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数学应用问题体现了数学在实际生活中的的工具性、实用性，同时，考查数学应用问题也是对数学实践能力的一种检测，因而成为高考能力选拔的必考题型之一. 高考中数学应用题的编制背景可分为两种：一是源自教材的应用题改编，从熟知的课本应用问题情景中变换思维角度，改换命题方向，拓宽求解方法；二是以实际生活为背景，设计一些情境新颖、富有时代特色、具有人文气息的数学问题.
一、函数型问题
函数的应用，一方面是利用题设已知的函数解析式去解决实际问题，如“最优化”“最佳设计”等问题；另一方面是根据问题情景建立恰当的函数模型，并利用所得到的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测. 常见的题型与方法有：（1）二次函数题型用配方法；（2）分式函数题型用均值不等式法或函数单调性法；（3）根式函数题型、指数与对数函数题型用函数单调性法；（4）三次（或高次）函数题型用导数法.
例1 某旅游公司计划对某一景点改造升级，以提高旅游增加值. 经过市场调查，旅游增加值[y]万元与投入[x]万元之间满足：[y=5150x-ax2-lnx10]，[x2x-12∈t,+∞]，其中[t]为大于[12]的常数. 当[x=10]时，[y=9.2].
（Ⅰ）求[y=f(x)]的解析式和投入[x]的取值范围；
（Ⅱ）求旅游增加值[y]取得最大值时对应的[x]值.
分析 第（Ⅰ）问把[x=10]，[y=9.2]代入函数式，即可求出[a]的值，得到[y=f(x)]的解析式；第（Ⅱ）问求[f(x)]的最大值，需要先讨论[y=f(x)]的单调性，确定取得最大值的区间和对应的[x]值.
解 （Ⅰ）由[x=10]，[y=9.2]，求得[a=1100]，
则[f(x)=5150x-x2100-lnx10].
又由[x2x-12≥t]且[t>12]，求得[6 （Ⅱ）由[f(x)=-(x-1)(x-50)50x]，可求得[f(x)]在[(6,50)]上是增函数，[f(x)]在[50,+∞]上是减函数，由此得[x=50]为极大值点.
当[12t2t-1≥50]，即[t∈12,2544]时，投入[50]万元改造时取得最大增加值；当[6<12t2t-1<50]，即[t∈(2544,+∞)]时，投入[12t2t-1]万元改造时取得最大增加值.
点拨 本题的难点是求旅游增加值[y]取得最大值时对应的[x]值. 由第（Ⅰ）问可知[x]的取值范围是[6,12t2t-1]，因此需要从研究[f(x)]在这个区间上的单调性入手，找到变量[t]所在区间上[y]取得最大值时[x]的值.
二、三角函数型问题
三角函数的应用，主要是与角度有关的测量、航海、筑路、天文学和机械制造等，体现了三角函数在生产、生活领域的广泛应用. 而在问题的解决过程中，关键是以这些实际问题为背景，建立三角函数形式的模型. 常见的题型与方法有：（1）给出三角函数的图象或解析式研究最值，方法是利用三角公式变换，将函数转化成[y=Asin(ωx+φ)+k]的形式求解，应注意角的范围限制；（2）给出三角形中的边、角关系，求相应的边、角的大小，方法是运用正弦、余弦定理、面积公式求解.
例2 如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路[OC]，另一侧修建一条观光大道，它的前一段[OD]是以[O]为顶点，[x]轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段[DBC]是函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A>0],[ω>0],[|φ|<π2],[x∈4,8]）时的图象，图象的最高点为[B(5,833)]，[DF⊥OC]，垂足为[F].
（Ⅰ）求函数[y=Asin(ωx+φ)]的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园[PMFE]，问点[P]落在曲线[OD]上何处时，水上乐园的面积最大？
分析 第（Ⅰ）问求[y=Asin(ωx+φ)]的解析式，需要结合图象给出的相关数据，并利用三角函数的性质得到[A]、[ω]、[φ]；第（Ⅱ）问先得到抛物线的方程，再建立矩形面积的函数关系式，通过求对应函数的最值，得到点[P]的坐标.
解 （Ⅰ）对于函数[y=Asin(ωx+φ)]，由图象知
[A=833]，[ω=2πT=2π4(8-5)=π6]，
将[B(5,833)]代入[y=833sin(π6x+φ)]，
得[5π6+φ=][2kπ+π2]（[k∈Z]），
又[|φ|<π2]，所以[φ=-π3]，
故[y=833sin(π6x-π3)].
（Ⅱ）在[y=833sin(π6x-π3)]中，
令[x=4]，得[D(4,4)]，
由此得曲线[OD]的方程为[y2=4x]（[0≤x≤4]）.
设点[P(t24,t)]（[0≤t≤4]），则矩形[PMFE]的面积为[S=(4-t24)t]（[0≤t≤4]）.
[S=4-34t2]，由[S=0]，得[t=433]，
且当[t∈(0,433)]时，[S>0],[S]递增；
当[t∈(433,4)]时，[S<0]，[S]递减.
