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离散型随机变量的均值和方差是统计学中两大重要的数字特征，其中均值反映的是随机变量的总体平均取值水平，而方差则反映的是随机变量的集中或稳定程度. 在实际应用中，往往可先将实际应用问题转化为数学模型，再借助这两大数字特征进行科学对比，合理规划和决策.
已知离散型随机变量的分布列求均值和方差
例1 已知随机变量[ξ]的分布列如下表：
（1）求[ξ]的均值、方差和标准差；
（2）设[η=2ξ+3]，求[E（η），D（η）].
解析 本题考查期望、方差的性质：若[y=ax+b]，则[E（y）=aE（x）+b，D（y）=a2D（x）].
（1）均值[E（ξ）=（-1）×12+0×13+1×16=-13]，
方差[D（ξ）=[（-1）-（-13）]2×12][+[0-（-13）]2×13]
[+[1-（-13）]2×16=59]，
标准差[D（ξ）=53].
（2）[E（η）=2E（ξ）+3=73]，[D（η）=4D（ξ）=209].
例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠. 若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层下电梯的概率均为[13]，用[ξ]表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量[ξ]的数学期望[E（ξ）=]（ ）
[A]. [43] [B]. [73]
[C]. [53] [D]. [23]
解析 一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，属于二项分布于是[ξ]～[B（5，13）]，故[E（ξ）=np=5×13=53].
答案 [C]
[已知均值或方差求参数值]
例3 某射击运动员射中的环数[ξ]的分布列如下：
已知[E（ξ）=8.9]，则[y]的值为（ ）
A. [0.4] B. [0.6]
C. [0.7] D. [0.9]
解析 本题运用分布列的性质和期望公式列方程组求解.
由条件得：[x+y+0.1+0.3=1，7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9，]
解得[x=0.2，y=0.4.]
答案 [A]
例4 张老师从课本上抄录一个随机变量[ξ]的分布列如下表：
[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&？＼&！＼&？＼&]
请同学计算[ξ]的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同. 据此得出正确答案[E（ξ）=] .
解析 设“？”为[a]，“！”为[b]，则[2a+b=1]，[E（ξ）=a+2b+3a=2（2a+b）=2]. 故填2.
[对两种方案的对比判断]
例5 最近，李师傅一家三口打算用10万元钱进行投资理财，构想了三种方案：
方案一：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票. 据分析预测，投资股市一年可能获利[40%]，也可能亏损[20%]（假定只有这两种可能），且获利的概率为[12]；
方案二：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金. 据分析预测，投资基金一年后可能获利[20%]，可能损失[10%]，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为[35，15，15]；
方案三：李师傅的妻子认为，投资股市、基金都有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为[4%]，存款利息税率为[5%].
针对以上三种投资方案，请你为李师傅选择一种合理的理财方案，并说明理由.
解析 合理的理财方案应满足两个条件：①获利高，②稳定性强. 可从数学期望和方差两方面考虑，优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应选择方差较小的方案.
（1）若按方案一执行，设收益为[ξ]万元，则[ξ]的分布列为：
[[ξ]＼&[4]＼&[-2]＼&[P]＼&[12]＼&[12]＼&]
于是[E（ξ）=4×12+（-2）×12=1]万元.
（2）若按方案二执行，设收益为[η]万元，则[η]的分布列为：
于是[E（η）=2×35+0×15+（-1）×15=1]万元.
（3）若按方案三执行，
收益[y=10×4%×（1-5%）=0.38]万元.
由于[E（ξ）=E（η）>y]，
且[D（ξ）=（4-1）2×12+（-2-1）2×12=9]，
[D（η）=（2-1）2×35+（0-1）2×15+（-1-1）2×15=85].
由上知[D（ξ）>D（η）]，这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择方案二进行投资理财较为合理.
总的来说，求解离散型随机变量的均值与方差，关键要过好“三关”：一是“判断关”，即依据题意判断随机变量的所有可能的取值；二是“求概率关”，即利用排列组合相关原理，以及古典概型等公式求出随机变量取各值时的概率；三是“应用定义关”，即列出随机变量的分布列，利用随机变量的均值与方差公式进行计算. 另外，还应牢记几种特殊分布列的数学期望和方差公式，可适当简化计算过程.
