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一、问题的由来
众所周知，在平面内到两个定点距离之比等于定值k（k>0且k≠1）的动点的轨迹是圆.常把此圆称为阿波罗尼斯（Apollonius）圆.近年来以阿波罗尼斯圆为背景的试题在高考中频频出现，如2006年四川卷第6题、2008年四川卷第12题，特别是2008年江苏卷第13题（若AB=2，AC=BC，则△ABC的面积的最大值是 .）更是为广大中学师生津津乐道，同时也掀起了一股研究利用阿波罗尼斯圆解高考试题的热潮.
近期笔者对以阿波罗尼斯圆为背景的解析几何试题进行了归类整理，本文主要从阿波罗尼斯圆几何性质的视角谈谈解析几何试题的命制. 不当之处，敬请指正.
二、阿波罗尼斯圆的几何性质
命题1 如图1，M，N分别为线段AB的内、外分点，且==k（k>0且k≠1），⊙O是以MN为直径的圆，若动点满足=k，则点P的轨迹为⊙O.
命题1 就是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以MN为直径的⊙O叫做阿波罗尼斯圆.
利用几何方法很容易证明上述结论，不妨设k>1（图1为k>1的情形）.由已知得===k，根据三角形内、外角平分线性质的逆定理，PM，PN分别为△PAB的内角APB与外角BPC的平分线，所以∠MPN为直角，从而点P的轨迹是以MN为直径的圆.
我们再来看两个与阿波罗尼斯圆相关的命题并加以证明.
命题2 M，N分别为线段AB的内、外分点，且==k（k>0且k≠1），⊙O是以MN为直径的圆，若动点P在⊙O上，则=k.
证明：记∠APM=∠1，∠BPM=∠2. 在△PAM与△PAN中运用正弦定理得：
=，=，
从而得：=·. ①
在△PBM与△PBN中运用正弦定理得：
=，=，
从而得：=·. ②
注意到sin∠PMA=sin∠PMB，=，由①②得：∠1=∠2，故==k.
命题3 M，N分别为线段AB的内、外分点，⊙O是以MN为直径的圆，点P为⊙O上一点且满足=，则=.
证明：由=知PM平分∠APB，又因为点P在⊙O上，所以∠2+∠BPN=90°，从而∠1+∠CPN=90°，故PN平分∠BPC，所以=，即=.
实际上，阿波罗尼斯圆的几何性质主要与下面三个条件相关.
（Ⅰ）PM平分∠APB（=）；
（Ⅱ）PM⊥PN（P在以MN为直径的圆上）；
（Ⅲ）=（圆周按定比k内分且外分线段AB）.
通过对命题1、2、3的表述及证明可以看出：上述三个条件中，由其中的任意两个都可以推出第三个.
三、命题视角透析
阿波罗尼斯圆丰富的几何性质给了我们多变的命题视角.就命题而言我们常常会对同一问题采用不同的提问方式，或是对某一问题采用逆向、推广和拓展等方式展开，请看实例，笔者先利用常规的解析法进行求解，再从几何性质的角度进行评析.
1. 常规视角 ——变换条件结论，关注思维的发散性
变换试题的条件与结论，探寻对问题的多角度研究方向是试题命制的常规视角.如“原命题成立，是否逆命题也成立”，“一个数学问题的逆向问题有那些”等都可以成为命题的素材.
①（Ⅰ）（Ⅲ）？圯（Ⅱ）
例1 已知点P（x，y）与两个定点B（1，0），A（4，0）的距离之比为，求点P的轨迹方程.
解：由=，得（x-4）2+y2=4[（x-1）2+y2]，所以点P的轨迹方程为x2+y2=4.
评析：不难看出点M（2，0），N（-2，0）分别按定比内分、外分线段BA，而=，所以点P的轨迹是以MN为直径的圆.
② （Ⅱ）（Ⅲ）？圯（Ⅰ）
例2 已知两个定点A（4，0），B（1，0），⊙O：x2+y2=4，若P是⊙O上任意一点，求证：是定值.
证明：设P（x，y）是⊙O：x2+y2=4上任意一点，则y2=4-x2，
===.
评析：因为⊙O与直线BA交于点M（2，0），N（-2，0），而==，P是⊙O上任意一点， 所以==.
2. 热点视角—— 改变设问方式，强调问题的开放性
近年来，特别是高考试题在设问上已经突破了固定的“已知——求解”这种封闭的数学推理、判断和计算的模式，而研究发展试题的设问方向，丰富试题的设问形式成为了命题的一个热点视角. 该视角下命制的试题在解答上突破了停留在明确的、直接的结论层面，增加了问题的开放性.这类试题通过开放式的设问背景，能比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜想、归纳、类比、推广等思维活动的水平，对于激发学生探索精神、求异创新思维等有着积极的意义.
例3 如图2，已知⊙O：x2+y2=4，点A（4，0），在x轴上是否存在定点B（不同于点A）. 满足：对于⊙O上任意一点P，都有为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：假设存在这样的点B（s，0），使得=λ，设P（x，y）是⊙O上任意一点，由PB2=λ2PA2，得（x-s）2+y2=
λ2[（x-4）2+y2]，注意到y2=4-x2，化简得（8λ2-2s）x+s2
-20λ2+4=0对x∈[-2，2]恒成立.