所以，当[t=433]时，[S]最大，
此时点[P]的坐标为[(43,433)].
点拨 本题是一道关联三角函数和函数的综合应用题，求出三角函数[y=Asin(ωx+φ)]的解析式是求解的关键，其中的难点是寻找[φ]的值，一般地，应从“五点作图法”去寻找对应点的关系式，并注意题设条件给出的[φ]的范围. 点[P]的坐标与矩形的面积最值形成关联，因此问题求解的本质还是对函数最值的理解，注意点参数法在表示面积关系式中的应用和导数在求函数最值中的应用.
三、数列型问题
数列是定义在正整数集上的函数，因而有关年份、月份、次数等与自然数相关的应用问题均属于数列型应用题的范畴. 解答这类问题，一般是从建立数列模型入手，然后依据数列、函数和不等式知识求解. 常见的题型与方法有：（1）增长率问题属于等比数列题型，用等比数列的公式和性质求解；（2）[an]与[Sn]的混合题型，通过[an=Sn-Sn-1]（[n≥2]，[n∈N∗]）寻找通项公式或求和公式求解.
例3 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款[1.1]升排量的[Q]型车、[R]型车的销量引起市场的关注. 已知2010年1月[Q]型车的销量为[a]辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内[Q]型车每月的售量都将以[1%]的比例增长，而[R]型车前[n]个月的销售总量[Tn]大致满足关系式：[Tn=228a(1.012n-1)]（[n≤24]，[n∈N∗]）.
（Ⅰ）求[Q]型车前[n]个月的销售总量[Sn]的表达式；
（Ⅱ）比较两款车前[n]个月的销售总量[Sn]与[Tn]的大小关系；
（Ⅲ）从第几个月开始，[Q]型车的月销售量小于[R]型车月销售量的[20%]？说明理由.
（参考数据：[54.5828≈1.09]，[lg1.09lg1.01≈8.66]）
分析 第（Ⅰ）问[Q]型车每月的售量成等比数列可得销售总量[Sn]的表达式；第（Ⅱ）问比较大小，用作差法是最基本的方法；第（Ⅲ）问利用“[Q]型车的月销售量小于[R]型车月销售量的[20%]，建立不等式求解.
解 （Ⅰ）[Q]型车各月的销售量构成以首项[a1=a]，公比[q=1+1%=1.01]的等比数列[an].
前[n]个月的销售总量
[Sn=a(1.01n-1)1.01-1=100a(1.01n-1)][(n≤24,][n∈N∗).]
（Ⅱ）[Sn-Tn=100a(1.01n-1)-228a(1.012n-1)]
[=100a(1.01n-1)-228a(1.01n-1)(1.01n+1)]
[=-228a(1.01n-1)⋅(1.01n+3257)].
又[1.01n-1>0]，[1.01n+3257>0]，
所以[Sn-Tn<0]，即[Sn （Ⅲ）记[Q]、[R]两款车第[n]个月的销售量分别为[an]和[bn]，则[an=a×1.01n-1]，
当[n≥2]时，
[bn=Tn-Tn-1=228a(1.012n-1)-228a(1.012n-2-1)]
[=228a×(1.012-1)×1.012n-2]=[4.5828a1.012n-2]，
[b1=4.5828a]，显然[20%×b1 当[n≥2]时，若[an<20%×bn]，
则[a×1.01n-1<15×4.5828a×1.012n-2]，
[1.012(n-1)>54.5828×1.01n-1]，
[1.01n-1>54.5828≈1.09]，
[n-1>lg1.09lg1.01≈8.66]，所以[n≥10].
即从第10个月开始，[Q]型车月销售量小于[R]型车月销售量的[20%].
点拨 数列应用题的求解，主要是将问题转化成等差、等比数列的通项公式或求和公式进行计算，比较大小. 第（Ⅲ）问已知数列[bn]的前[n]项和[Tn]，求其通项[bn]时，容易忽视对[n=1]和[n≥2]的分类讨论，对于数学应用问题的求解，我们更应该注意解题细节.
四、不等式型问题
实际问题中的“优选”“控制”等优化问题，常需要建立“不等式模型”求解，即从建立函数关系着手，通过对所求结论的大小比较、所得方案的优劣判断得出最优方案. 常见的题型与方法有：（1）比较大小型可用作差法、作商法或放缩法；（2）函数最值型用求函数最值的基本方法（如用均值不等式等）.
例4 设计一条长为26公里的轻轨交通线，该轻轨交通路线的起点站和终点站已建好，余下的工程只需要再该段线路的起点站和终点站之间修建轻轨道路和轻轨中间站，相邻两轻轨站之间的距离均为[x]公里. 经预算，修建一个轻轨中间站的费用为2000万元，修建[x]公里的轻轨道路费用为[(500x2+40x)]万元. 设余下工程的总费用为[y]万元.
（Ⅰ）试将[y]表示成[x]的函数；
（Ⅱ）需要修建多少个轻轨中间站才能使[y]最小？其最小值为多少万元？
分析 第（Ⅰ）问将余下的所有工程费用相加，即得函数解析式；第（Ⅱ）问求函数的最小值，根据函数解析式的结构特点，考虑用均值不等式法.
