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【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程基本理念”中强调，教师的教学要引导学生独立思考、主动探索、合作交流，是学生理解和掌握的基本知识与技能.教学中只有让学生真正参与探究的过程，才能更好地体会数学思想方法，获得数学活动经验.在课堂教学中，如何让学生真正地参与到探究式的教学中来体现学生是课堂的主体，这需要教师课堂上精心设计教学环节也问题引导.本文将结合苏科版八上活动课程中的“勾股数的探索”这节案例来谈谈看法，与同行进行探讨，希望能有所得.
【关键词】探究教学；勾股数；案例
一、教学内容与学情分析
本节课主要是对勾股数进行探索，了解勾股数的规律，经历观察、发现、验证勾股数的一组或几组计算公式的探究的过程，注重让学生积极主动参与新知的探索，切身体会知识的发生过程，提高自身数学教学素养.通过探究学习的过程，学生能够体会到分类、类比思想，初步感受科学思维的价值.
对于初二的学生，具体形象思维开始逐步向抽象逻辑思维过渡，探究问题时，能够进行一些思维的探索，在本次活动课之前学生已经学习了勾股定理，对勾股数有了大致的了解，对其规律还没有进行过探究，所以这节课可以说是学生对勾股定理知识体系的完善，对探究式学习的一次较深入的锻炼.
二、案例过程片段呈现与分析
片段一考古学家在考古的时候发现了一块石碑（如图），经过潜心研究临摹发现碑文上实际上是一张部分数据缺损表格.大家看看表格中的数有什么特征？
生：这些数都是勾股数，要想找出缺损的数据，应先研究勾股数的规律.
师：很好！这位同学很快地看出了这些数据的特征.大家接下来想研究什么内容呢？
片断分析开放的情境，立马调动学生的积极性，让学生了解这节课要学习的相关知识点，并会对缺损数据自然留下了一点探索的想法.创设“情境”，调动学生的参与热情的热身.好的“情境”，可以激发学生的参与热情，为调动学生积极参与探究问题埋下了伏笔，笔者在一次赛课时上这节课而言，这样的问题情境设计，很快就吸引了学生的注意力，达到了比较好的效果.数学教学应当需要给学生创设有利于学生再发现、再创造的情境，去激发学生的探究、创造热情.该情境之后，很自然引入下面的环节：
片断二师：什么是勾股数？你能写出哪些勾股数？
生1：3，4，5；6，8，10；9，12，15；5，12，13.
生2：8，15，17；10，24，26；12，16，20.
师：（板书上面的数组）很好，大家还能写出更多的勾股数吗？
生3：可以，我可以由一组勾股数得到很多组的勾股数.
师：很棒！那你是如何做到的呢？能与大家一起来分享吗？
生3：由3，4，5这组可以再找出：6，8，10；9，12，15；12，16，20等等，就是把3，4，5放大了n（n是正整数）倍以后，仍然是勾股数.
师：很好，非常好的寻找勾股数的方法，也就是说你发现了找勾股数的一组规律.总结成结论呢？
生3：（老师板书）当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数.
就在此时，部分思维积极严谨的学生开始有怀疑了：
生4：你怎么知道当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数？
师：不错哦，这个问题问得非常有水准.生3的发现的规律是否正确，应该要给予理论的证明吧？有哪位同学愿意帮助解决吗？
生5：（证明过程书写略）利用到了整式的性质.
师：一些勾股数之间还有没有其他的规律？你能观察这些写的勾股數并探究其中的规律吗？你会用什么方法来研究呢？
生6：分类谈论.
师：很好，可以小组合作进行研究规律.
