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【摘 要】 数学课外合作学习意在更有效地摆脱传统课堂教学“三个中心”的束缚，让学生在学习中善于自主，学会合作，乐于探究，勇于创新，提升学生的基本素质和学习能力。在引导和组织学生课外合作学习活动中，教师应摆正自己的角色位置。
【关键词】 数学;课外;合作;素质;能力
【中图分类号】 G632 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-6517（2014）07-0033-02
著名心理学家霍华德·加德纳在其名著《智能的结构》中主张：学生的学习方式应以主动参与、探究发现、交流合作为主。我国基础教育新课程改革吸纳了这种科学的教育理念，关注学生合作能力的培养，注重培养学生合作性学习，认为学生学习数学的过程应该是一个学生主动参与的，合作、交流的过程。《数学课程标准》（2011年版）多处凸显了这一理念，例如，“课标”在“课程的基本理念”中指出“动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式”;在“教学建议”中指出：“要帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯”，“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”。如此等等，不胜枚举。可见，“合作”已经成为数学新课程的一个核心概念，指导学生进行合作性学习已经成为数学新课程改革的着力点之一。
数学课外学习活动是学生合作学习的有效方式之一。对此，本文拟从以下几个方面进行一番探讨。
一、数学课外合作学习的意义和作用
1.有利于于突破“以课堂为中心”的局限性。课堂教学是传统教学的基本形式，它其具有明显的局限性。首先，课堂活动空间隔离了数学学习与现实生活空间的联系，使得数学学习往往受制于概念化、文本化的藩篱，这就有悖于数学教学生活化的理念，不利于学生的数学学习。
2.有利于于突破“以本本为中心”的局限性。教材是数学知识的有组织编辑物，体现了知识的抽象性、条理性和系统性，然而与此同时它也不可避免地与数学知识的源头及其应用天地剥离开来。这十分不利于学生的数学学习。数学课外合作学习活动有利于学生进行大量的观察、动手、活动，从而遵循认知规律，从感觉、知觉、表象的建立中，逐步形成概念，由此获得进一步推动思维前进的基础，并在此基础上进一步学会数学的思考，进行数学推理，做出数学判断，掌握数学方法，解决数学问题。
3.有利于摆脱“以教师为中心”的弊病。课堂大规模集中学习的模式必然形成教师在课堂教学中的权威地位，这往往使学生处于被动的受制于人地位上，从而消减的学习兴趣和学习主动性。而在数学课外活动中，一次别开生面的数学游戏，一个饶有兴趣的数学问题，往往能激发学生对数学的浓厚兴趣。这种兴趣常常是深刻的、持久的，成为学习数学的内在动力。
4.有利于帮助学生克服课外学习中“单兵作战”的缺陷，给学生提供合作交流的机会。“单兵作战”本是学生独立学习的表现，但学生在课外学习中如果总是“单兵作战”，则会缺少与同学之间的交流与合作，不利于提升学生的学习能力。因此，不时的合作学习也是必要的、有益的。
5.有利于发展学生的智力，增强学生的学习能力。数学课外活动所提供的内容，一般都既有趣味性又有思考性。因此，能启发学生开动脑筋寻找规律，通过数学问题探究，能培养学生的观察、分析、推理、判断等思维能力。通过数学竞赛、智力测验，能培养学生思维的灵活性、敏捷性和探索精神。通过布置数学环境，出版数学小报及制作数学学具模型，能培养学生的动手能力和创造精神。因此，数学课外活动对发展学生的智力，培养学生的能力起重要作用。
二、数学课外合作学习典型案例
【案例1】搜集轴对称标志图案
学习“轴对称”问题时，“数学兴趣小组”的同学们分组分类收集各种标志图案。例如交通标志图案、名车标志图案，银行标志图案、装饰品图案（先要明确规定：一个小组只搜集一种图案）。图案搜集到一定数量后，小组之间再进行交流。讨论：这些经常见到的图案都是轴对称图形吗？然后对对称图案和非对称图案进行分类陈列，在班级“学习园地”上展示。
