用“数字化虚拟人”形象引入定积分的概念

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  1991年,世界第一例数字化虚拟人在美国诞生了.这一数字化可视人体的数据集的建立,标志着人类在医学、生物学、仿生学等方面的基础研究和应用上取得了重大突破.数字化可视人的问世,也无疑有着重要的理论意义和广阔的临床运用前景.
  目前,我国成为继美国和韩国后,第三个拥有本国虚拟人数据集的国家.最精细的是“数字人男一号”,拥有9200个平面切片,照片分辨率达到2200万像素.其处理生成的过程大致如下:
  第一步:类似“建系”
  肌体无任何病变的健康男性,在死后2小时内,对其尸体进行全面的消毒处理,肢体平放,并将全身涂上明胶固定后置于特制的盒子里,放在-70℃的环境中完全冷冻.
  第二步:精密切割
  在-20℃的低温环境中,将该男性的尸体用数控铣床从头到脚切成约0.1毫米的薄片,共有18000多片.每切一片,便随即作相应的清洁处理.经数码相机拍摄后,全部的信息都以数据的形式存储于计算机中.当然,切片越多,片层精度就越高,人体数据就越详细.
  第三步:近似整合
  对有限的、连续的横断面图像数据信息进行整合,再通过“模拟延展”等一系列必要的、相关的技术和医术处理,便最终形成了透视的、“活生生”的数字化可视人.其原理是通过先进的信息技术与生物技术相结合的方式,在计算机上操作可视的模型,包括人体的各器官和细胞等,最终建成生物网络化的流程,即:从具有几何图形和视觉效果的“可视人”,到附有物理化学信息真切实感的“物理人”,再到附加人体各种信息随心所欲的“生物人”.
  这种利用有限分割、近似整和的极限思想在数学史上早有体现.我国庄子(公元前355-275)《天下篇》中说,“一尺之椎,日取其半,万世不竭”,就具有极限的思想.公元263年,刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”,用正多边形逼近圆周.他说“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.这是极限论思想的成功运用.
  设圆半径为R,周长为C,正n边形的边长为a,那么每个边对应的圆心角为θ=2πn,则C=n2R•sinπn,取极限,也即让n趋向正无穷大,过程如下:
  limn→∞n2Rsinπn=2nRπnlimn→∞sinπnπn=2πRlimπn→0sinπnπn=2πR.
  最终结果只需利用极限公式limx→0sinxx=1求得.
  此类研究处理问题的方法,经过物理学家阿基米德、法国数学家巴斯卡和费马、英国的瓦里士和巴罗及莱布尼兹和牛顿的推动下,发展到17世纪,就诞生了另一重要的数学工具——定积分.
  下面以求曲边梯形的面积为例(参见教材特例),介绍“分割、近似求和、取极限”的方法.
  (1)分割
  将研究区间[a,b]等分为n个小区间,则第i个区间为i-1n,in,它的长度为Δx=b-an,区间左端点对应的函数值为fi-1n.(这里,很多学生可能会有疑惑,第i个区间到底是什么?)
  (2)近似求和
  “以直代曲”,用第i个区间对应的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,即ΔSi≈fi-1n•Δx.
  则总面积的近似值为Sn=∑ni=1fi-1n•Δx.
  (3)取极限
  当n趋向于无穷大时,即Δx=1n趋向于0时,Sn就会趋向于曲边梯形的面积S,即S=limn→∞Sn.
  这一方法还可以求变速直线运动中物体的位移、变力所做的功及球的体积和表面积等.尽管很多问题的具体背景不相同,但都归结为“分割﹑近似求和﹑取极限”的思想方法,即求∑ni=1fi-1n•Δx的极限问题,这就是产生定积分概念的基础.
  如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0  ∑ni=1f(ξi)•Δx=∑ni=1b-anf(ξi),
  则∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1b-anf(ξi)叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.
  
  【参考文献】
  [1]数学分析.高等教育出版社,1997.
  [2]真正描述大自然的几何学.科学世界,2003(4).
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