片断分析精抛锚，创设探索空间.这个环节，让学生自己积极主动地去写勾股数，给了学生参与活动的空间，同时学生写的勾股数越写越难，想绞尽脑汁的去构造.在巡视完学生写的结果后，展示大家写的结果，又可以自然抛出下一个探究性问题：大家发现越往后越难写出勾股数，勾股数有没有什么规律？你想怎么研究这些写出的勾股数？后面自主研究与小组合作探究相结合这种开放式的探究，给学生充分的探究空间，通过小组的观察讨论，擦出思维的火花，大部分同学在观察数据后，都积极寻找探索方法，经过谈论，会从分类谈论入手，找到规律以后小组很兴奋，会积极地总结自己的发现，并将自己发现的规律用公式表示出来.在这个过程中，老师只是偶尔去指导一下，主要活动操作，都是由学生自己完成，充分让学生参与进了探索的过程.
片断三师：分类研究的分类标准是什么呢？
生：设（a，b，c）为一组勾股数，其中a是这组数中最小的，可以分a是奇数和偶数的情况对上面写出的一些勾股数进行研究.
该片断主要是想让学生理清楚思路，同时也让学生体会到了分类、类比思想在解决问题中的应用.经过学生自主探究与小组合作讨论以后，得到了勾股数多彩的规律计算公式，老师只是将学生得到的另两类公式进行展示：
小组1：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n（n是大于等于2的正整数）时，a=2n，b=n2-1，c=n2 1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.
小组2：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n 1（n>1的正整数）时，a=2n 1，b=2n（n 1），c=2n（n 1） 1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.
师：其他小组可以对这两组的发现规律进行理论证明吗？
片断分析在以上的探索过程中，学生充分体现课堂主体的地位，获得到了自主探究与合作交流带来的成功喜悦.同时也体会到了分类思想在研究问题中的运用.活动性课程比较注重学生的参与性与探究性，在教学中，老师应该要放手、留时间让学生去探索，真正实现学生自主探索与小组合作的价值，让学生体验到自主获得知识喜悦.老师只是对学生的探究适时进行指导与启发. 片断四（拓展部分）师：现在你能帮助考古学家将表格中前三组缺损的数据补齐吗？
生1：可以9，12，15；11，60，61；45，60，75.
生2：含9的勾股数还可以是：9，40，41.
师：很好，通过这两位同学的答案，大家有没有什么新的发现？
生：有，含9的勾股数有多组，不知道还有没有其他的含有9的股股数了？
师：这位同学总结得特别好，还提出了一个非常有价值的好问题.大家以小组的形式进行探究含有9的勾股数组，谈谈你的研究方法是什么.
片斷分析这一教学环节的设计不仅是对勾股数探索出来的规律加以运用，实际上是给了学生再次创造了探索的空间，学生在填表的时候发现：（9，12，15）是一组含9的勾股数；（9，40，41）是一组含9的勾股数，到了这里，学生发现含9的勾股数不唯一，借此，教师在精心抛出一问：含9的勾股数有几组？你会怎么去探究？
这时学生又有了一个新的探索热情，对于这样多种可能的问题该如何去研究、怎么去找突破口呢？需要学生自主探究与小组合作相结合.老师只需进行适当启发，学生主体的探索精神在本节课中得到充分的培养与体现.
三、反思
本节活动课达到了比较好的课堂效果，有效完成预先设计目标，究其原因跟学生的好问与强烈的学习兴趣有很大的关系.本节课，笔者的收获很多，要想学生真正参与到探究式的学习过程中，教师一定要精心设计教学的各个环节.首先，要创设好问题情境，激发学生的参与热性，同时创设的问题情境要有一定的探究价值；其次，在将教学过程中教师抛出的问题要有指引性，问题要精练，不能为了探究而探究，探究的活动目的性要明确；此外，教师还要设计好各种桥梁，铺设探究性的通道，探究的起点不能过高也不能过低，在学生最需要的时候教师应给予恰当的指导与帮助，能否铺平探究性通道是能否真正锻炼学生的探究性学习的关键.最后，教学中学生的疑问是教学的重要部分，是对知识的理解的升华，课堂中应该多重视学生的学，包括学的方法和学习中的疑难点.