[练习]
1. 已知离散型随机变量[X]的分布列为：
则[X]的均值[E（X）=]（ ）
A. [32] B. [2]
C. [52] D. [3] 2. 若[X]是离散型随机变量，[P（X=x1）=23，][P（X=x2）=13]，且[x1 A. [53] B. [73]
C. [3] D. [113]
3. 已知抛物线[y=ax2+bx+c（a≠0）]的对称轴在[y]轴的左侧，其中[a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}]，在这些抛物线中，记随机变量[ξ=|a-b|]的取值，则[E（ξ）=]（ ）
A. [89] B. [35]
C. [25] D. [13]
4. 已知随机变量[ξ]的分布列为[P（ξ=m）=13，][P（ξ=n）=a]，若[E（ξ）=2]，则[D（ξ）]的最小值为 .
5. 设袋子中装有[a]个红球，[b]个黄球，[c]个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
（1）当[a=3，b=2，c=1]时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量[ξ]为取出此2球所得分数之和，求[ξ]的分布列；
（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量[η]为取出此球所得分数，若[E（η）=53，D（η）=59]，求[a∶b∶c].
[参考答案]
1. [E（X）=1×35+2×310+3×110=32]，故选[A].
2. 由条件知：[x1?23+x2?13=43（x1-43）2?23+（x2-43）2?13=29]
解得[x1=53x2=23]或[x1=1x2=2]
又[x1 于是[x1+x2=3]，故选[C].
3. 因为抛物线的对称轴在[y]轴的左侧，所以[-b2a<0]，即[ba>0]，即[a，b]同号. 则[ξ]的分布列为：
所以[E（ξ）=0×13+1×49+2×29=89]，故选[A].
4. 由题意得：[a+13=1]，
[∴a=23]，
[∴m3+2n3=2]，得[m=6-2n].
[∴D（ξ）=13（m-2）2+23（n-2）2]
[=13（6-2n-2）2+23（n-2）2]
[=2n2-8n+8=2（n-2）2，]
则当[n=2]时，[D（ξ）]取最小值为0.
5. （1）由题意得：[ξ]可取2，3，4，5，6.
且[P（ξ=2）=3×36×6=14，]
[P（ξ=3）=2×3×26×6=13，]
[P（ξ=4）=2×3×1+2×26×6=518，]
[P（ξ=5）=2×2×16×6=19，P（ξ=6）=1×16×6=136.]
[∴ξ]的分布列为：
（2）由题意得：[η]的分布列为：
则[E（η）=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53]，
[D（η）=（1-53）2?aa+b+c+（2-53）2?ba+b+c]
[+（3-53）2?ca+b+c=59，]
化简得：[2a-b-4c=0a+4b-11c=0]
解得：[a=3cb=2c]
故[a∶b∶c=3∶2∶1].
已知离散型随机变量的分布列求均值和方差
例1 已知随机变量[ξ]的分布列如下表：
（1）求[ξ]的均值、方差和标准差；
（2）设[η=2ξ+3]，求[E（η），D（η）].
解析 本题考查期望、方差的性质：若[y=ax+b]，则[E（y）=aE（x）+b，D（y）=a2D（x）].
（1）均值[E（ξ）=（-1）×12+0×13+1×16=-13]，
方差[D（ξ）=[（-1）-（-13）]2×12][+[0-（-13）]2×13]
[+[1-（-13）]2×16=59]，
标准差[D（ξ）=53].
（2）[E（η）=2E（ξ）+3=73]，[D（η）=4D（ξ）=209].
例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠. 若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层下电梯的概率均为[13]，用[ξ]表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量[ξ]的数学期望[E（ξ）=]（ ）
[A]. [43] [B]. [73]
[C]. [53] [D]. [23]
解析 一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，属于二项分布于是[ξ]～[B（5，13）]，故[E（ξ）=np=5×13=53].
答案 [C]
[已知均值或方差求参数值]
例3 某射击运动员射中的环数[ξ]的分布列如下：
已知[E（ξ）=8.9]，则[y]的值为（ ）
A. [0.4] B. [0.6]
C. [0.7] D. [0.9]
解析 本题运用分布列的性质和期望公式列方程组求解.
由条件得：[x+y+0.1+0.3=1，7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9，]
解得[x=0.2，y=0.4.]
答案 [A]
例4 张老师从课本上抄录一个随机变量[ξ]的分布列如下表：
[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&？＼&！＼&？＼&]
请同学计算[ξ]的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同. 据此得出正确答案[E（ξ）=] .
解析 设“？”为[a]，“！”为[b]，则[2a+b=1]，[E（ξ）=a+2b+3a=2（2a+b）=2]. 故填2.