这一活动将课堂学习的轴对称知识应用于生活实际。在相互合作的活动过程中，同学们既巩固了知识，增长了见识，又进行了一次数学知识应用的个例研究，而且还经历了一次饶有趣味的审美体验，其教育效益是多方面的。
【案例2 】编辑数学小报
多个数学兴趣小组每月利用课余时间分别编辑一份数学小报。小报内容是谈数学学习体会、平时作业错例、数学趣题、数学故事等，也可以转载其他数学报上的好文章。小组四人共同设计版面，分工抄写。在完成一份小报编辑的过程中，既要考虑可读性、趣味性，还要考虑排版是否新颖，整体效果是否别具一格，这一过程为他们提供了相互交流的空间，培养了他们的合作意识和创新精神。
【案例3】 开展数学游戏
爱玩游戏是儿童的天性，让学生利用课余时间，以数学游戏为主，通过数学游戏活动、猜数学谜语、讲数学故事、玩数学扑克、计算游戏竞赛等，寓数学知识于各种游戏中，寓教于乐。学生在游戏中，展开想象的翅膀，思维得以展开。比如，在课外活动中学生喜欢进行抛小正方体计算抢答，四人小组轮流抛带有数字的小正方体进行加减乘除计算比赛，看谁抢答得又对又快。成员之间通过合作游戏，相互交流，相互竞赛游戏中，每个人都有机会发表自己的观点和看法，在游戏中提高计算能力，学习也变成了一种愉快的事情。
【案例4】制作数学学具
动脑动手制作数学直观教具，数学游戏材料等，既可巩固和运用所学知识，又能发展学生的创造力，还能为学生提供一个体验成功的机会。比如：低年级学生制作七巧板，拼成美丽的图案，制作小棒、简易计算器、卡片、数位顺序表等;中年级学生制作钟面模型和剪一些对称图形，在合作创新的同时，感受数学中的简洁美;高年级学生可以利用土地丈量及比例尺等知识，制作校园、现代农村模型，让学生通过小组合作进行思考、设计、制作。然后教师把他们制作好的作品展示给大家，使每个学生都获得成功的体验。 【案例5】火柴盒的观察与制作
现实生活中火柴盒的点火功能已经淡化，而成为一种把玩物或装饰品。在“长方体的面积”教学后，教师指导数学兴趣小组开展“做火柴盒”的活动。
（一）观察火柴盒
1.火柴盒的组成结构：内盒和外套;
2.火柴盒的面：外套4个面（正反各4），
内盒5个面（正反各5）;
3.火柴盒质地：用较硬的纸壳制作而成。
（二）测量与计算：火柴盒面积
1.测量火柴盒的基本数据
（1）外套。长、宽、高：长4.5厘米、宽3.5厘米、高1.5厘
（2）内盒（略）。
2.面积计算
小组内分工，按照三种途径计算出分面积和总面积：
（1）分别求内盒、外套的面积（方法有多种），再求面积和;
（2）从整体观察入手，数出与三组面（前面、底面、右面）面积相同的面的个数，再求这些面的面积和，或用假设法把内盒、外套补成完整的长方体再解（方法有多种）;
（3）用转化法，将内盒、外套展平或再相拼成大长方形求解。
以上计算得到三组数据，将三组数据进行对照检查，如有差异，则找出失误原因。
（三）制作火柴盒
根据获得的数据，小组成员合作，进行材料剪切、粘贴、拼装，制作成火柴盒。
这一案例的特点是综合性强、知识涵盖面大，学生学习实践活动方式多，将观察、动手操作、计算、制作等学习活动有机地结合在一起。要最终成功完成火柴盒的制作，需要小组成员齐心合力。这是一项典型的综合性学习活动。
三、数学课外合作学习组织指导中的几个问题
1.数学课外合作学习和“综合与实践”的关系
数学课程内容设置包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分。“综合与实践”是以问题为载体，以积累数学活动经验为重要目标的综合性数学活动。关注活动的设计、问题的提出、解决问题的过程、活动全程反思、问题探讨等。《数学课程标准》明确表述道：“‘综合与实践’的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。”（“课程设计思路·课程内容”）。数学课外合作学习的基本理念与“综合与实践”本质上是一致的。然而其活动频率要高得多，方式灵活多样，问题不论大小，探究不求全面，时间不论长短，人员不论多寡。活动讲求“合作”精神和合作效应，有所针对有所收益则可，且活动时间安排都是在课外。当然，在设计组织以及反馈评价数学课外合作学习活动时，应参照“课标”关于“综合与实践”的基本理念，以保证活动的质量。