在探究教学中，学生学习的主动性、参与性是非常重要的，只有真正让学生经历探究过程，才能让学生更好地掌握知识技能，积累基本方法和基本活动经验，加强学生的探究意识；才能让学生更好地用数学的思维和方法思考问题、解决问题，并在探究、体验的过程中获得学习能力，建立自信，尤其是培养科学的探究能力、创新意识和实践能力.
【关键词】探究教学；勾股数；案例
一、教学内容与学情分析
本节课主要是对勾股数进行探索，了解勾股数的规律，经历观察、发现、验证勾股数的一组或几组计算公式的探究的过程，注重让学生积极主动参与新知的探索，切身体会知识的发生过程，提高自身数学教学素养.通过探究学习的过程，学生能够体会到分类、类比思想，初步感受科学思维的价值.
对于初二的学生，具体形象思维开始逐步向抽象逻辑思维过渡，探究问题时，能够进行一些思维的探索，在本次活动课之前学生已经学习了勾股定理，对勾股数有了大致的了解，对其规律还没有进行过探究，所以这节课可以说是学生对勾股定理知识体系的完善，对探究式学习的一次较深入的锻炼.
二、案例过程片段呈现与分析
片段一考古学家在考古的时候发现了一块石碑（如图），经过潜心研究临摹发现碑文上实际上是一张部分数据缺损表格.大家看看表格中的数有什么特征？
生：这些数都是勾股数，要想找出缺损的数据，应先研究勾股数的规律.
师：很好！这位同学很快地看出了这些数据的特征.大家接下来想研究什么内容呢？
片断分析开放的情境，立马调动学生的积极性，让学生了解这节课要学习的相关知识点，并会对缺损数据自然留下了一点探索的想法.创设“情境”，调动学生的参与热情的热身.好的“情境”，可以激发学生的参与热情，为调动学生积极参与探究问题埋下了伏笔，笔者在一次赛课时上这节课而言，这样的问题情境设计，很快就吸引了学生的注意力，达到了比较好的效果.数学教学应当需要给学生创设有利于学生再发现、再创造的情境，去激发学生的探究、创造热情.该情境之后，很自然引入下面的环节：
片断二师：什么是勾股数？你能写出哪些勾股数？
生1：3，4，5；6，8，10；9，12，15；5，12，13.
生2：8，15，17；10，24，26；12，16，20.
师：（板书上面的数组）很好，大家还能写出更多的勾股数吗？
生3：可以，我可以由一组勾股数得到很多组的勾股数.
师：很棒！那你是如何做到的呢？能与大家一起来分享吗？
生3：由3，4，5这组可以再找出：6，8，10；9，12，15；12，16，20等等，就是把3，4，5放大了n（n是正整数）倍以后，仍然是勾股数.
师：很好，非常好的寻找勾股数的方法，也就是说你发现了找勾股数的一组规律.总结成结论呢？
生3：（老师板书）当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数.
就在此时，部分思维积极严谨的学生开始有怀疑了：
生4：你怎么知道当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数？
师：不错哦，这个问题问得非常有水准.生3的发现的规律是否正确，应该要给予理论的证明吧？有哪位同学愿意帮助解决吗？
生5：（证明过程书写略）利用到了整式的性质.
师：一些勾股数之间还有没有其他的规律？你能观察这些写的勾股數并探究其中的规律吗？你会用什么方法来研究呢？
生6：分类谈论.
师：很好，可以小组合作进行研究规律.
片断分析精抛锚，创设探索空间.这个环节，让学生自己积极主动地去写勾股数，给了学生参与活动的空间，同时学生写的勾股数越写越难，想绞尽脑汁的去构造.在巡视完学生写的结果后，展示大家写的结果，又可以自然抛出下一个探究性问题：大家发现越往后越难写出勾股数，勾股数有没有什么规律？你想怎么研究这些写出的勾股数？后面自主研究与小组合作探究相结合这种开放式的探究，给学生充分的探究空间，通过小组的观察讨论，擦出思维的火花，大部分同学在观察数据后，都积极寻找探索方法，经过谈论，会从分类谈论入手，找到规律以后小组很兴奋，会积极地总结自己的发现，并将自己发现的规律用公式表示出来.在这个过程中，老师只是偶尔去指导一下，主要活动操作，都是由学生自己完成，充分让学生参与进了探索的过程.