解 （Ⅰ）设需要修建[k]个轻轨中间站，
则[(k+1)x=26]，即[k=26x-1].
所以[y=2000k+(k+1)(500x2+40x)]
[=2000×(26x-1)+26x(500x2+40x)]
[=52000x+13000x-960].
已知[x]表示相邻两站之间的距离，则[0 故[y]与[x]的函数关系是
[y=52000x+13000x-960]（[0 （Ⅱ）[y=52000x+13000x-960]
[≥252000x×13000x-960][=51040]（万元），
当且仅当[52000x=13000x]，即[x=2]时取等号，
此时，[k=26x-1=262-1=12].
故需要修建12个轻轨中间站才能使[y]最小，其最小值为[51040]万元.
点拨 本题用[x]表示轻轨中间站个数[k]是一个易错点，即对应的等式是“[(k+1)x=26]”，而不是“[kx=26]”，可结合画图形理解. 在利用均值不等式求解函数最值时，三个对应的条件不能缺少，即①各项都是正数；②和（或积）是定值；③等号成立有解.
五、解析几何型问题
解析几何型应用题常以科学技术、经济建设等科学领域或生活领域为命题背景，着重探索数量关系和几何关系的联系和变化. 常见的题型与方法有：（1）与直线有关的应用题，主要是线形规划问题，解题关键是理解目标函数的意义和确定整数解；（2）与圆锥曲线有关的应用题，首先要选好坐标系，便于方程的简化，然后是将问题转化，如果是切线问题，可用几何性质或导数方法，如果是范围问题、面积问题问题，则转化为函数问题，运用函数法、均值不等式法或导数法.
例5 某人有楼房一幢，室内面积共计[180m2]，拟分隔成两类房间作为旅游客房. 大房间每间面积[18m2]，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积[15m2]，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元. 如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，问隔出大房间和小房间各多少间时，能获得最大效益？
分析 首先列出满足题设条件的不等式组，注意标明[x≥0,y≥0,x、y∈N]的条件，然后写出对应的目标函数.
解 设隔出大房间[x]间，小房间[y]间时，收益为[z]元，则[x]、[y]满足不等式组
[18x+15y≤180，1000x+600y≤8000，x≥0,y≥0,x、y∈N，]
且[z=200x+150y].
即[6x+5y≤60， ①5x+3y≤40， ②x≥0,y≥0,x、y∈N，]
可行域为如图所示的阴影（含边界）中的整点.
作直线[l:200x+150y=0]，即直线[l:4x+3y=0]，
把直线[l]向右上方平移至[l1]的位置时，直线经过可行域上的一点[A]，且与原点的距离最大，此时[z=200x+][150y]取最大值.
解方程组[6x+5y=60，5x+3y=40，]得到[A(207,607)].
由于点[A]的坐标不是整数，而最优解[(x,y)]中的[x]、[y]必须都是整数，所以可行域内的点[A(207,607)]不是最优解.
调整最优解:由[x、y∈N]知，[4x+3y≤37]. 令[4x+3y=37]，即[y=37-4x3]，带入约束条件①②，解得[52≤x≤3]. 由于[x∈N]，得[x=3]，但此时[y=-253∉N].
再次调整最优解：令[4x+3y=36]，即[y=36-4x3]，带入约束条件①②，解得[0≤x≤4]. 由于[x∈N]，当[x=0]时，[y=12]；当[x=1]时，[y=1023]；当[x=2]时，[y=913]；当[x=3]时，[y=8]；当[x=4]，[y=623]. 所以最优解为[(0,12)]和[(3,8)]. 这时[z]取最大值[1800]元.
于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益.
点拨 对于线性规划问题中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：①平移直线法：先在可行域内打网络，再描整点，平移直线[l]，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解. ②检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解. ③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解.
