在数学学习中经常会涉及一些命题的恒成立问题.常见的类型有：不等式的恒成立问题、方程的恒有解问题等.不同的问题，有不同的处理方法，不同的处理方法也使问题的难易程度大相径庭，想知道这其中的奥秘吗？请看下文：
　　一、不等式的恒成立问题
　　1.判别式法
　　一元二次不等式是高中的重点知识，一元二次不等式的恒成立问题更是屡见不鲜.解决一元二次不等式的恒成立问题最常用的方法就是判别式法.
　　例1 若不等式3x2+ax+1>0恒成立，则a的取值范围是？
　　解析 3x2+ax+1>0恒成立，可看作二次函数f(x)=3x2+ax+1与x轴无交点，∴Δ<0，即a2-12<0，∴-23<a<23.
　　由例1可见，判别式法其实就是利用一元二次不等式解集为全体实数的条件来判断参数所满足的范围.那下面这道题还能用判别式法来做吗？
　　例2 已知不等式x2+(a-3)x+2>0，当x∈［1,2］时恒成立，求a的取值范围.
　　分析 乍一看，例2与例1如出一辙，那也让它的Δ<0，求a的范围行吗？显然不可以，因为例2中的不等式恒成立，并不是在全体实数范围内，它只要求在x∈［1,2］时恒成立，如果也让Δ<0，就会扩大约束条件，从而导致参数范围变小.那怎么办呢？我们可考虑最值法.
　　2.最值法
　　最值法就是把恒成立问题转化成求最值问题.如:f(x)>a恒成立，只需f(x)的最小值大于a即可.f(x)　　（1）直接求最值法
　　例3 若|x-3|+|x+5|>a2-2a+5恒成立，求a的取值范围.
　　解析 由最值法知，不等式|x-3|+|x+5|>a2-2a+5恒成立，只需a2-2a+5　　∵|x-3|+|x+5|≥|(x-3)-(x+5)|=8，
　　∴a2-2a+5<8即可，∴-1　　下面我们来看前面提到的例2.
　　显然不等式x2+(a-3)x+2>0，当x∈［1,2］时恒成立，只需f(x)=x2+(a-3)x+2，x∈［1,2］的最小值大于0即可.
　　∵f(x)开口向上，
　　∴只需1≤-a-32≤2，f-a-32>0或-a-32<1，f(1)>0或-a-32>2，f(2)>0.
　　∴a>3-22.
　　思考 最值法虽能解决例2的问题，但与例3比较，难度大，计算量更大.原因在哪呢？原因是取最值的点不好确定.因为它要受到参数的影响.那我们能不能避免这一问题呢？当然可以！这就是分离参数求最值法.
　　（2）分离参数求最值
　　下面我们重新来解一下例2.
　　解 x2+(a-3)x+2>0，当x∈［1,2］时恒成立，
　　即ax>3x-x2-2，当x∈［1,2］时恒成立，
　　即a>3x-x2-2x，当x∈［1,2］时恒成立，
　　∴只需a大于f(x)=3x-x2-2x，x∈［1,2］的最大值即可.
　　又 f(x)=3x-x2-2x=3-x+2x≤3-22，
　　当且仅当x=2时等号成立，
　　∴a>3-22.
　　小结 最值法是解决不等式恒成立问题的有力工具，如直接求最值不好求时，而参数易分离时，可先分离参数再求最值.
　　3.参变互换法
　　例4 若x2+(m+3)x+3≥0，当m∈［1,3］时恒成立，求x的范围.
　　分析 这一题目是参数在一定条件下，而去求变量的范围，使之恒成立的问题.像这样的问题，一般考虑参变互换，即把m当作变量，而把x当作参数来求.
　　解 ∵x2+(m+3)x+3≥0，当m∈［1,3］时恒成立，
　　∴xm+x2+3x+3≥0，当m∈［1,3］时恒成立即可.
　　令f(m)=xm+x2+3x+3，
　　∴只需f(m)≥0，当m∈［1,3］时恒成立即可.
　　f(m)可看作关于m的一次函数，
　　∴只需f(1)≥0,f(3)≥0即可.
　　∴m≤-3-6或m≥-3+6.
