在实际问题中感悟，给学生一种直观的印象，帮助学生理解最大似然估计法的基本思想方法.
引例 设袋子中有黑白两种颜色的球，比例为9∶1，但是不知道哪种颜色的球多.现在做一个随机试验：有放回地抽取3次，每次取1 个.假设在一次试验中，取到 2 个白球，1 个黑球，用随机事件A表示这个结果，试判断哪种颜色的球多.
若用参数θ表示袋子中白球的概率，则问题转化为判断θ=0.1还是θ=0.9的问题.绝大部分学生都会回答白球多，即θ=0.9，这一判断过程实际上已经用到了最大似然估计法的基本思想.教师要充分肯定学生的回答，并将这一过程系统化.通过进一步分析可以发现，所求问题就是在θ所有可能的取值中选择θ的一个值，使得已经发生的事件即“取到2个白球，1个黑球”具有最大的概率.这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是最大似然估计法的基本思想.
解 设袋子中白球的概率为θ，Xi表示第i次取球的情况（i=1，2，3），则Xi=1，第i次取到白球，0，第i次取到黑球.
设第一、三次取到白球，第二次取到黑球，则
P（X1=1，X2=0，X3=1）=θ2（1-θ）.
若θ=0.1，则P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.009;
若θ=0.9，则P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.081