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数学思想方法是数学的灵魂,是学习数学的通法。因此,我们在学习数学知识时,要注意积累数学思想方法的应用。现以锐角三角函数问题中常用的思想方法为例说明如下:
一、方程思想
方程思想就是把未知量用字母表示,再根据已知量之间的数量关系列出方程(组),从而使问题得以解决的数学思想。
例1:如图1,在Rt△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,点D在BC上,BD=60米,∠ADC=45°,求AC的长。
解析:设AC=x米,在Rt△ABC中,由∠B=30°可得BC=3x米,在Rt△ADC中,由∠ADC=45°可得CD=x米,由BD+DC=BC得60+x=3x,解得x=30(3+1)。
即AC的长为30(3+1)米。
二、转化思想
把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这就是转化思想。例如通过添加辅助线,将斜三角形转化为直角三角形进行求解或通过补形将不规则图形转化为规则图形进行求解。
例2:如图2,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,AD=5,求的值。
解析:分别延长AD、BC交于点E,则∠E=30°。
在Rt△ABE中,BE==43,AE=2AB=8,
∴DE=AE-AD=3。
在Rt△CDE中,CD=DE·tan30°=3×=3,
CE=2CD=23。
∴BC=BE-CE=23,∴=2。
三、分类讨论思想
分类讨论思想是指在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上,将其转化为几个较简单的子问题,进而在既不重复又不遗漏的各种情况下处理和解决问题的方法。
例3:一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B,在A的北偏东45°方向还有一个加油站C,C到高速公路的最短距离是30千米,B、C间的距离是60千米,想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交,使两路交叉口P到B、C的距离相等,请求出交叉口P与加油站A的距离(结果可保留根号)。
解析:分两种情况:
(1)如图3所示,在Rt△BDC中,∠B=30°,在Rt△CDP中,∠CPD=60°,DP==103,在Rt△ADC中,AD=DC=30,AP=AD+DP=(30+103)千米。
(2)如图4,同(1)可求得DP=103,AD=30,AP=AD-DP=(30-103)千米,故交叉口P与加油站A的距离为(30±103)千米。
四、整体思想
所谓整体思想,就是对一个问题的条件或结论,从整体入手,在结构上进行全面、深刻的分析和改造,从而找到解决问题途径的思维方法。
例4:如图5,在高BC=2米、坡角30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需______米。(精确到0.1米)。
解析:在Rt△ABC中,AC===23,将每一楼梯的竖直长度、水平长度分别平移至BC、AC处,则楼梯所有竖直长度之和正好等于BC的长,所有水平长度之和正好等于AC的长,地毯的长恰好等于(AC+BC)的长,即有BC+AC=2+23≈5.5(米)。
五、构造思想
例5:不查表求sin75°的值。
解析:由于75°的角不是特殊角,又不能查表,所以只能通过构造一个适当的直角三角形,使之与30°或45°或60°等特殊角有联系。
如图6,作Rt△ABC,使∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至点D,使AD=AB,连接DB,
则∠D=∠BAC=15°,
∴∠DBC=90°-15°=75°;
设BC=a,则AB=2a,AC=3a,
DC=AD+AC=AB+AC=(2+3)a。在Rt△BDC中,BD=BC2+DC2=(6+2)a;
在今后的学习中,我们还会接触到更多与锐角三角函数有关的数学思想,如函数思想等,希望同学们及时总结、不断积累,提高对锐角三角函数有关的数学思想的认识。
一、方程思想
方程思想就是把未知量用字母表示,再根据已知量之间的数量关系列出方程(组),从而使问题得以解决的数学思想。
例1:如图1,在Rt△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,点D在BC上,BD=60米,∠ADC=45°,求AC的长。
解析:设AC=x米,在Rt△ABC中,由∠B=30°可得BC=3x米,在Rt△ADC中,由∠ADC=45°可得CD=x米,由BD+DC=BC得60+x=3x,解得x=30(3+1)。
即AC的长为30(3+1)米。
二、转化思想
把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这就是转化思想。例如通过添加辅助线,将斜三角形转化为直角三角形进行求解或通过补形将不规则图形转化为规则图形进行求解。
例2:如图2,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,AD=5,求的值。
解析:分别延长AD、BC交于点E,则∠E=30°。
在Rt△ABE中,BE==43,AE=2AB=8,
∴DE=AE-AD=3。
在Rt△CDE中,CD=DE·tan30°=3×=3,
CE=2CD=23。
∴BC=BE-CE=23,∴=2。
三、分类讨论思想
分类讨论思想是指在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上,将其转化为几个较简单的子问题,进而在既不重复又不遗漏的各种情况下处理和解决问题的方法。
例3:一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B,在A的北偏东45°方向还有一个加油站C,C到高速公路的最短距离是30千米,B、C间的距离是60千米,想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交,使两路交叉口P到B、C的距离相等,请求出交叉口P与加油站A的距离(结果可保留根号)。
解析:分两种情况:
(1)如图3所示,在Rt△BDC中,∠B=30°,在Rt△CDP中,∠CPD=60°,DP==103,在Rt△ADC中,AD=DC=30,AP=AD+DP=(30+103)千米。
(2)如图4,同(1)可求得DP=103,AD=30,AP=AD-DP=(30-103)千米,故交叉口P与加油站A的距离为(30±103)千米。
四、整体思想
所谓整体思想,就是对一个问题的条件或结论,从整体入手,在结构上进行全面、深刻的分析和改造,从而找到解决问题途径的思维方法。
例4:如图5,在高BC=2米、坡角30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需______米。(精确到0.1米)。
解析:在Rt△ABC中,AC===23,将每一楼梯的竖直长度、水平长度分别平移至BC、AC处,则楼梯所有竖直长度之和正好等于BC的长,所有水平长度之和正好等于AC的长,地毯的长恰好等于(AC+BC)的长,即有BC+AC=2+23≈5.5(米)。
五、构造思想
例5:不查表求sin75°的值。
解析:由于75°的角不是特殊角,又不能查表,所以只能通过构造一个适当的直角三角形,使之与30°或45°或60°等特殊角有联系。
如图6,作Rt△ABC,使∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至点D,使AD=AB,连接DB,
则∠D=∠BAC=15°,
∴∠DBC=90°-15°=75°;
设BC=a,则AB=2a,AC=3a,
DC=AD+AC=AB+AC=(2+3)a。在Rt△BDC中,BD=BC2+DC2=(6+2)a;
在今后的学习中,我们还会接触到更多与锐角三角函数有关的数学思想,如函数思想等,希望同学们及时总结、不断积累,提高对锐角三角函数有关的数学思想的认识。