片断三师：分类研究的分类标准是什么呢？
生：设（a，b，c）为一组勾股数，其中a是这组数中最小的，可以分a是奇数和偶数的情况对上面写出的一些勾股数进行研究.
该片断主要是想让学生理清楚思路，同时也让学生体会到了分类、类比思想在解决问题中的应用.经过学生自主探究与小组合作讨论以后，得到了勾股数多彩的规律计算公式，老师只是将学生得到的另两类公式进行展示：
小组1：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n（n是大于等于2的正整数）时，a=2n，b=n2-1，c=n2 1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.
小组2：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n 1（n>1的正整数）时，a=2n 1，b=2n（n 1），c=2n（n 1） 1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.
师：其他小组可以对这两组的发现规律进行理论证明吗？
片断分析在以上的探索过程中，学生充分体现课堂主体的地位，获得到了自主探究与合作交流带来的成功喜悦.同时也体会到了分类思想在研究问题中的运用.活动性课程比较注重学生的参与性与探究性，在教学中，老师应该要放手、留时间让学生去探索，真正实现学生自主探索与小组合作的价值，让学生体验到自主获得知识喜悦.老师只是对学生的探究适时进行指导与启发. 片断四（拓展部分）师：现在你能帮助考古学家将表格中前三组缺损的数据补齐吗？
生1：可以9，12，15；11，60，61；45，60，75.
生2：含9的勾股数还可以是：9，40，41.
师：很好，通过这两位同学的答案，大家有没有什么新的发现？
生：有，含9的勾股数有多组，不知道还有没有其他的含有9的股股数了？
师：这位同学总结得特别好，还提出了一个非常有价值的好问题.大家以小组的形式进行探究含有9的勾股数组，谈谈你的研究方法是什么.
片斷分析这一教学环节的设计不仅是对勾股数探索出来的规律加以运用，实际上是给了学生再次创造了探索的空间，学生在填表的时候发现：（9，12，15）是一组含9的勾股数；（9，40，41）是一组含9的勾股数，到了这里，学生发现含9的勾股数不唯一，借此，教师在精心抛出一问：含9的勾股数有几组？你会怎么去探究？
这时学生又有了一个新的探索热情，对于这样多种可能的问题该如何去研究、怎么去找突破口呢？需要学生自主探究与小组合作相结合.老师只需进行适当启发，学生主体的探索精神在本节课中得到充分的培养与体现.
三、反思
本节活动课达到了比较好的课堂效果，有效完成预先设计目标，究其原因跟学生的好问与强烈的学习兴趣有很大的关系.本节课，笔者的收获很多，要想学生真正参与到探究式的学习过程中，教师一定要精心设计教学的各个环节.首先，要创设好问题情境，激发学生的参与热性，同时创设的问题情境要有一定的探究价值；其次，在将教学过程中教师抛出的问题要有指引性，问题要精练，不能为了探究而探究，探究的活动目的性要明确；此外，教师还要设计好各种桥梁，铺设探究性的通道，探究的起点不能过高也不能过低，在学生最需要的时候教师应给予恰当的指导与帮助，能否铺平探究性通道是能否真正锻炼学生的探究性学习的关键.最后，教学中学生的疑问是教学的重要部分，是对知识的理解的升华，课堂中应该多重视学生的学，包括学的方法和学习中的疑难点.
在探究教学中，学生学习的主动性、参与性是非常重要的，只有真正让学生经历探究过程，才能让学生更好地掌握知识技能，积累基本方法和基本活动经验，加强学生的探究意识；才能让学生更好地用数学的思维和方法思考问题、解决问题，并在探究、体验的过程中获得学习能力，建立自信，尤其是培养科学的探究能力、创新意识和实践能力.