[【专题训练十】]
1. 某物体一天中的温度[T]是时间[t]的函数[T(t)=t3-3t+60]，时间单位是小时，温度单位是℃，当[t=0]表示中午12时，其后[t]值取为正，则上午8时的温度是（ ）
A. [8℃] B. [12℃] C. [16℃] D. [18℃]
2. 如图所示，有一个直角墙角，两边的长度足够长，在[P]处有一棵树与两墙的距离分别是[am]（[0 A B C D
3. 将进价为[80]元一个的商品按[90]元一个售出，能卖出[400]个. 已知这种商品每涨价[1]元，其销售量就减少[20]个，为了赚得最大利润，每个商品应定价为（ ）
A. [90]元 B. [95]元
C. [100]元 D. [105]元
4. 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价，有三种降价方案：甲方案是第一次打[a]折销售，第二次打[b]折销售；乙方案是第一次打[b]折销售，第二次打[a]折销售；丙方案是两次都打[a+b2]折销售，且[a≠b]，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙方案降价较多
B. 乙、丙方案降价较多
D. 甲、丙方案降价较多
D. 三种方案降价一样多
5. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费[y1]与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费[y2]与仓库到车站的距离成正比. 据推算，如果在距离车站[10]千米处建仓库，这两项费用[y1]、[y2]分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A. 5千米处 B. 4千米处
C. 3千米处 D. 2千米处
6. 有一种细菌和一种病毒，每个细胞在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个. 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）
A. 6秒钟 B. 7秒钟
C. 8秒钟 D. 9秒钟
7. 在“家电下乡”活动中，某厂要将[100]台洗衣机运往邻近的乡镇，现有[4]辆甲型货车和[8]辆乙型货车可供使用. 每辆甲型货车运输费用[400]元，可装洗衣机[20]台；每辆乙型货车运输费用[300]元，可装洗衣机[10]台. 若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A. [2000]元 B. [2200]元
C. [2400]元 D. [2800]元
8. 一束激光从点[A(-1,1)]发出，经过[x]轴上的挡板反射，到达位于以[C(2,3)]为圆心、[1]为半径的圆状物上被吸收，则该激光所经过的最短路程是（ ）
A. [4] B. [5]
C. [32-1] D. [26]
9. 如图，已知两座灯塔[A]和[B]与海洋观察站[C]的距离都等于[a][km]，灯塔[A]在观察站[C]的北偏东[20°]，灯塔[B]在观察站[C]的南偏东[40°]，则灯塔[A]与灯塔[B]的距离为（ ）
A. [a][km] B. [3a][km]
C. [2a][km] D. [2a][km]
10. 某工人要从一块圆心角为[45°]的扇形木版中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为[1][m]，则割出的长方形桌面的最大面积是（ ）
A. [3-22][m2] B. [3+22][m2]
C. [2+12][m2] D. [2-12][m2]
11. 已知某驾驶员喝了[m]升酒后，血液中酒精的含量[f(x)]（毫克/毫升）随时间[x](小时)变化的规律近似满足表达式[f(x)=5x-2,0≤x≤1,35⋅(13)x,x>1.]《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过[0.02]毫克/毫升. 则此驾驶员至少要过 小时后才能开车（精确到[1]小时）.
12. 电动自行车的耗电量[y]（度）与速度[x]（千米/时）之间的关系为[y=13x3-392x2-40x]（[x>0]），为使耗电量最小，则其速度应定为 .
13. 某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势. 现有三种函数模型：①[f(x)=pqx]；②[f(x)=logax+q]；③[f(x)=(x-1)(x-q)2+p]（其中[p]、[q]为正常数，且[q>2]），若能较准确反映数学成绩与考试次序的关系，则选 可作为模拟函数；若[f(1)=4]，[f(3)=6]，则所选函数[f(x)]的解析式为 .
14. 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是[y=x22]（[0≤y≤20]）. 在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径[r]的取值范围是 .
15. 一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的. 已知正四面体的顶点都在球面上，球的直径为[12cm]，则正四面体的棱长为 [cm]，球心到正四面体各面的距离为 [cm].
16. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房. 经测算，若将楼房建为[x]（[x≥10]）层，则每平方米的平均建筑费用为[560+48x]（单位：元）.
（Ⅰ）写出楼房平均综合费用[y]关于建造层数[x]的函数关系式；
（Ⅱ）该楼房建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=[购地总费用建筑总费用]）
17. 某企业自2011年1月1日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了四个月的跟踪监测，监测的数据如下表：
并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列.
（Ⅰ）如果不加以治理，求从2011年1月起，[m]个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？
（Ⅱ）为保护环境，当地政府和企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业停止排放污水后，再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米？
18. 某小区准备绿化一块直径为[BC]的半圆形空地（如图所示），规划在[△ABC]外的地方种草，[△ABC]的内接正方形[PQRS]为一水池，其余地方种花. 若[BC=a]，[∠ABC=θ]，[△ABC]的面积为[S1]，正方形[PQRS] 的面积为[S2]，将比值[S1S2]称为“规划合理度”.
（Ⅰ）使用[a]、[θ]表示[S1]和[S2]；
（Ⅱ）若[a]为定值，[θ]变化时，求“规划合理度”[S1S2]取得最小值时的[θ]值.
19. 因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中. 为了治污，根据环保部分的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂. 已知每投放[a]（[1≤a≤4]，且[a∈R]）个单位的药剂，它在水中释放的浓度[y]（克/升）随着时间[x]（天）变化的函数关系式近似为[y=a⋅f(x)]，其中[f(x)=168-x-1(0≤x≤4),5-12x(4 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和. 根据经验：当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能取到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放[a]个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求[a]的最小值（精确到[0.1]，参考数据：[2]取[1.4]）.
20. 以水渠的横断面积如图所示，它的横断面边界[AOB]是抛物线的一段，已知渠宽[AB]为[2m]，渠深[OC]为[1.5m]，水面[EF]距[AB]为[0.5m].
