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不等式与不等式组是数学中表示不等关系的一种形式,它既是初中数学的重点,又是难点之一.然而在学习不等式(组)时,同学们总会出现各种错误,下面就常出现的错误进行例析,希望能给同学们带来帮助.
一、找不等关系时出错误
例1 用不等式表示下列语句.
①x与y和的2倍不小于5;
②x的4倍与3的差是非正数.
错解:① 2(x+y)>5;② 4x-3<0.
错因分析:本题出现错误的原因在于对“不小于”“非正数”的理解错误.“不小于”是指大于或等于,“非正数”是指零或负数,所以应该采用≥或≤来表示.
正解:① 2(x+y)≥5;② 4x-3≤0.
点拨:表示不等关系的词语常出现在用不等式(组)解决实际问题的过程中,一定要弄清关键词语的意义,再把文字语言用数学式子表示出来.
二、运用不等式的性质时出错
例2 已知xay,则a的取值范围是( ).
A. a≥0B. a≤0C. a<0 D. a>0
错解:D.
错因分析:由xay,根据不等式的性质,只有不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向才会改变,当a=0时,不等式左右两边都为0.
正解:C.
点拨:不等式的性质应用非常广泛,比如确定未知数的系数符号,只有正确运用不等式的性质才能够正确解答.
三、在求不等式解的过程中出错
例3 解不等式 +≥1+.
错解:去分母得8(y-1)+2(1-y) ≥12+3(5y+7),
去括号合并得6y-6≥15y+33,
移项得6y-15y≤33+6,
合并得-9y≤39,
系数化为1得y≥- .
错因分析:本题出现错误的原因是在移项时出错.移项要变号是指移项时这一项的符号要改变,并不是要改变不等号的方向.
正解:去分母得8(y-1)+2(1-y)≥12+3(5y+7),
去括号合并得6y-6≥15y+33,
移项得6y-15y≥33+6,
合并得-9y≥39,
系数化为1得y≤- .
点拨:在解不等式时,容易出错的环节很多,如去分母时,每一项都要乘以最小公倍数;去括号时要注意变号;移项时要变号;系数化为1时,不等号的方向是否要改变等.要避免出错,就应该在解题时细心些.
四、表示不等式组的解集出错
例4不等式组2x-4 > 0,3x+3 < 0的解集为_________.
错解:x>2或x<-1;
错因分析:在解不等式组时,要先对每一个不等式求解,然后再求其公共解集.
正解:解不等式2x-4>0得x>2,解不等式3x+3<0得x<-1,所以原不等式组无解.
点拨:不等式的解集主要有4种情况:同大取大,即两不等式的解集都是大于号,解集应是x大于较大数,同理,同小取小;大小小大中间找,即大于较小数小于较大数时,解集为中间部分,同理,大大小小无处找.利用数轴表示解集是正确书写解集的最佳方法.
五、确定不等式(组)中的参数时出错
例5 已知不等式组x < 3,x < a的解集为x < a,则a的取值范围是_________.
错解:a <3.
错因分析:根据同小取小这一规律,误认为a应该小于3,忽略了a = 3的情况.
正解:a ≤ 3.
点拨:在求不等式(组)的解集时,往往会出现漏解现象.在解决这样的问题时,应讨论字母表示的范围,还可以采用特殊值检验的方法,以避免出错.
六、求不等式(组)的特殊解时出错
例6 已知关于x的不等式组x-a>03-2x>0的整数解共有6个,则a的取值范围是______.
错解:a ≥ -4.
错因分析:因为不等式组的解集为a < x<,根据已知可知,这6个整数解为1,0,-1,-2,-3,-4,所以a的范围应该是-5≤a<-4,通过数轴可以进一步找出正确的解集.
正解:-5≤a<-4;
点拨:特殊解是指在不等式(组)的取值范围内的具有某些特定的解,如整数解、正整数解等,在解决这类问题时,首先要求出出不等式(组)的解集,然后在解集内确定其特殊解.
练兵场
1. 不等式ax>b的解集是,则a的取值范围是().
A. a ≤ 0 B. a < 0 C. a ≥ 0 D. a>0
2. 不等式组x>-,x-4≤8-2x的最小整数解是().
A. -1B. 0 C. 1D. 2
3. 如果不等式组x> n+2,x > 2n+2的解集为> -1,那么n的值为().
A. -3 B. -1 C. 1D. 3
4. 如图1,数轴上表示的关于x的取值范围是().
