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摘 要：本文通过课程难度模型和数学题综合难度的多因素模型从课程难度和练习难度两个方面对上海和新加坡初中数学教材中的概率统计部分做了比较研究。通过定量分析可以发现：在课程方面，新加坡教材有更多的教学内容；在习题方面，上海教材更强调双基训练，而新加坡教材更强调提高学生认知水平。
关键词：课程难度；数学题综合难度；概率统计；比较
我国正在实施新一轮基础教育课程改革，数学教材改革是其中的主要内容。新加坡的文化背景与我国极为相似，研究新加坡的数学教材对于我国数学课程改革无疑有重要的借鉴作用。本研究通过从课程内容难度和习题难度两个方面的比较，对中国和新加坡初中数学教材中概率统计部分进行研究。
1. 课程内容难度的比较研究
1.1 关于课程难度模型的研究成果
史宁中等人通过分析影响课程难度的基本要素，给出了刻画课程难度的一个模型：N=？姿■+（1-？姿）■（0<？姿<1）。其中N表示课程难度，G表示课程广度，S表示课程深度，T表示课程时间，■表示可比广度，■表示可比深度，？姿称为加权系数，它反映了可比广度、可比深度对课程难度影响的侧重程度。
课程广度是指课程内容涉及的范围和领域的广泛程度，可以通过知识点的数量来量化；课程深度是指课程内容所需要的思维的深度，可以用课程目标要求的不同程度来量化；课程实施时间是指完成课程内容所需要的时间，可以用“课时”来量化。这样课程难度就可以看成课程广度、课程深度、课程实施时间的一个函数。所以科学地确定课程广度、课程深度、课程实施时间是运用模型的关键。
李高峰在原有模型的基础上提出了一些修正，比如他提出用“课程目标”的多少来量化课程广度。具体而言，就是用知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标的数量来量化课程广度。用课程目标的总赋值表示课程深度。将所有课程目标用“目标动词赋值法”予以赋值，并将所有的值求和，用以表示课程深度。
吕世虎等人对原模型中课程深度的统计做出改进。如，对于目标要求中“经历过程与认识知识的要求并列”的这一类内容采用累加的方法赋值，对于目标要求中“指明了认识数学知识的手段”的这一类内容，采用算数平均的办法赋值。
1.2 中国与新加坡教材中概率统计内容难度的定量比较
在本次研究中，中国教材选用的是由上海师范大学主编的九年义务教育课本数学和练习部分，以下简称上海教材，和是由Chow Wai Keung等人编写的Discovering Mathematics，以下简称新加坡教材。
课程广度的统计：新加坡教育部于2007年颁布了最近的课程标准Secondary Mathematics Syllabuses。在这部标准中规定了课程目标有五个方面：概念、技能、过程、态度和元认知。从具体内容来看，和上海课程标准的三维目标是一致的。因此，在课程广度的统计上以上海的三维目标为准。但是由于情感目标较难赋值，而且数量相对较少，因此不列入统计范围。上海教材中共有概念性知识35个，技能性知识35个，过程性知识4个，总计74个知识点。新加坡教材中共有概念性知识45个，技能性知识54个，过程性目标5个，总结104个知识点。
课程深度的统计：上海的课程标准中按3个层次（水平）来陈述目标（要求）的，例如知道、理解、掌握等动词表述。新加坡的教材中也使用类似的动词，为了比较标准的统一，在课程深度的统计上都分成3个层次，并且在研究过程中给结果性目标和过程性目标都赋了值。具体规定如表1。
经过计算，上海教材的目标赋值总计138.5，新加坡教材的目标赋值总计202.5。
课程时间的统计：根据上海的课程标准，概率统计的内容分别分布在六年级、八年级和九年级，总计课时20节。新加坡教材中概率统计内容分布在四个学年中，课程标准中没有具体规定课时数，本人参照新加坡国内较为知名的私立新加坡中文女子学校的教学安排。该校总共安排31课时，每课时50分钟。如果换算成每课时40分钟的话，相当于上海的39课时。
1.3 课程难度比较结果及分析
根据以上数据，分别求出上海教材与新加坡教材中概率统计内容的可比广度、可比深度、课程难度，统计数据及比较结果如表2。
根据表2的数据，利用课程难度系数公式，可计算出上海、新加坡概率统计课程的难度系数：
N（上海）=3.65？姿+7.025（1-？姿）=7.025-3.375？姿
N（新加坡）=2.64？姿+5.192（1-？姿）=5.192-2.552？姿