2.数学课外合作学习中教师的角色定位
组织开展学生数学课外合作学习的初衷，就是为了解放学生的身心，让他们在学习活动中自主、自在、自由，充分发挥他们的聪明才智，培养合作精神、积累合作经验、提升合作能力。因此，课外合作学习就是学生自主学习和合作学习的结合。在这种学习模式中，教师的角色地位应该比课堂教学更收敛、更隐蔽。教师可以作为普通角色之一参与学生的合作学习活动，但不应随意干预和强行改变学生的学习进程。应如《数学课程标准》所要求的，让学生“有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”教师应当遵循“课标”理念和要求，充分尊重学生的学习主体地位，扮演好“参谋长”的角色，放手让学生自主，合作，有个性地学习。
3.数学课外合作学习的评价
数学课外合作学习有别于课堂讲授下的学习活动。课外合作学习贵在参与，重在合作，功在实践，追求经验的积累、习惯的养成和素质的提高。故此，对于课外合作学习项目，教师在评价中不宜采用分数评判制，“以成败论英雄”、“以高低排座次”，而应该对积极参与者一视同仁，给予正面评价与鼓励。教师对课外合作学习活动的观察和评价，主要应着力于学习探讨的问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方式，学生的合作交流效应等。可以对整个学习进程中存在的问题进行适度批评和指正，而在一般情况下，无论参与者有无失误与不足，都不要针对参与者个人进行公开批评。
总之，课外合作学习的思维和创造性活动的空间非常大，它留给了学生充分的想象空间和创造余地。学生人人都可参与思考探索，个个都能亲自动手实践，给每个学生都提供了获得成功的机会，使他们的个性都能充分展示。所以，这种学习方式十分利于学生自主探索与合作交流。在课外数学合作学习中让学生的探索活动贯穿始终，可以打破课内外知识分割的局面，探索课内外课程之间的联系，进行更大时空内的合作学习。这样，就能使学生学会在复杂环境中运用探究科学的态度去认识、发现、创造，以适应未来终身学习的需要，实现学习的可持续发展。
【关键词】 数学;课外;合作;素质;能力
【中图分类号】 G632 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-6517（2014）07-0033-02
著名心理学家霍华德·加德纳在其名著《智能的结构》中主张：学生的学习方式应以主动参与、探究发现、交流合作为主。我国基础教育新课程改革吸纳了这种科学的教育理念，关注学生合作能力的培养，注重培养学生合作性学习，认为学生学习数学的过程应该是一个学生主动参与的，合作、交流的过程。《数学课程标准》（2011年版）多处凸显了这一理念，例如，“课标”在“课程的基本理念”中指出“动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式”;在“教学建议”中指出：“要帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯”，“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”。如此等等，不胜枚举。可见，“合作”已经成为数学新课程的一个核心概念，指导学生进行合作性学习已经成为数学新课程改革的着力点之一。
数学课外学习活动是学生合作学习的有效方式之一。对此，本文拟从以下几个方面进行一番探讨。
一、数学课外合作学习的意义和作用
1.有利于于突破“以课堂为中心”的局限性。课堂教学是传统教学的基本形式，它其具有明显的局限性。首先，课堂活动空间隔离了数学学习与现实生活空间的联系，使得数学学习往往受制于概念化、文本化的藩篱，这就有悖于数学教学生活化的理念，不利于学生的数学学习。
