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例 （2014年高考辽宁卷—16）对于[c>0]，当非零实数[a，b]满足[4a2-2ab+4b2-c=0]且使[|2a+b|]最大时，[3a-4b+5c]的最小值为 .
分析 本题主要考查最值求解的基本策略，常规做法是利用函数思想来变形与把握，其间运用到函数与方程、不等式等基本性质，是一道入口较宽，做法多样，同时又能很好区分不同思维层次的好题目.
解法一（方程思想） 不妨令[t=2a+b]，则[2a=t-b].
代入原方程可得，[6b2-3tb+t2-c=0].
由上述方程是关于[b]的二次方程有实数根可知，
[Δ≥0?t2≤85c].
从而[|2a+b|]取最大值[8c5]，此时[c=5t28]，
易求[b=t4]，代入[2a+b=t]，则可得[a=3t8].
于是[3a-4b+5c][=8t-16t+8t2=8（1t-12）2-2≥-2]，
当且仅当[t=2]时，[a=34，b=12，c=52]，此时[3a-4b+5c]有最小值-2 .
点拨 本题的关键是如何把握众多未知参数的关系，考虑已知题设方程的二次型结构，利用判别式法较好地生成了[a]与[b]的关系均用[t]去表现，以[t]为主元，利用函数的思想方法，为后续问题的研究打开了局面.
解法二（三角换元） 将[4a2-2ab+4b2=c]变形为[（2a-b2）2+15b24=c]，
令[2a-b2=ccosθ]，[152b=csinθ]可得，
[2a=c15sinθ+ccosθ]，[b=2c15sinθ].
则[|2a+b|=c|315sinθ+cosθ|]
=[8c5|sin（θ+φ）|≤8c5]（其中[tanφ=153）]，
当且仅当[θ+φ=kπ+π2（k∈Z）]时，等号成立.
即[tanθ=cotφ?sinθcosθ=315=15b22a-b2]，
可得[2a=3b].
此时[2a+b=8c5]联立可得[a=3b2，c=10b2].
所以[3a-4b+5c][=2b-4b+12b2][=12（1b-2）2-2≥-2].
当且仅当[b=12]时，[a=34，c=52]，此时[3a-4b+5c]有最小值-2.
点拨 从关于[a，b]的二次式容易联想到圆[x2+y2=r2]的三角参数方程[x=rcosθ，y=rsinθ，]但难点是先要视“[c]”为常数，将[a，b]分别用参数[θ]去代换，从而实现多元向一元转换，最终利用三角函数的有界性解决问题.
解法三（均值不等式） 同解法二有[（2a-b2）2+15b24=c]，
可变形为[（2a-b2）2+53（3b2）2=c]，
由均值不等式的性质可得，
[（2a-b2）2+5c8≥25c8|2a-b2|]，
[53（3b2）2+3c8≥25c8|3b2|]，
将以上两不等式相加可得，
[2c≥25c8（|2a-b2|+|3b2|）≥25c8|2a+b|]
即[|2a+b|≤8c5].
当且仅当[2a-b2=5c815b2=3c8]，即[2a=3b]时，等号成立.
此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.
点拨 从已知等式配方后的结构中考虑到[2a+b=（2a-b2）+3b2]，则需从二次式转换到一次式，此时均值不等式就派上了用场.
解法四（柯西不等式） 由[4a2-2ab+4b2=c]可得，
[（2a+b）2=3（4a2+3b2）-2c]，
根据柯西不等式的性质知
[（4a2+3b2）（1+13）≥（2a+b）2.]
从而[13[2c+（2a+b）2]?43≥（2a+b）2]
[?（2a+b）2≤8c5][?|2a+b|≤8c5]，
当且仅当[4a21=3b213]即[2a=3b]时，等号成立.
此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.
点拨 为求[2a+b]的最大值，考虑到已知等式的结构特征，从一开始就让研究的[2a+b]这一算式融入其中，借助柯西不等式并利用不等式的关系一步到位获得[|2a+b|]取到最大值的条件，从而为问题的最终获解提供了支撑.
解法五（待定系数） 由[4a2-2ab+4b2=c]可配凑为
[58（2a+b）2+38（2a-3b）2=c]，
所以[（2a+b）2=8c5-35（2a-3b）2≤8c5]，
当且仅当[2a=3b]时，等号成立.
此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.
点拨 上述处理利用已知方程，通过待定系数法表现出[2a+b]的算式，利用其完全平方式非负的特点，求出其最大值，以体现数学的结构之美，看似意料之外，实则情理之中，所以对所研究的问题与已知题设建立起有益的联系就显得格外重要了.
纵观以上各种处理方法，无一例外都是千方百计地得到[|2a+b|≤8c5]. 倘若将此不等关系稍加变形即为[（2a+b）2c≤85]，于是研究[|2a+b|]的最大值问题，则可等价于求[（2a+b）2c]这一算式最大值是否为[85]的问题，也就是求[（2a+b）24a2-2ab+4b2]这个齐次式最大值为[85]的问题，有兴趣的读者不妨一试. 所以很多的数学处理看似神来之笔，实则是对问题深刻思考后的一种有意为之，只有真正理解与抓住了问题的本质，才能做到深入浅出，自然表达.