当？姿=0.6时，N（上海）=5，N（新加坡），可见N（上海）>N（新加坡）。
1.3 结果分析
由表2可知：新加坡的教材无论是在课程广度还是课程深度上都远远超过上海教材，但是由于有较多的课时，在课程难度上反而小于上海教材。新加坡教材在统计和概率方面都有更多的知识点，而且每学年都有概率和统计的内容。但是上海教材在七年级没有概率统计的内容，六年级也只有两课时。
在计算器（机）的使用上，虽然两种教材都有要求，但是新加坡教材更加详细，比如新加坡教材介绍了如何使用计算器求统计量的方法。新加坡教材还有用相关计算机软件或者网站收集、整理数据，绘制统计图（表）的教学内容。
相比较而言，新加坡教材的概率统计课程是“广而浅”的设计模式，上海教材是“窄而深”的设计模式。由课程难度模型的结果可知，教学内容多的教材不一定难度就大。
2. 习题难度比较研究
2.1 数学题综合难度的多因素模型
鲍健生在其博士论文中提出了如下的数学题综合难度的多因素模型，这个模型包含了五个难度因素，每个因素又进一步划分为几个水平：探究水平分为识记、理解、应用、探究；背景水平分为无实际背景、个人生活、公共常识、科学情境；运算水平分为无运算、数值运算、简单符号运算、复杂符号运算；推理水平分为：无推理、简单推理、复杂推理；知识含量水平分为1个知识点、2个知识点、3个知识点、4个以上知识点。 然后，根据等级权重利用下面的公式计算一组题目在每个因素上的加权平均：
d i=■■n j =n；i=1，2，3，4，5；j=1，2…
其中，d i（i=1，2，3，4，5）依次分别表示“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识含量”五个难度因素上的取值；d ij为第 i 个难度因素的第 j 个水平的权重（依水平分别取1、2、3……）；n ij则表示这组题目中属于第 i 个难度因素的第 j 个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n。从而得出这组题目的综合难度的五边形模型。
2.2 上海与新加坡教材中概率统计习题难度的定量比较
上海教材的习题包括课本以及练习册部分；新加坡教材只有课后练习题和复习题，没有练习册。
新加坡教材在习题的编号上是：大题用1、2、3…编号；小题的编号是 a，b，c…。上海教材：大题用1、2、3、…编号；小题的编号是（1），（2），（3）…。我们约定，题量按照小题的个数计算。而在小题的层次上，如果有一题多问的，仍按一题记数。
根据综合难度因素的水平划分，上海和新加坡概率和统计部分习题难度在探究水平上分别为2.20和2.35；背景水平上分别为0.95和1.03；运算水平上分别为0.80和1.20；推理水平上分别为1.20和1.40；知识含量上都是1.35。
上海与新加坡统计部分习题难度的统计数据见表3。
从表3可知，两本教材统计部分的习题除了探究水平外，其他各因素的差异不大。所以进一步分析统计部分习题的探究水平。见表4。
从表3可知，两本教材在概率部分的习题除了知识含量外都有较大的差异。背景上的差异主要是新加坡教材的概率题目更多地以其他数学知识为背景；运算和推理方面的差异主要是由于新加坡教材有更多的知识点，比如求互斥事件的概率，求独立事件的概率等内容。进一步分析探究水平的情况，见表5。
从表5可知，新加坡教材的习题总量远远大于上海教材。从整体来看，上海较低探究水平（认知和理解）的习题所占比重要大于新加坡教材，尤其是在识记水平上；反过来，在较高水平的题目上新加坡教材所占的比重要大于上海教材。
2.3 结果分析
（1）从探究水平的差异可以看出上海教材体现了中国数学教育一贯重视双基培养的传统；而新加坡教材更加重视提高学生认知水平的培养。作为义务教育阶段的课本，上海教材更好地兼顾到大多数学生的学习情况。
（2）在习题的背景上，两本教材都非常重视结合实际情况。但是相对来说，上海教材更强调数学知识联系实际生活；而新加坡教材更重视联系其他的数学知识。
（3）新加坡教材更加重视数学问题的多种表征形式的综合应用。在新加坡教材中有超过42.5%的题目要求学生用图（表）来解决数学问题，如用概率表或者树形图求概率；根据已有的统计图（表）按要求做出新的统计图（表）。这类题目在上海教材中相对较少，而且也没有强调一定要用图（表）解决数学问题。
3. 思考及建议
3.1 加强概率统计教学与其它数学知识的联系