2.有利于于突破“以本本为中心”的局限性。教材是数学知识的有组织编辑物，体现了知识的抽象性、条理性和系统性，然而与此同时它也不可避免地与数学知识的源头及其应用天地剥离开来。这十分不利于学生的数学学习。数学课外合作学习活动有利于学生进行大量的观察、动手、活动，从而遵循认知规律，从感觉、知觉、表象的建立中，逐步形成概念，由此获得进一步推动思维前进的基础，并在此基础上进一步学会数学的思考，进行数学推理，做出数学判断，掌握数学方法，解决数学问题。
3.有利于摆脱“以教师为中心”的弊病。课堂大规模集中学习的模式必然形成教师在课堂教学中的权威地位，这往往使学生处于被动的受制于人地位上，从而消减的学习兴趣和学习主动性。而在数学课外活动中，一次别开生面的数学游戏，一个饶有兴趣的数学问题，往往能激发学生对数学的浓厚兴趣。这种兴趣常常是深刻的、持久的，成为学习数学的内在动力。
4.有利于帮助学生克服课外学习中“单兵作战”的缺陷，给学生提供合作交流的机会。“单兵作战”本是学生独立学习的表现，但学生在课外学习中如果总是“单兵作战”，则会缺少与同学之间的交流与合作，不利于提升学生的学习能力。因此，不时的合作学习也是必要的、有益的。
5.有利于发展学生的智力，增强学生的学习能力。数学课外活动所提供的内容，一般都既有趣味性又有思考性。因此，能启发学生开动脑筋寻找规律，通过数学问题探究，能培养学生的观察、分析、推理、判断等思维能力。通过数学竞赛、智力测验，能培养学生思维的灵活性、敏捷性和探索精神。通过布置数学环境，出版数学小报及制作数学学具模型，能培养学生的动手能力和创造精神。因此，数学课外活动对发展学生的智力，培养学生的能力起重要作用。
二、数学课外合作学习典型案例
【案例1】搜集轴对称标志图案
学习“轴对称”问题时，“数学兴趣小组”的同学们分组分类收集各种标志图案。例如交通标志图案、名车标志图案，银行标志图案、装饰品图案（先要明确规定：一个小组只搜集一种图案）。图案搜集到一定数量后，小组之间再进行交流。讨论：这些经常见到的图案都是轴对称图形吗？然后对对称图案和非对称图案进行分类陈列，在班级“学习园地”上展示。
这一活动将课堂学习的轴对称知识应用于生活实际。在相互合作的活动过程中，同学们既巩固了知识，增长了见识，又进行了一次数学知识应用的个例研究，而且还经历了一次饶有趣味的审美体验，其教育效益是多方面的。
【案例2 】编辑数学小报
多个数学兴趣小组每月利用课余时间分别编辑一份数学小报。小报内容是谈数学学习体会、平时作业错例、数学趣题、数学故事等，也可以转载其他数学报上的好文章。小组四人共同设计版面，分工抄写。在完成一份小报编辑的过程中，既要考虑可读性、趣味性，还要考虑排版是否新颖，整体效果是否别具一格，这一过程为他们提供了相互交流的空间，培养了他们的合作意识和创新精神。
【案例3】 开展数学游戏
爱玩游戏是儿童的天性，让学生利用课余时间，以数学游戏为主，通过数学游戏活动、猜数学谜语、讲数学故事、玩数学扑克、计算游戏竞赛等，寓数学知识于各种游戏中，寓教于乐。学生在游戏中，展开想象的翅膀，思维得以展开。比如，在课外活动中学生喜欢进行抛小正方体计算抢答，四人小组轮流抛带有数字的小正方体进行加减乘除计算比赛，看谁抢答得又对又快。成员之间通过合作游戏，相互交流，相互竞赛游戏中，每个人都有机会发表自己的观点和看法，在游戏中提高计算能力，学习也变成了一种愉快的事情。
【案例4】制作数学学具
动脑动手制作数学直观教具，数学游戏材料等，既可巩固和运用所学知识，又能发展学生的创造力，还能为学生提供一个体验成功的机会。比如：低年级学生制作七巧板，拼成美丽的图案，制作小棒、简易计算器、卡片、数位顺序表等;中年级学生制作钟面模型和剪一些对称图形，在合作创新的同时，感受数学中的简洁美;高年级学生可以利用土地丈量及比例尺等知识，制作校园、现代农村模型，让学生通过小组合作进行思考、设计、制作。然后教师把他们制作好的作品展示给大家，使每个学生都获得成功的体验。 【案例5】火柴盒的观察与制作
现实生活中火柴盒的点火功能已经淡化，而成为一种把玩物或装饰品。在“长方体的面积”教学后，教师指导数学兴趣小组开展“做火柴盒”的活动。
（一）观察火柴盒
1.火柴盒的组成结构：内盒和外套;
2.火柴盒的面：外套4个面（正反各4），
内盒5个面（正反各5）;
3.火柴盒质地：用较硬的纸壳制作而成。