（Ⅰ）求水面[EF]的宽度；
（Ⅱ）如果把此水渠改造为横断面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？
21. 某电视生产厂家有[A]、[B]两种型号的电视机参加家电下乡活动，若厂家投放[A]、[B]两种型号电视机的价值分别为[p]、[q]万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为[110p]、[mln(q+1)]（[m>0]，且为常数）万元. 已知该厂家把总价值为10万元的[A]、[B]两种型号的电视机投放市场，且[A]、[B]两种型号的电视机投放金额都不低于1万元.（精确到[0.1]，参考数据：[ln4≈1.4]）
（Ⅰ）当[m=25]时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动时农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（Ⅱ）讨论农民得到的补贴随厂家投放[B]型号电视机金额的变化而变化的情况.
一、函数型问题
函数的应用，一方面是利用题设已知的函数解析式去解决实际问题，如“最优化”“最佳设计”等问题；另一方面是根据问题情景建立恰当的函数模型，并利用所得到的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测. 常见的题型与方法有：（1）二次函数题型用配方法；（2）分式函数题型用均值不等式法或函数单调性法；（3）根式函数题型、指数与对数函数题型用函数单调性法；（4）三次（或高次）函数题型用导数法.
例1 某旅游公司计划对某一景点改造升级，以提高旅游增加值. 经过市场调查，旅游增加值[y]万元与投入[x]万元之间满足：[y=5150x-ax2-lnx10]，[x2x-12∈t,+∞]，其中[t]为大于[12]的常数. 当[x=10]时，[y=9.2].
（Ⅰ）求[y=f(x)]的解析式和投入[x]的取值范围；
（Ⅱ）求旅游增加值[y]取得最大值时对应的[x]值.
分析 第（Ⅰ）问把[x=10]，[y=9.2]代入函数式，即可求出[a]的值，得到[y=f(x)]的解析式；第（Ⅱ）问求[f(x)]的最大值，需要先讨论[y=f(x)]的单调性，确定取得最大值的区间和对应的[x]值.
解 （Ⅰ）由[x=10]，[y=9.2]，求得[a=1100]，
则[f(x)=5150x-x2100-lnx10].
又由[x2x-12≥t]且[t>12]，求得[6
当[12t2t-1≥50]，即[t∈12,2544]时，投入[50]万元改造时取得最大增加值；当[6<12t2t-1<50]，即[t∈(2544,+∞)]时，投入[12t2t-1]万元改造时取得最大增加值.
点拨 本题的难点是求旅游增加值[y]取得最大值时对应的[x]值. 由第（Ⅰ）问可知[x]的取值范围是[6,12t2t-1]，因此需要从研究[f(x)]在这个区间上的单调性入手，找到变量[t]所在区间上[y]取得最大值时[x]的值.
二、三角函数型问题
三角函数的应用，主要是与角度有关的测量、航海、筑路、天文学和机械制造等，体现了三角函数在生产、生活领域的广泛应用. 而在问题的解决过程中，关键是以这些实际问题为背景，建立三角函数形式的模型. 常见的题型与方法有：（1）给出三角函数的图象或解析式研究最值，方法是利用三角公式变换，将函数转化成[y=Asin(ωx+φ)+k]的形式求解，应注意角的范围限制；（2）给出三角形中的边、角关系，求相应的边、角的大小，方法是运用正弦、余弦定理、面积公式求解.
例2 如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路[OC]，另一侧修建一条观光大道，它的前一段[OD]是以[O]为顶点，[x]轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段[DBC]是函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A>0],[ω>0],[|φ|<π2],[x∈4,8]）时的图象，图象的最高点为[B(5,833)]，[DF⊥OC]，垂足为[F].
（Ⅰ）求函数[y=Asin(ωx+φ)]的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园[PMFE]，问点[P]落在曲线[OD]上何处时，水上乐园的面积最大？
分析 第（Ⅰ）问求[y=Asin(ωx+φ)]的解析式，需要结合图象给出的相关数据，并利用三角函数的性质得到[A]、[ω]、[φ]；第（Ⅱ）问先得到抛物线的方程，再建立矩形面积的函数关系式，通过求对应函数的最值，得到点[P]的坐标.
解 （Ⅰ）对于函数[y=Asin(ωx+φ)]，由图象知
[A=833]，[ω=2πT=2π4(8-5)=π6]，
将[B(5,833)]代入[y=833sin(π6x+φ)]，
得[5π6+φ=][2kπ+π2]（[k∈Z]），
又[|φ|<π2]，所以[φ=-π3]，
故[y=833sin(π6x-π3)].
（Ⅱ）在[y=833sin(π6x-π3)]中，
令[x=4]，得[D(4,4)]，
由此得曲线[OD]的方程为[y2=4x]（[0≤x≤4]）.
设点[P(t24,t)]（[0≤t≤4]），则矩形[PMFE]的面积为[S=(4-t24)t]（[0≤t≤4]）.
[S=4-34t2]，由[S=0]，得[t=433]，
且当[t∈(0,433)]时，[S>0],[S]递增；
当[t∈(433,4)]时，[S<0]，[S]递减.
所以，当[t=433]时，[S]最大，
此时点[P]的坐标为[(43,433)].