概率统计的教学应当和代数、几何等知识的传授紧密相连，而概率渗透到所有数学中的结果是使数学更加接近现实，从而有助于学生对于整个数学体系的理解。密切概率统计教学和其它数学知识间的联系将有助于学生把数学作为一个整体来建构。
3.2 加强概率统计教学与现代信息技术的整合
计算器、计算机的日益普及使学生更加有效地学习概率统计的内容成为可能。计算机可以大大提高数据整理的时间和显示的效果，在建立、记录和研究信息方面，为学生提供了一个良好的工具，可以使学生有充足的时间来探究统计与概率的本质。
3.3 关于义务教育阶段数学课程难度的思考
中小学生负担过重是长期以来困扰我国基础教育的顽症。为了达到降低课程难度的目的，现行的教材消减中小学课程内容，降低对课程内容的要求程度，但收效甚微。可见只是一味地删减教学内容，降低难度要求，减少练习量并不一定能起到减轻学生负担的作用。
参考文献
[1] 上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004
[2] 上海市教育委员会.九年制义务教育课本 数学（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2004
[3] Ministry of Education， Singapore. Secondary Mathematics Syllabuses [M].Singapore， 2007
[4] Chow Wai Keung， Discovering Mathematics [M]. Singapore， 2008
[5] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J]. 北师大学报（哲学社会科学版），2005（6）
[6] 李淑文. 中日两国初中几何课程的难度比较[J]. 东北师范大学，2006
[7] 吕世虎，刘鹏飞. 《标准》与《大纲》中函数内容难度的比较研究[J]. 数学教育学报，2010（6）
[8] 赵小平，姚雪. 上海与新加坡中学概率统计教材的比较研究[J]. 数学教学，2010（2）
[9] 吕世虎，孙学敏. 中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J]. 数学教育学报，2010（12）
[10] 刘长明. 中美初中阶段“概率统计”领域内容标准的比较研究[J]. 数学教育学报，2004（2）
[11] 李高峰.课程难度模型运用中的偏差及其修正[J].上海教育科研，2010（3）
关键词：课程难度；数学题综合难度；概率统计；比较
我国正在实施新一轮基础教育课程改革，数学教材改革是其中的主要内容。新加坡的文化背景与我国极为相似，研究新加坡的数学教材对于我国数学课程改革无疑有重要的借鉴作用。本研究通过从课程内容难度和习题难度两个方面的比较，对中国和新加坡初中数学教材中概率统计部分进行研究。
1. 课程内容难度的比较研究
1.1 关于课程难度模型的研究成果
史宁中等人通过分析影响课程难度的基本要素，给出了刻画课程难度的一个模型：N=？姿■+（1-？姿）■（0<？姿<1）。其中N表示课程难度，G表示课程广度，S表示课程深度，T表示课程时间，■表示可比广度，■表示可比深度，？姿称为加权系数，它反映了可比广度、可比深度对课程难度影响的侧重程度。
课程广度是指课程内容涉及的范围和领域的广泛程度，可以通过知识点的数量来量化；课程深度是指课程内容所需要的思维的深度，可以用课程目标要求的不同程度来量化；课程实施时间是指完成课程内容所需要的时间，可以用“课时”来量化。这样课程难度就可以看成课程广度、课程深度、课程实施时间的一个函数。所以科学地确定课程广度、课程深度、课程实施时间是运用模型的关键。
李高峰在原有模型的基础上提出了一些修正，比如他提出用“课程目标”的多少来量化课程广度。具体而言，就是用知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标的数量来量化课程广度。用课程目标的总赋值表示课程深度。将所有课程目标用“目标动词赋值法”予以赋值，并将所有的值求和，用以表示课程深度。
吕世虎等人对原模型中课程深度的统计做出改进。如，对于目标要求中“经历过程与认识知识的要求并列”的这一类内容采用累加的方法赋值，对于目标要求中“指明了认识数学知识的手段”的这一类内容，采用算数平均的办法赋值。
1.2 中国与新加坡教材中概率统计内容难度的定量比较