[对两种方案的对比判断]
例5 最近，李师傅一家三口打算用10万元钱进行投资理财，构想了三种方案：
方案一：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票. 据分析预测，投资股市一年可能获利[40%]，也可能亏损[20%]（假定只有这两种可能），且获利的概率为[12]；
方案二：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金. 据分析预测，投资基金一年后可能获利[20%]，可能损失[10%]，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为[35，15，15]；
方案三：李师傅的妻子认为，投资股市、基金都有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为[4%]，存款利息税率为[5%].
针对以上三种投资方案，请你为李师傅选择一种合理的理财方案，并说明理由.
解析 合理的理财方案应满足两个条件：①获利高，②稳定性强. 可从数学期望和方差两方面考虑，优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应选择方差较小的方案.
（1）若按方案一执行，设收益为[ξ]万元，则[ξ]的分布列为：
[[ξ]＼&[4]＼&[-2]＼&[P]＼&[12]＼&[12]＼&]
于是[E（ξ）=4×12+（-2）×12=1]万元.
（2）若按方案二执行，设收益为[η]万元，则[η]的分布列为：
于是[E（η）=2×35+0×15+（-1）×15=1]万元.
（3）若按方案三执行，
收益[y=10×4%×（1-5%）=0.38]万元.
由于[E（ξ）=E（η）>y]，
且[D（ξ）=（4-1）2×12+（-2-1）2×12=9]，
[D（η）=（2-1）2×35+（0-1）2×15+（-1-1）2×15=85].
由上知[D（ξ）>D（η）]，这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择方案二进行投资理财较为合理.
总的来说，求解离散型随机变量的均值与方差，关键要过好“三关”：一是“判断关”，即依据题意判断随机变量的所有可能的取值；二是“求概率关”，即利用排列组合相关原理，以及古典概型等公式求出随机变量取各值时的概率；三是“应用定义关”，即列出随机变量的分布列，利用随机变量的均值与方差公式进行计算. 另外，还应牢记几种特殊分布列的数学期望和方差公式，可适当简化计算过程.
[练习]
1. 已知离散型随机变量[X]的分布列为：
则[X]的均值[E（X）=]（ ）
A. [32] B. [2]
C. [52] D. [3] 2. 若[X]是离散型随机变量，[P（X=x1）=23，][P（X=x2）=13]，且[x1
C. [3] D. [113]
3. 已知抛物线[y=ax2+bx+c（a≠0）]的对称轴在[y]轴的左侧，其中[a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}]，在这些抛物线中，记随机变量[ξ=|a-b|]的取值，则[E（ξ）=]（ ）
A. [89] B. [35]
C. [25] D. [13]
4. 已知随机变量[ξ]的分布列为[P（ξ=m）=13，][P（ξ=n）=a]，若[E（ξ）=2]，则[D（ξ）]的最小值为 .
5. 设袋子中装有[a]个红球，[b]个黄球，[c]个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
（1）当[a=3，b=2，c=1]时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量[ξ]为取出此2球所得分数之和，求[ξ]的分布列；
（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量[η]为取出此球所得分数，若[E（η）=53，D（η）=59]，求[a∶b∶c].
[参考答案]
1. [E（X）=1×35+2×310+3×110=32]，故选[A].
2. 由条件知：[x1?23+x2?13=43（x1-43）2?23+（x2-43）2?13=29]
解得[x1=53x2=23]或[x1=1x2=2]
又[x1
3. 因为抛物线的对称轴在[y]轴的左侧，所以[-b2a<0]，即[ba>0]，即[a，b]同号. 则[ξ]的分布列为：
所以[E（ξ）=0×13+1×49+2×29=89]，故选[A].
4. 由题意得：[a+13=1]，
[∴a=23]，
[∴m3+2n3=2]，得[m=6-2n].
[∴D（ξ）=13（m-2）2+23（n-2）2]
[=13（6-2n-2）2+23（n-2）2]
[=2n2-8n+8=2（n-2）2，]
则当[n=2]时，[D（ξ）]取最小值为0.
5. （1）由题意得：[ξ]可取2，3，4，5，6.
且[P（ξ=2）=3×36×6=14，]
[P（ξ=3）=2×3×26×6=13，]
[P（ξ=4）=2×3×1+2×26×6=518，]
[P（ξ=5）=2×2×16×6=19，P（ξ=6）=1×16×6=136.]
[∴ξ]的分布列为：
（2）由题意得：[η]的分布列为：
则[E（η）=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53]，
[D（η）=（1-53）2?aa+b+c+（2-53）2?ba+b+c]
[+（3-53）2?ca+b+c=59，]
化简得：[2a-b-4c=0a+4b-11c=0]
解得：[a=3cb=2c]
故[a∶b∶c=3∶2∶1].