　　4.数形结合法
　　例5 若x2　　图 1
　　分析 此题不同于前面各题，既不是二次不等式问题，也不能简单的去求最值.但仔细观察我们会发现不等式左右两边均可看作一个函数，显然x2　　图 2
　　解 根据分析可知：当x∈0,12时，函数f(x)=x2的图像只要落在函数g(x)=logax的下方即可.如图1，显然a>1时，不可能.∴a<1，如图2，故当x∈0,12时，函数f(x)=x2落在函数g(x)=logax的下方恒成立只需loga12≥122即可.
　　∴116≤a<1.
　　二、方程的恒有解问题
　　1.直接利用判别式
　　例6 若方程x2+(1-3a)x+a=0有解，则a的取值范围是？
　　分析 一元二次方程恒有解,显然只需Δ≥恒成立即可.
　　解 ∵Δ=(1-3a)2-4a=9a2-10a+1≥0，
　　∴a≥1或a≤19.
　　从上例可见，判别式法是解决一元二次方程恒有解问题的强有力工具.但这一方法有很大的局限性，它对于一元二次方程在全体实数范围内的有解问题比较方便，但对于一些有约束条件的有解问题就显得比较麻烦了.请看下例：
　　2.利用一元二次方程根的分布
　　例7 若方程2a•9sinx+4a•3sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是？
　　分析 由于9sinx=(3sinx)2，∴令3sinx=m，则方程2a•9sinx+4a•3sinx+a-8=0有解，即方程2am2+4am+a-8=0，当m∈13，3时有解.显然此时只要求Δ≥0就不够了.（想一想，为什么？）那怎么办呢？我们可结合一元二次方程根的分布来分析.
　　解 令3sinx=m，则方程2a•9sinx+4a•3sinx+a-8=0有解，即方程2am2+4am+a-8=0，当m∈13，3时有解.
　　令f(m)=2am2+3am+a-8.
　　∵f(m)的对称轴为m=-113，3，
　　∴该方程在13，3上最多有一个解，
　　∴若方程2am2+4am+a-8=0，当m∈13，3时有解只需f13•f(3)≤0即可.
　　∴831≤a≤7223.
　　3.有解问题转化为求值域
　　在例7的分析过程中有心的读者可能发现，f(m)=2am2+4am+a-8这个函数的对称轴固定，因此我们在利用根的分布来处理该方程的有解问题时，变得简单易行.可如果对称轴不确定，就必然需要讨论，为解题带来麻烦.如下例：
　　例8 若方程a•9sinx+(a-2)3sinx+a-1=0有解，则a的取值范围是？
　　解 令3sinx=m，则方程a•9sinx+(a-2)3sinx+a-2=0有解，即方程am2+(a-2)m+a-2=0，当m∈13，3时有解.
　　am2+(a-2)m+a-2=0可变形为a=2m+2m2+m+1（记作*式）.
　　显然，*式可看作关于m的一个函数.由值域的定义可知，方程am2+(a-2)m+a-2=0，当m∈13，3时有解，a的范围即函数f(m)=2m+2m2+m+1的值域.易得，a∈813，2613.
　　4.数形结合
　　例9 若方程2x-x2=k(x-2)+2恒有两个解，求k的范围.
　　分析 此方程虽然平方能够化成一元二次方程的形式，但平方易产生增根，并且含参一元二次方程需要讨论等问题都给解题带来麻烦.因此我们可把方程两边分别看作两个曲线，把方程的有解问题转化成两曲线的存在交点的问题，利用数形结合的办法予以解决.
　　图 3
　　解 令y=2x-x2(0≤x≤2)其图形是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分.令y=k(x-2)+2表示过定点P(2,2)、斜率为k的直线.在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察如图，符合要求的直线l介于直线l1，l2之间（包括l2，不包括l1），其中l1与半圆相切，l2过原点.通过计算容易求得l2的斜率为1，l1的斜率为34.所以34　　例10 若方程x3-3x-a=0恒有三个解，则a的取值范围为.
　　图 4
　　分析 仿上例方程x3-3x-a=0可看作函数f(x)=x3-3x与y=a有3个交点，函数f(x)=x3-3x的导数为f′(x)=3x2-3.令f′(x)≥0，解得x≥1或x≤-1.令f′(x)≤0，解得-1≤x≤1.则函数f(x)在(1,+∞)和(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.由此画出f(x)的草图（如图4）.
　　由图形看出-2　　温馨提示 方法永远没有万能的.我们能不能找到最合适的方法，关键是在日常的学习中能否不断地总结，发现探索题目背后的规律.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文