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【摘要】本文列出了二元函数在定点处可微的几个条件并指出其作用，通过例子进一步明确这些条件的使用规则，以便在应用中做到具体问题具体分析.
【关键词】二元函数；偏导数；连续；可微；条件
对一元函数而言，可导与可微是等价的，连续是可导与可微的必要条件.
二元函数与一元函数相比，似乎仅比一元函数多了一个自变量，但其定义域已从一维空间扩充到了二维空间，几何意义从二维空间改变到了三维空间，各种分析性质（连续性，可导性，可微性等）之间的影响变得很复杂.
下面探讨二元函数在定点处的可微条件，引起注意.
一、定义
若二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的全改变量Δz=f（x0 Δx，y0 Δy）-f（x0，y0）可表示为Δz=AΔx BΔy o（ρ），就说z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，其中ρ=（Δx）2 （Δy）2，A，B是常数.并把dz=AΔx BΔy称作z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分.
这是z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的充要条件.
二、z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的几个条件
定理1 如果二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，则它在点P（x0，y0）连续.
定理2 如果二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，则它在点P（x0，y0）的两个偏导数存在，且定义中的A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0）.
无论是二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）连续，还是其在点P（x0，y0）存在偏导数都仅仅是其可微的必要条件，而非充分条件.所以对一般的二元函数在定点处的可微性问题，仅计算出两个偏导数A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0），就得出z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的结论，甚至说z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分是dz=f′x（x0，y0）Δx f′y（x0，y0）Δy，是错误的.当且仅当二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微时，才把f′x（x0，y0）Δx f′y（x0，y0）Δy称作是z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分.
如果定理2的条件再加强，就得到一个z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的另一个条件.
定理3 二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某邻域内存在偏导数，且f′x（x，y），f′y（x，y）在P（x0，y0）连续，则z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微.
定理3扩大了考虑范围，却指出了z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的充分条件.
三、结合例子分析条件
例1 考察函数z=f（x，y）=xyx2 y2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0，在点（0，0）处的情形.
解析 点P（x，y）沿y=kx轴趋向（0，0）時，
lim（x，y）→（0，0）y=kxxyx2 y2limx→0kx2x2 k2x2=k1 k2.
它随k的值变化.此函数在（0，0）点连极限都不存在，当然谈不到连续.
在点（0，0）处，
f′x（0，0）=limΔx→0f（0 Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→00=0，
fy（0，0）=limΔy→0f（0，0 Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，
f（x，y）在（0，0）处的两个偏导数存在.
不满足定理1，但满足定理2，因而不可微.
如果从定理3方面考虑，则
当（x，y）≠（0，0）时，用偏导数的求导公式，有
f′x（x，y）=（x）′xyx2 y2 xyx2 y2′x=yx2 y2-2x2y（x2 y2）2=y（y2-x2）（x2 y2）2，
f′y（x，y）=（y）′yxx2 y2 yxx2 y2′y=xx2 y2-2xy2（x2 y2）2=x（x2-y2）（x2 y2）2.
于是f′x（x，y）=y（y2-x2）（x2 y2）2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0，
f′y（x，y）=x（x2-y2）（x2 y2）2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0.
可知f′x（x，y），f′y（x，y）在（0，0）不连续，则z=f（x，y）是点不满足定理3的充分条件.
是否可以认为二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）不满足定理3的条件时，一定不可微？
事实上，在（0，0）处给自变量增量（Δx，Δy）（Δx≠0，Δy≠0）时，有
Δz-（f′x（0，0）Δx fy（0，0）Δ）=ΔxΔy（Δx）2 （Δy）2.
当Δx=Δy>0 时，有ΔxΔy（Δx）2 （Δy）2=12，则ΔxΔy（Δx）2 （Δy）2不是关于ρ=（Δx）2 （Δy）2的高阶无穷小. 于是所给函数在（0，0）不可微.
例2 考察f（x，y）=（x2 y2）sin1x2 y2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0.在（0，0）的情形.
解析 lim（x，y）→（0，0）（x2 y2）sin1x2 y2=0=f（0，0），故所给函数在点（0，0）连续.满足定理1.
f′x（0，0）=limΔx→0f（0 Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0Δxsin1（Δx）2=0=0.
当x2 y2≠0时，
f′x（x，y）=2xsin1x2 y2-2xx2 y2cos1x2 y2.
而lim（x，y）→（0，0）2xsin1x2 y2=0，lim（x，y）→（0，0）2xx2 y2cos1x2 y2不存在，从而f′x（x，y）在（0，0）不连续.同理f′y（x，y）在（0，0）不连续.不满足定理3的充分条件.
但所给函数在点（0，0）可微.事实上
f′y（0，0）=limΔy→0f（0，0 Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，
limρ→0Δf-（f′x（0，0）Δx f′y（0，0）Δy）ρ=limρ→0ρ2sin1ρ2ρ=limρ→0ρsin1ρ2=0，
即f（0 Δx，0 Δy）-f（0，0）=f′x（0，0）Δx f′y（0，0）Δy o（ρ），则此函数在点（0，0）可微.
这时满足的是定义，或者说是另外的充分条件.
使一个事实成立的充分条件有时有几个，只要满足其中的一个即可.
【参考文献】
[1]数学分析 （第二版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社出版.
[2]数学分析 （第四版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社出版.