分析 本题主要考查最值求解的基本策略，常规做法是利用函数思想来变形与把握，其间运用到函数与方程、不等式等基本性质，是一道入口较宽，做法多样，同时又能很好区分不同思维层次的好题目.
解法一（方程思想） 不妨令[t=2a+b]，则[2a=t-b].
代入原方程可得，[6b2-3tb+t2-c=0].
由上述方程是关于[b]的二次方程有实数根可知，
[Δ≥0?t2≤85c].
从而[|2a+b|]取最大值[8c5]，此时[c=5t28]，
易求[b=t4]，代入[2a+b=t]，则可得[a=3t8].
于是[3a-4b+5c][=8t-16t+8t2=8（1t-12）2-2≥-2]，
当且仅当[t=2]时，[a=34，b=12，c=52]，此时[3a-4b+5c]有最小值-2 .
点拨 本题的关键是如何把握众多未知参数的关系，考虑已知题设方程的二次型结构，利用判别式法较好地生成了[a]与[b]的关系均用[t]去表现，以[t]为主元，利用函数的思想方法，为后续问题的研究打开了局面.
解法二（三角换元） 将[4a2-2ab+4b2=c]变形为[（2a-b2）2+15b24=c]，
令[2a-b2=ccosθ]，[152b=csinθ]可得，
[2a=c15sinθ+ccosθ]，[b=2c15sinθ].
则[|2a+b|=c|315sinθ+cosθ|]
=[8c5|sin（θ+φ）|≤8c5]（其中[tanφ=153）]，
当且仅当[θ+φ=kπ+π2（k∈Z）]时，等号成立.
即[tanθ=cotφ?sinθcosθ=315=15b22a-b2]，
可得[2a=3b].
此时[2a+b=8c5]联立可得[a=3b2，c=10b2].
所以[3a-4b+5c][=2b-4b+12b2][=12（1b-2）2-2≥-2].
当且仅当[b=12]时，[a=34，c=52]，此时[3a-4b+5c]有最小值-2.
点拨 从关于[a，b]的二次式容易联想到圆[x2+y2=r2]的三角参数方程[x=rcosθ，y=rsinθ，]但难点是先要视“[c]”为常数，将[a，b]分别用参数[θ]去代换，从而实现多元向一元转换，最终利用三角函数的有界性解决问题.
解法三（均值不等式） 同解法二有[（2a-b2）2+15b24=c]，
可变形为[（2a-b2）2+53（3b2）2=c]，
由均值不等式的性质可得，
[（2a-b2）2+5c8≥25c8|2a-b2|]，
[53（3b2）2+3c8≥25c8|3b2|]，
将以上两不等式相加可得，
[2c≥25c8（|2a-b2|+|3b2|）≥25c8|2a+b|]
即[|2a+b|≤8c5].
当且仅当[2a-b2=5c815b2=3c8]，即[2a=3b]时，等号成立.
此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.
点拨 从已知等式配方后的结构中考虑到[2a+b=（2a-b2）+3b2]，则需从二次式转换到一次式，此时均值不等式就派上了用场.
解法四（柯西不等式） 由[4a2-2ab+4b2=c]可得，
[（2a+b）2=3（4a2+3b2）-2c]，
根据柯西不等式的性质知
[（4a2+3b2）（1+13）≥（2a+b）2.]
从而[13[2c+（2a+b）2]?43≥（2a+b）2]
[?（2a+b）2≤8c5][?|2a+b|≤8c5]，
当且仅当[4a21=3b213]即[2a=3b]时，等号成立.
此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.
点拨 为求[2a+b]的最大值，考虑到已知等式的结构特征，从一开始就让研究的[2a+b]这一算式融入其中，借助柯西不等式并利用不等式的关系一步到位获得[|2a+b|]取到最大值的条件，从而为问题的最终获解提供了支撑.
解法五（待定系数） 由[4a2-2ab+4b2=c]可配凑为
[58（2a+b）2+38（2a-3b）2=c]，
所以[（2a+b）2=8c5-35（2a-3b）2≤8c5]，
当且仅当[2a=3b]时，等号成立.
此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.
点拨 上述处理利用已知方程，通过待定系数法表现出[2a+b]的算式，利用其完全平方式非负的特点，求出其最大值，以体现数学的结构之美，看似意料之外，实则情理之中，所以对所研究的问题与已知题设建立起有益的联系就显得格外重要了.
纵观以上各种处理方法，无一例外都是千方百计地得到[|2a+b|≤8c5]. 倘若将此不等关系稍加变形即为[（2a+b）2c≤85]，于是研究[|2a+b|]的最大值问题，则可等价于求[（2a+b）2c]这一算式最大值是否为[85]的问题，也就是求[（2a+b）24a2-2ab+4b2]这个齐次式最大值为[85]的问题，有兴趣的读者不妨一试. 所以很多的数学处理看似神来之笔，实则是对问题深刻思考后的一种有意为之，只有真正理解与抓住了问题的本质，才能做到深入浅出，自然表达.