点拨 本题是一道关联三角函数和函数的综合应用题，求出三角函数[y=Asin(ωx+φ)]的解析式是求解的关键，其中的难点是寻找[φ]的值，一般地，应从“五点作图法”去寻找对应点的关系式，并注意题设条件给出的[φ]的范围. 点[P]的坐标与矩形的面积最值形成关联，因此问题求解的本质还是对函数最值的理解，注意点参数法在表示面积关系式中的应用和导数在求函数最值中的应用.
三、数列型问题
数列是定义在正整数集上的函数，因而有关年份、月份、次数等与自然数相关的应用问题均属于数列型应用题的范畴. 解答这类问题，一般是从建立数列模型入手，然后依据数列、函数和不等式知识求解. 常见的题型与方法有：（1）增长率问题属于等比数列题型，用等比数列的公式和性质求解；（2）[an]与[Sn]的混合题型，通过[an=Sn-Sn-1]（[n≥2]，[n∈N∗]）寻找通项公式或求和公式求解.
例3 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款[1.1]升排量的[Q]型车、[R]型车的销量引起市场的关注. 已知2010年1月[Q]型车的销量为[a]辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内[Q]型车每月的售量都将以[1%]的比例增长，而[R]型车前[n]个月的销售总量[Tn]大致满足关系式：[Tn=228a(1.012n-1)]（[n≤24]，[n∈N∗]）.
（Ⅰ）求[Q]型车前[n]个月的销售总量[Sn]的表达式；
（Ⅱ）比较两款车前[n]个月的销售总量[Sn]与[Tn]的大小关系；
（Ⅲ）从第几个月开始，[Q]型车的月销售量小于[R]型车月销售量的[20%]？说明理由.
（参考数据：[54.5828≈1.09]，[lg1.09lg1.01≈8.66]）
分析 第（Ⅰ）问[Q]型车每月的售量成等比数列可得销售总量[Sn]的表达式；第（Ⅱ）问比较大小，用作差法是最基本的方法；第（Ⅲ）问利用“[Q]型车的月销售量小于[R]型车月销售量的[20%]，建立不等式求解.
解 （Ⅰ）[Q]型车各月的销售量构成以首项[a1=a]，公比[q=1+1%=1.01]的等比数列[an].
前[n]个月的销售总量
[Sn=a(1.01n-1)1.01-1=100a(1.01n-1)][(n≤24,][n∈N∗).]
（Ⅱ）[Sn-Tn=100a(1.01n-1)-228a(1.012n-1)]
[=100a(1.01n-1)-228a(1.01n-1)(1.01n+1)]
[=-228a(1.01n-1)⋅(1.01n+3257)].
又[1.01n-1>0]，[1.01n+3257>0]，
所以[Sn-Tn<0]，即[Sn
当[n≥2]时，
[bn=Tn-Tn-1=228a(1.012n-1)-228a(1.012n-2-1)]
[=228a×(1.012-1)×1.012n-2]=[4.5828a1.012n-2]，
[b1=4.5828a]，显然[20%×b1
则[a×1.01n-1<15×4.5828a×1.012n-2]，
[1.012(n-1)>54.5828×1.01n-1]，
[1.01n-1>54.5828≈1.09]，
[n-1>lg1.09lg1.01≈8.66]，所以[n≥10].
即从第10个月开始，[Q]型车月销售量小于[R]型车月销售量的[20%].
点拨 数列应用题的求解，主要是将问题转化成等差、等比数列的通项公式或求和公式进行计算，比较大小. 第（Ⅲ）问已知数列[bn]的前[n]项和[Tn]，求其通项[bn]时，容易忽视对[n=1]和[n≥2]的分类讨论，对于数学应用问题的求解，我们更应该注意解题细节.
四、不等式型问题
实际问题中的“优选”“控制”等优化问题，常需要建立“不等式模型”求解，即从建立函数关系着手，通过对所求结论的大小比较、所得方案的优劣判断得出最优方案. 常见的题型与方法有：（1）比较大小型可用作差法、作商法或放缩法；（2）函数最值型用求函数最值的基本方法（如用均值不等式等）.
例4 设计一条长为26公里的轻轨交通线，该轻轨交通路线的起点站和终点站已建好，余下的工程只需要再该段线路的起点站和终点站之间修建轻轨道路和轻轨中间站，相邻两轻轨站之间的距离均为[x]公里. 经预算，修建一个轻轨中间站的费用为2000万元，修建[x]公里的轻轨道路费用为[(500x2+40x)]万元. 设余下工程的总费用为[y]万元.
（Ⅰ）试将[y]表示成[x]的函数；
（Ⅱ）需要修建多少个轻轨中间站才能使[y]最小？其最小值为多少万元？
分析 第（Ⅰ）问将余下的所有工程费用相加，即得函数解析式；第（Ⅱ）问求函数的最小值，根据函数解析式的结构特点，考虑用均值不等式法.
解 （Ⅰ）设需要修建[k]个轻轨中间站，
则[(k+1)x=26]，即[k=26x-1].
所以[y=2000k+(k+1)(500x2+40x)]
[=2000×(26x-1)+26x(500x2+40x)]
[=52000x+13000x-960].