【关键词】二元函数；偏导数；连续；可微；条件
对一元函数而言，可导与可微是等价的，连续是可导与可微的必要条件.
二元函数与一元函数相比，似乎仅比一元函数多了一个自变量，但其定义域已从一维空间扩充到了二维空间，几何意义从二维空间改变到了三维空间，各种分析性质（连续性，可导性，可微性等）之间的影响变得很复杂.
下面探讨二元函数在定点处的可微条件，引起注意.
一、定义
若二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的全改变量Δz=f（x0 Δx，y0 Δy）-f（x0，y0）可表示为Δz=AΔx BΔy o（ρ），就说z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，其中ρ=（Δx）2 （Δy）2，A，B是常数.并把dz=AΔx BΔy称作z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分.
这是z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的充要条件.
二、z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的几个条件
定理1 如果二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，则它在点P（x0，y0）连续.
定理2 如果二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微，则它在点P（x0，y0）的两个偏导数存在，且定义中的A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0）.
无论是二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）连续，还是其在点P（x0，y0）存在偏导数都仅仅是其可微的必要条件，而非充分条件.所以对一般的二元函数在定点处的可微性问题，仅计算出两个偏导数A=f′x（x0，y0），B=f′y（x0，y0），就得出z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的结论，甚至说z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分是dz=f′x（x0，y0）Δx f′y（x0，y0）Δy，是错误的.当且仅当二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微时，才把f′x（x0，y0）Δx f′y（x0，y0）Δy称作是z=f（x，y）在点P（x0，y0）处的全微分.
如果定理2的条件再加强，就得到一个z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的另一个条件.
定理3 二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某邻域内存在偏导数，且f′x（x，y），f′y（x，y）在P（x0，y0）连续，则z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微.
定理3扩大了考虑范围，却指出了z=f（x，y）在点P（x0，y0）可微的充分条件.
三、结合例子分析条件
例1 考察函数z=f（x，y）=xyx2 y2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0，在点（0，0）处的情形.
解析 点P（x，y）沿y=kx轴趋向（0，0）時，
lim（x，y）→（0，0）y=kxxyx2 y2limx→0kx2x2 k2x2=k1 k2.
它随k的值变化.此函数在（0，0）点连极限都不存在，当然谈不到连续.
在点（0，0）处，
f′x（0，0）=limΔx→0f（0 Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→00=0，
fy（0，0）=limΔy→0f（0，0 Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，
f（x，y）在（0，0）处的两个偏导数存在.
不满足定理1，但满足定理2，因而不可微.
如果从定理3方面考虑，则
当（x，y）≠（0，0）时，用偏导数的求导公式，有
f′x（x，y）=（x）′xyx2 y2 xyx2 y2′x=yx2 y2-2x2y（x2 y2）2=y（y2-x2）（x2 y2）2，
f′y（x，y）=（y）′yxx2 y2 yxx2 y2′y=xx2 y2-2xy2（x2 y2）2=x（x2-y2）（x2 y2）2.
于是f′x（x，y）=y（y2-x2）（x2 y2）2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0，
f′y（x，y）=x（x2-y2）（x2 y2）2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0.
可知f′x（x，y），f′y（x，y）在（0，0）不连续，则z=f（x，y）是点不满足定理3的充分条件.
是否可以认为二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）不满足定理3的条件时，一定不可微？
事实上，在（0，0）处给自变量增量（Δx，Δy）（Δx≠0，Δy≠0）时，有
Δz-（f′x（0，0）Δx fy（0，0）Δ）=ΔxΔy（Δx）2 （Δy）2.
当Δx=Δy>0 时，有ΔxΔy（Δx）2 （Δy）2=12，则ΔxΔy（Δx）2 （Δy）2不是关于ρ=（Δx）2 （Δy）2的高阶无穷小. 于是所给函数在（0，0）不可微.
例2 考察f（x，y）=（x2 y2）sin1x2 y2，x2 y2≠0，0，x2 y2=0.在（0，0）的情形.
解析 lim（x，y）→（0，0）（x2 y2）sin1x2 y2=0=f（0，0），故所给函数在点（0，0）连续.满足定理1.
f′x（0，0）=limΔx→0f（0 Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0Δxsin1（Δx）2=0=0.
当x2 y2≠0时，
f′x（x，y）=2xsin1x2 y2-2xx2 y2cos1x2 y2.
而lim（x，y）→（0，0）2xsin1x2 y2=0，lim（x，y）→（0，0）2xx2 y2cos1x2 y2不存在，从而f′x（x，y）在（0，0）不连续.同理f′y（x，y）在（0，0）不连续.不满足定理3的充分条件.
但所给函数在点（0，0）可微.事实上
f′y（0，0）=limΔy→0f（0，0 Δy）-f（0，0）Δy=limΔx→00=0，
limρ→0Δf-（f′x（0，0）Δx f′y（0，0）Δy）ρ=limρ→0ρ2sin1ρ2ρ=limρ→0ρsin1ρ2=0，
即f（0 Δx，0 Δy）-f（0，0）=f′x（0，0）Δx f′y（0，0）Δy o（ρ），则此函数在点（0，0）可微.
这时满足的是定义，或者说是另外的充分条件.
使一个事实成立的充分条件有时有几个，只要满足其中的一个即可.
【参考文献】
[1]数学分析 （第二版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社出版.
[2]数学分析 （第四版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社出版.