A. 0 < x ≤B.x ≤
C. 0 ≤ x < D.x > 0
5. 已知不等式组x >2k+1,x < 3k-2的解为无解,求k的取值范围.
一、找不等关系时出错误
例1 用不等式表示下列语句.
①x与y和的2倍不小于5;
②x的4倍与3的差是非正数.
错解:① 2(x+y)>5;② 4x-3<0.
错因分析:本题出现错误的原因在于对“不小于”“非正数”的理解错误.“不小于”是指大于或等于,“非正数”是指零或负数,所以应该采用≥或≤来表示.
正解:① 2(x+y)≥5;② 4x-3≤0.
点拨:表示不等关系的词语常出现在用不等式(组)解决实际问题的过程中,一定要弄清关键词语的意义,再把文字语言用数学式子表示出来.
二、运用不等式的性质时出错
例2 已知x
A. a≥0B. a≤0C. a<0 D. a>0
错解:D.
错因分析:由x
正解:C.
点拨:不等式的性质应用非常广泛,比如确定未知数的系数符号,只有正确运用不等式的性质才能够正确解答.
三、在求不等式解的过程中出错
例3 解不等式 +≥1+.
错解:去分母得8(y-1)+2(1-y) ≥12+3(5y+7),
去括号合并得6y-6≥15y+33,
移项得6y-15y≤33+6,
合并得-9y≤39,
系数化为1得y≥- .
错因分析:本题出现错误的原因是在移项时出错.移项要变号是指移项时这一项的符号要改变,并不是要改变不等号的方向.
正解:去分母得8(y-1)+2(1-y)≥12+3(5y+7),
去括号合并得6y-6≥15y+33,
移项得6y-15y≥33+6,
合并得-9y≥39,
系数化为1得y≤- .
点拨:在解不等式时,容易出错的环节很多,如去分母时,每一项都要乘以最小公倍数;去括号时要注意变号;移项时要变号;系数化为1时,不等号的方向是否要改变等.要避免出错,就应该在解题时细心些.
四、表示不等式组的解集出错
例4不等式组2x-4 > 0,3x+3 < 0的解集为_________.
错解:x>2或x<-1;
错因分析:在解不等式组时,要先对每一个不等式求解,然后再求其公共解集.
正解:解不等式2x-4>0得x>2,解不等式3x+3<0得x<-1,所以原不等式组无解.
点拨:不等式的解集主要有4种情况:同大取大,即两不等式的解集都是大于号,解集应是x大于较大数,同理,同小取小;大小小大中间找,即大于较小数小于较大数时,解集为中间部分,同理,大大小小无处找.利用数轴表示解集是正确书写解集的最佳方法.
五、确定不等式(组)中的参数时出错
例5 已知不等式组x < 3,x < a的解集为x < a,则a的取值范围是_________.
错解:a <3.
错因分析:根据同小取小这一规律,误认为a应该小于3,忽略了a = 3的情况.
正解:a ≤ 3.
点拨:在求不等式(组)的解集时,往往会出现漏解现象.在解决这样的问题时,应讨论字母表示的范围,还可以采用特殊值检验的方法,以避免出错.
六、求不等式(组)的特殊解时出错
例6 已知关于x的不等式组x-a>03-2x>0的整数解共有6个,则a的取值范围是______.
错解:a ≥ -4.
错因分析:因为不等式组的解集为a < x<,根据已知可知,这6个整数解为1,0,-1,-2,-3,-4,所以a的范围应该是-5≤a<-4,通过数轴可以进一步找出正确的解集.
正解:-5≤a<-4;
点拨:特殊解是指在不等式(组)的取值范围内的具有某些特定的解,如整数解、正整数解等,在解决这类问题时,首先要求出出不等式(组)的解集,然后在解集内确定其特殊解.
练兵场
1. 不等式ax>b的解集是,则a的取值范围是().
A. a ≤ 0 B. a < 0 C. a ≥ 0 D. a>0
2. 不等式组x>-,x-4≤8-2x的最小整数解是().
A. -1B. 0 C. 1D. 2
3. 如果不等式组x> n+2,x > 2n+2的解集为> -1,那么n的值为().
A. -3 B. -1 C. 1D. 3
4. 如图1,数轴上表示的关于x的取值范围是().
A. 0 < x ≤B.x ≤
C. 0 ≤ x < D.x > 0
5. 已知不等式组x >2k+1,x < 3k-2的解为无解,求k的取值范围.