已知[x]表示相邻两站之间的距离，则[0
[y=52000x+13000x-960]（[0
[≥252000x×13000x-960][=51040]（万元），
当且仅当[52000x=13000x]，即[x=2]时取等号，
此时，[k=26x-1=262-1=12].
故需要修建12个轻轨中间站才能使[y]最小，其最小值为[51040]万元.
点拨 本题用[x]表示轻轨中间站个数[k]是一个易错点，即对应的等式是“[(k+1)x=26]”，而不是“[kx=26]”，可结合画图形理解. 在利用均值不等式求解函数最值时，三个对应的条件不能缺少，即①各项都是正数；②和（或积）是定值；③等号成立有解.
五、解析几何型问题
解析几何型应用题常以科学技术、经济建设等科学领域或生活领域为命题背景，着重探索数量关系和几何关系的联系和变化. 常见的题型与方法有：（1）与直线有关的应用题，主要是线形规划问题，解题关键是理解目标函数的意义和确定整数解；（2）与圆锥曲线有关的应用题，首先要选好坐标系，便于方程的简化，然后是将问题转化，如果是切线问题，可用几何性质或导数方法，如果是范围问题、面积问题问题，则转化为函数问题，运用函数法、均值不等式法或导数法.
例5 某人有楼房一幢，室内面积共计[180m2]，拟分隔成两类房间作为旅游客房. 大房间每间面积[18m2]，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积[15m2]，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元. 如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，问隔出大房间和小房间各多少间时，能获得最大效益？
分析 首先列出满足题设条件的不等式组，注意标明[x≥0,y≥0,x、y∈N]的条件，然后写出对应的目标函数.
解 设隔出大房间[x]间，小房间[y]间时，收益为[z]元，则[x]、[y]满足不等式组
[18x+15y≤180，1000x+600y≤8000，x≥0,y≥0,x、y∈N，]
且[z=200x+150y].
即[6x+5y≤60， ①5x+3y≤40， ②x≥0,y≥0,x、y∈N，]
可行域为如图所示的阴影（含边界）中的整点.
作直线[l:200x+150y=0]，即直线[l:4x+3y=0]，
把直线[l]向右上方平移至[l1]的位置时，直线经过可行域上的一点[A]，且与原点的距离最大，此时[z=200x+][150y]取最大值.
解方程组[6x+5y=60，5x+3y=40，]得到[A(207,607)].
由于点[A]的坐标不是整数，而最优解[(x,y)]中的[x]、[y]必须都是整数，所以可行域内的点[A(207,607)]不是最优解.
调整最优解:由[x、y∈N]知，[4x+3y≤37]. 令[4x+3y=37]，即[y=37-4x3]，带入约束条件①②，解得[52≤x≤3]. 由于[x∈N]，得[x=3]，但此时[y=-253∉N].
再次调整最优解：令[4x+3y=36]，即[y=36-4x3]，带入约束条件①②，解得[0≤x≤4]. 由于[x∈N]，当[x=0]时，[y=12]；当[x=1]时，[y=1023]；当[x=2]时，[y=913]；当[x=3]时，[y=8]；当[x=4]，[y=623]. 所以最优解为[(0,12)]和[(3,8)]. 这时[z]取最大值[1800]元.
于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益.
点拨 对于线性规划问题中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：①平移直线法：先在可行域内打网络，再描整点，平移直线[l]，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解. ②检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解. ③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解.
1. 某物体一天中的温度[T]是时间[t]的函数[T(t)=t3-3t+60]，时间单位是小时，温度单位是℃，当[t=0]表示中午12时，其后[t]值取为正，则上午8时的温度是（ ）
A. [8℃] B. [12℃] C. [16℃] D. [18℃]
2. 如图所示，有一个直角墙角，两边的长度足够长，在[P]处有一棵树与两墙的距离分别是[am]（[0
3. 将进价为[80]元一个的商品按[90]元一个售出，能卖出[400]个. 已知这种商品每涨价[1]元，其销售量就减少[20]个，为了赚得最大利润，每个商品应定价为（ ）
A. [90]元 B. [95]元
C. [100]元 D. [105]元
4. 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价，有三种降价方案：甲方案是第一次打[a]折销售，第二次打[b]折销售；乙方案是第一次打[b]折销售，第二次打[a]折销售；丙方案是两次都打[a+b2]折销售，且[a≠b]，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙方案降价较多
B. 乙、丙方案降价较多
D. 甲、丙方案降价较多
D. 三种方案降价一样多
5. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费[y1]与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费[y2]与仓库到车站的距离成正比. 据推算，如果在距离车站[10]千米处建仓库，这两项费用[y1]、[y2]分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A. 5千米处 B. 4千米处
C. 3千米处 D. 2千米处
6. 有一种细菌和一种病毒，每个细胞在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个. 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）
A. 6秒钟 B. 7秒钟
C. 8秒钟 D. 9秒钟
7. 在“家电下乡”活动中，某厂要将[100]台洗衣机运往邻近的乡镇，现有[4]辆甲型货车和[8]辆乙型货车可供使用. 每辆甲型货车运输费用[400]元，可装洗衣机[20]台；每辆乙型货车运输费用[300]元，可装洗衣机[10]台. 若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A. [2000]元 B. [2200]元