在本次研究中，中国教材选用的是由上海师范大学主编的九年义务教育课本数学和练习部分，以下简称上海教材，和是由Chow Wai Keung等人编写的Discovering Mathematics，以下简称新加坡教材。
课程广度的统计：新加坡教育部于2007年颁布了最近的课程标准Secondary Mathematics Syllabuses。在这部标准中规定了课程目标有五个方面：概念、技能、过程、态度和元认知。从具体内容来看，和上海课程标准的三维目标是一致的。因此，在课程广度的统计上以上海的三维目标为准。但是由于情感目标较难赋值，而且数量相对较少，因此不列入统计范围。上海教材中共有概念性知识35个，技能性知识35个，过程性知识4个，总计74个知识点。新加坡教材中共有概念性知识45个，技能性知识54个，过程性目标5个，总结104个知识点。
课程深度的统计：上海的课程标准中按3个层次（水平）来陈述目标（要求）的，例如知道、理解、掌握等动词表述。新加坡的教材中也使用类似的动词，为了比较标准的统一，在课程深度的统计上都分成3个层次，并且在研究过程中给结果性目标和过程性目标都赋了值。具体规定如表1。
经过计算，上海教材的目标赋值总计138.5，新加坡教材的目标赋值总计202.5。
课程时间的统计：根据上海的课程标准，概率统计的内容分别分布在六年级、八年级和九年级，总计课时20节。新加坡教材中概率统计内容分布在四个学年中，课程标准中没有具体规定课时数，本人参照新加坡国内较为知名的私立新加坡中文女子学校的教学安排。该校总共安排31课时，每课时50分钟。如果换算成每课时40分钟的话，相当于上海的39课时。
1.3 课程难度比较结果及分析
根据以上数据，分别求出上海教材与新加坡教材中概率统计内容的可比广度、可比深度、课程难度，统计数据及比较结果如表2。
根据表2的数据，利用课程难度系数公式，可计算出上海、新加坡概率统计课程的难度系数：
N（上海）=3.65？姿+7.025（1-？姿）=7.025-3.375？姿
N（新加坡）=2.64？姿+5.192（1-？姿）=5.192-2.552？姿
当？姿=0.6时，N（上海）=5，N（新加坡），可见N（上海）>N（新加坡）。
1.3 结果分析
由表2可知：新加坡的教材无论是在课程广度还是课程深度上都远远超过上海教材，但是由于有较多的课时，在课程难度上反而小于上海教材。新加坡教材在统计和概率方面都有更多的知识点，而且每学年都有概率和统计的内容。但是上海教材在七年级没有概率统计的内容，六年级也只有两课时。
在计算器（机）的使用上，虽然两种教材都有要求，但是新加坡教材更加详细，比如新加坡教材介绍了如何使用计算器求统计量的方法。新加坡教材还有用相关计算机软件或者网站收集、整理数据，绘制统计图（表）的教学内容。
相比较而言，新加坡教材的概率统计课程是“广而浅”的设计模式，上海教材是“窄而深”的设计模式。由课程难度模型的结果可知，教学内容多的教材不一定难度就大。
2. 习题难度比较研究
2.1 数学题综合难度的多因素模型
鲍健生在其博士论文中提出了如下的数学题综合难度的多因素模型，这个模型包含了五个难度因素，每个因素又进一步划分为几个水平：探究水平分为识记、理解、应用、探究；背景水平分为无实际背景、个人生活、公共常识、科学情境；运算水平分为无运算、数值运算、简单符号运算、复杂符号运算；推理水平分为：无推理、简单推理、复杂推理；知识含量水平分为1个知识点、2个知识点、3个知识点、4个以上知识点。 然后，根据等级权重利用下面的公式计算一组题目在每个因素上的加权平均：
d i=■■n j =n；i=1，2，3，4，5；j=1，2…
其中，d i（i=1，2，3，4，5）依次分别表示“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识含量”五个难度因素上的取值；d ij为第 i 个难度因素的第 j 个水平的权重（依水平分别取1、2、3……）；n ij则表示这组题目中属于第 i 个难度因素的第 j 个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n。从而得出这组题目的综合难度的五边形模型。
2.2 上海与新加坡教材中概率统计习题难度的定量比较
上海教材的习题包括课本以及练习册部分；新加坡教材只有课后练习题和复习题，没有练习册。
新加坡教材在习题的编号上是：大题用1、2、3…编号；小题的编号是 a，b，c…。上海教材：大题用1、2、3、…编号；小题的编号是（1），（2），（3）…。我们约定，题量按照小题的个数计算。而在小题的层次上，如果有一题多问的，仍按一题记数。