（二）测量与计算：火柴盒面积
1.测量火柴盒的基本数据
（1）外套。长、宽、高：长4.5厘米、宽3.5厘米、高1.5厘
（2）内盒（略）。
2.面积计算
小组内分工，按照三种途径计算出分面积和总面积：
（1）分别求内盒、外套的面积（方法有多种），再求面积和;
（2）从整体观察入手，数出与三组面（前面、底面、右面）面积相同的面的个数，再求这些面的面积和，或用假设法把内盒、外套补成完整的长方体再解（方法有多种）;
（3）用转化法，将内盒、外套展平或再相拼成大长方形求解。
以上计算得到三组数据，将三组数据进行对照检查，如有差异，则找出失误原因。
（三）制作火柴盒
根据获得的数据，小组成员合作，进行材料剪切、粘贴、拼装，制作成火柴盒。
这一案例的特点是综合性强、知识涵盖面大，学生学习实践活动方式多，将观察、动手操作、计算、制作等学习活动有机地结合在一起。要最终成功完成火柴盒的制作，需要小组成员齐心合力。这是一项典型的综合性学习活动。
三、数学课外合作学习组织指导中的几个问题
1.数学课外合作学习和“综合与实践”的关系
数学课程内容设置包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分。“综合与实践”是以问题为载体，以积累数学活动经验为重要目标的综合性数学活动。关注活动的设计、问题的提出、解决问题的过程、活动全程反思、问题探讨等。《数学课程标准》明确表述道：“‘综合与实践’的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。”（“课程设计思路·课程内容”）。数学课外合作学习的基本理念与“综合与实践”本质上是一致的。然而其活动频率要高得多，方式灵活多样，问题不论大小，探究不求全面，时间不论长短，人员不论多寡。活动讲求“合作”精神和合作效应，有所针对有所收益则可，且活动时间安排都是在课外。当然，在设计组织以及反馈评价数学课外合作学习活动时，应参照“课标”关于“综合与实践”的基本理念，以保证活动的质量。
2.数学课外合作学习中教师的角色定位
组织开展学生数学课外合作学习的初衷，就是为了解放学生的身心，让他们在学习活动中自主、自在、自由，充分发挥他们的聪明才智，培养合作精神、积累合作经验、提升合作能力。因此，课外合作学习就是学生自主学习和合作学习的结合。在这种学习模式中，教师的角色地位应该比课堂教学更收敛、更隐蔽。教师可以作为普通角色之一参与学生的合作学习活动，但不应随意干预和强行改变学生的学习进程。应如《数学课程标准》所要求的，让学生“有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”教师应当遵循“课标”理念和要求，充分尊重学生的学习主体地位，扮演好“参谋长”的角色，放手让学生自主，合作，有个性地学习。
3.数学课外合作学习的评价
数学课外合作学习有别于课堂讲授下的学习活动。课外合作学习贵在参与，重在合作，功在实践，追求经验的积累、习惯的养成和素质的提高。故此，对于课外合作学习项目，教师在评价中不宜采用分数评判制，“以成败论英雄”、“以高低排座次”，而应该对积极参与者一视同仁，给予正面评价与鼓励。教师对课外合作学习活动的观察和评价，主要应着力于学习探讨的问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方式，学生的合作交流效应等。可以对整个学习进程中存在的问题进行适度批评和指正，而在一般情况下，无论参与者有无失误与不足，都不要针对参与者个人进行公开批评。
总之，课外合作学习的思维和创造性活动的空间非常大，它留给了学生充分的想象空间和创造余地。学生人人都可参与思考探索，个个都能亲自动手实践，给每个学生都提供了获得成功的机会，使他们的个性都能充分展示。所以，这种学习方式十分利于学生自主探索与合作交流。在课外数学合作学习中让学生的探索活动贯穿始终，可以打破课内外知识分割的局面，探索课内外课程之间的联系，进行更大时空内的合作学习。这样，就能使学生学会在复杂环境中运用探究科学的态度去认识、发现、创造，以适应未来终身学习的需要，实现学习的可持续发展。