C. [2400]元 D. [2800]元
8. 一束激光从点[A(-1,1)]发出，经过[x]轴上的挡板反射，到达位于以[C(2,3)]为圆心、[1]为半径的圆状物上被吸收，则该激光所经过的最短路程是（ ）
A. [4] B. [5]
C. [32-1] D. [26]
9. 如图，已知两座灯塔[A]和[B]与海洋观察站[C]的距离都等于[a][km]，灯塔[A]在观察站[C]的北偏东[20°]，灯塔[B]在观察站[C]的南偏东[40°]，则灯塔[A]与灯塔[B]的距离为（ ）
A. [a][km] B. [3a][km]
C. [2a][km] D. [2a][km]
10. 某工人要从一块圆心角为[45°]的扇形木版中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为[1][m]，则割出的长方形桌面的最大面积是（ ）
A. [3-22][m2] B. [3+22][m2]
C. [2+12][m2] D. [2-12][m2]
11. 已知某驾驶员喝了[m]升酒后，血液中酒精的含量[f(x)]（毫克/毫升）随时间[x](小时)变化的规律近似满足表达式[f(x)=5x-2,0≤x≤1,35⋅(13)x,x>1.]《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过[0.02]毫克/毫升. 则此驾驶员至少要过 小时后才能开车（精确到[1]小时）.
12. 电动自行车的耗电量[y]（度）与速度[x]（千米/时）之间的关系为[y=13x3-392x2-40x]（[x>0]），为使耗电量最小，则其速度应定为 .
13. 某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势. 现有三种函数模型：①[f(x)=pqx]；②[f(x)=logax+q]；③[f(x)=(x-1)(x-q)2+p]（其中[p]、[q]为正常数，且[q>2]），若能较准确反映数学成绩与考试次序的关系，则选 可作为模拟函数；若[f(1)=4]，[f(3)=6]，则所选函数[f(x)]的解析式为 .
14. 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是[y=x22]（[0≤y≤20]）. 在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径[r]的取值范围是 .
15. 一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的. 已知正四面体的顶点都在球面上，球的直径为[12cm]，则正四面体的棱长为 [cm]，球心到正四面体各面的距离为 [cm].
16. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房. 经测算，若将楼房建为[x]（[x≥10]）层，则每平方米的平均建筑费用为[560+48x]（单位：元）.
（Ⅰ）写出楼房平均综合费用[y]关于建造层数[x]的函数关系式；
（Ⅱ）该楼房建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=[购地总费用建筑总费用]）
17. 某企业自2011年1月1日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了四个月的跟踪监测，监测的数据如下表：
并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列.
（Ⅰ）如果不加以治理，求从2011年1月起，[m]个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？
（Ⅱ）为保护环境，当地政府和企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业停止排放污水后，再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米？
18. 某小区准备绿化一块直径为[BC]的半圆形空地（如图所示），规划在[△ABC]外的地方种草，[△ABC]的内接正方形[PQRS]为一水池，其余地方种花. 若[BC=a]，[∠ABC=θ]，[△ABC]的面积为[S1]，正方形[PQRS] 的面积为[S2]，将比值[S1S2]称为“规划合理度”.
（Ⅰ）使用[a]、[θ]表示[S1]和[S2]；
（Ⅱ）若[a]为定值，[θ]变化时，求“规划合理度”[S1S2]取得最小值时的[θ]值.
19. 因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中. 为了治污，根据环保部分的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂. 已知每投放[a]（[1≤a≤4]，且[a∈R]）个单位的药剂，它在水中释放的浓度[y]（克/升）随着时间[x]（天）变化的函数关系式近似为[y=a⋅f(x)]，其中[f(x)=168-x-1(0≤x≤4),5-12x(4
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放[a]个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求[a]的最小值（精确到[0.1]，参考数据：[2]取[1.4]）.
20. 以水渠的横断面积如图所示，它的横断面边界[AOB]是抛物线的一段，已知渠宽[AB]为[2m]，渠深[OC]为[1.5m]，水面[EF]距[AB]为[0.5m].
（Ⅰ）求水面[EF]的宽度；
（Ⅱ）如果把此水渠改造为横断面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？
21. 某电视生产厂家有[A]、[B]两种型号的电视机参加家电下乡活动，若厂家投放[A]、[B]两种型号电视机的价值分别为[p]、[q]万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为[110p]、[mln(q+1)]（[m>0]，且为常数）万元. 已知该厂家把总价值为10万元的[A]、[B]两种型号的电视机投放市场，且[A]、[B]两种型号的电视机投放金额都不低于1万元.（精确到[0.1]，参考数据：[ln4≈1.4]）
（Ⅰ）当[m=25]时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动时农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（Ⅱ）讨论农民得到的补贴随厂家投放[B]型号电视机金额的变化而变化的情况.