根据综合难度因素的水平划分，上海和新加坡概率和统计部分习题难度在探究水平上分别为2.20和2.35；背景水平上分别为0.95和1.03；运算水平上分别为0.80和1.20；推理水平上分别为1.20和1.40；知识含量上都是1.35。
上海与新加坡统计部分习题难度的统计数据见表3。
从表3可知，两本教材统计部分的习题除了探究水平外，其他各因素的差异不大。所以进一步分析统计部分习题的探究水平。见表4。
从表3可知，两本教材在概率部分的习题除了知识含量外都有较大的差异。背景上的差异主要是新加坡教材的概率题目更多地以其他数学知识为背景；运算和推理方面的差异主要是由于新加坡教材有更多的知识点，比如求互斥事件的概率，求独立事件的概率等内容。进一步分析探究水平的情况，见表5。
从表5可知，新加坡教材的习题总量远远大于上海教材。从整体来看，上海较低探究水平（认知和理解）的习题所占比重要大于新加坡教材，尤其是在识记水平上；反过来，在较高水平的题目上新加坡教材所占的比重要大于上海教材。
2.3 结果分析
（1）从探究水平的差异可以看出上海教材体现了中国数学教育一贯重视双基培养的传统；而新加坡教材更加重视提高学生认知水平的培养。作为义务教育阶段的课本，上海教材更好地兼顾到大多数学生的学习情况。
（2）在习题的背景上，两本教材都非常重视结合实际情况。但是相对来说，上海教材更强调数学知识联系实际生活；而新加坡教材更重视联系其他的数学知识。
（3）新加坡教材更加重视数学问题的多种表征形式的综合应用。在新加坡教材中有超过42.5%的题目要求学生用图（表）来解决数学问题，如用概率表或者树形图求概率；根据已有的统计图（表）按要求做出新的统计图（表）。这类题目在上海教材中相对较少，而且也没有强调一定要用图（表）解决数学问题。
3. 思考及建议
3.1 加强概率统计教学与其它数学知识的联系
概率统计的教学应当和代数、几何等知识的传授紧密相连，而概率渗透到所有数学中的结果是使数学更加接近现实，从而有助于学生对于整个数学体系的理解。密切概率统计教学和其它数学知识间的联系将有助于学生把数学作为一个整体来建构。
3.2 加强概率统计教学与现代信息技术的整合
计算器、计算机的日益普及使学生更加有效地学习概率统计的内容成为可能。计算机可以大大提高数据整理的时间和显示的效果，在建立、记录和研究信息方面，为学生提供了一个良好的工具，可以使学生有充足的时间来探究统计与概率的本质。
3.3 关于义务教育阶段数学课程难度的思考
中小学生负担过重是长期以来困扰我国基础教育的顽症。为了达到降低课程难度的目的，现行的教材消减中小学课程内容，降低对课程内容的要求程度，但收效甚微。可见只是一味地删减教学内容，降低难度要求，减少练习量并不一定能起到减轻学生负担的作用。
参考文献
[1] 上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004
[2] 上海市教育委员会.九年制义务教育课本 数学（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2004
[3] Ministry of Education， Singapore. Secondary Mathematics Syllabuses [M].Singapore， 2007
[4] Chow Wai Keung， Discovering Mathematics [M]. Singapore， 2008
[5] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J]. 北师大学报（哲学社会科学版），2005（6）
[6] 李淑文. 中日两国初中几何课程的难度比较[J]. 东北师范大学，2006
[7] 吕世虎，刘鹏飞. 《标准》与《大纲》中函数内容难度的比较研究[J]. 数学教育学报，2010（6）
[8] 赵小平，姚雪. 上海与新加坡中学概率统计教材的比较研究[J]. 数学教学，2010（2）
[9] 吕世虎，孙学敏. 中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J]. 数学教育学报，2010（12）
[10] 刘长明. 中美初中阶段“概率统计”领域内容标准的比较研究[J]. 数学教育学报，2004（2）
[11] 李高峰.课程难度模型运用中的偏差及其修正[J].上海教育科研，2010（3）