所以8λ2-2s=0，s2-20λ2+4=0，解得s=1，λ=，或s=4，λ=1，（舍去），
故存在点B（1，0）对于⊙O上任意一点P，都有=.
评析：本题也可以这样表述：已知⊙O：x2+y2=4，点A（4，0），点B在x轴上且为定值，求点B的坐标.但很明显前者的问题更开放，因为设问方式的改变使得求解本题至少得思考两个问题，一是否存在，二才是如何求解.解决这类“存在探索型”问题一般先假设结论成立或研究对象存在. 从解法分析，因为对于⊙O上任意一点P，都有为定值，而M（2，0），N（-2，0）在⊙O上，于是==，即=，解得s=1. 再证明B（1，0）对于⊙O上任意一点P，都有为定值（证法同例2）. 这种解法先通过特殊点探求点B，再作一般性的证明，从特殊到一般，解法合理高效.
3. 经典视角 ——从静止到运动，增加试题的探究性
研究图形的运动变化规律及运动变化过程中的不变量是解析几何命题的重要视角之一.解题时常从特殊（静止）情形的分析，逐步过渡到一般（运动）情形的求解，最后达到揭示问题本质的目的.
例3中的点A（4，0）是定点，为了进一步增加问题的探究性，可以让点A动起来.
例4 如图3，已知⊙O：x2+y2=4，点A是l：x=4上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于点A的点B，对于⊙O上任意一点P，有为定值，且当点A在直线l上运动时，点B在一个定圆上.
证明：设⊙O上任意一点P（x0，y0），定点B（x，y），=λ（λ>0，且λ≠1），l上取定的点A（4，t），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，x02+y02-2xx0-2yy0+x2+y2=（x02+y02+16+t2-8x0-2ty0）.
将x02+y02=4代入得-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ.
因为有无数组（x0，y0），从而x=4λ， （1）y=tλ， （2）x2+y2+4=（20+t2）λ.（3）
由（1）（2）代入（3），得16λ +t2λ 2+4=（20+t2）λ，
整理得（16+t2）λ 2-（20+t2）λ+4=0，
即（λ-1）[（16+t2）λ-4]=0，因为λ≠1，所以λ=，故存在一个异于点A的点B，对于⊙O上任意一点P，均有为定值.
又16+t2=，代入（3）得x2+y2+4=（+4）λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即（x-）2+y2=，故点B在圆心（，0），半径为的定圆上.
评析：实际上如果从几何性质的角度切入，定值λ是很容易得到的，与例3类似可以先通过特殊点探求点B，再验证.
如图3，B（x，y），A（4，t），M，N为直线BA与⊙O的两个交点，由=（=），得=，解得MB=2-，OB=2-BM=，由==，得x=，y=，即B（，）.
下面证明对于⊙O上任意一点P（x0，y0），有为定值，注意到x02+y02=4，
===（定值），
而x=，y=，消去t得点B的轨迹方程x2+y2=x.
4. 创新视角——引入新元素，重视知识的交汇性
目前的高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的，因此，注意沟通各部分内容之间的联系也成为了数学命题的一个创新视角.这类试题通过知识的迁移与交汇使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.
例3中直接给出点A（4，0）探究点B，若点A未知，我们也可以用其它的方式来联系点A（a，0）与点B（c，0），比如a2-c2=4，为此引入新元素“椭圆”.
例5 如图4，已知椭圆C∶+=1（a>2），⊙O∶x2+y2=4，点A，B分别为椭圆C的右顶点和右焦点，对于⊙O上任意一点P，是否存在这样的椭圆C，使得为定值？如果存在，试求椭圆C的方程；如果不存在，请说明理由.
解：设B（c，0），c2=a2-4，设P（x0，y0），=λ（λ为常数），则有（x0-c）2+y02=λ[（x0-a）+y02]，即4-2cx0+c2=
λ[4-2ax0+a2]对x0∈[-2，2]恒成立，
所以4+c2=λ（4+a2），c=λa，消去λ得4a+ac2=4c+a2c，即（c-a）（ac-4）=0，因为c≠a，所以ac=4，又因为c2=a2-4，解得a2=2+2，c2=2-2，故存在这样的椭圆C，椭圆C的方程为+=1.
评析：新元素的引入使得试题的条件产生了变化，增加了知识的交汇性，而解决问题的方法却没有改变. 若将椭圆C与⊙O方程中的“4”改为“b2”，我们还可以去探究椭圆C的离心率.
例6 已知椭圆C∶+=1（a>b>0），⊙O∶x2+y2=b2，点A，B分别为椭圆C的右顶点和右焦点，对于⊙O上任意一点P，是否存在这样的椭圆C，使得为定值？如果存在，试求椭圆C的离心率；如果不存在，请说明理由.
解法同例5，也可以类似例3通过特殊点M，N先探求离心率.
如图4，由=（=），得=，即ac=b2，从而e==.
此时A（，0），B（b，0），再去证明对于⊙O上任意一点P，有为定值（解略）.
关注几何性质，探寻几何问题的内涵与外延可以帮助我们认识试题命制的“台前幕后”.上述实例使我们看到：一个并不深奥的几何性质在科学恰当的命题视角下一样可以命制出形式美妙、内容和谐、结果深刻的鲜活试题.
众所周知，在平面内到两个定点距离之比等于定值k（k>0且k≠1）的动点的轨迹是圆.常把此圆称为阿波罗尼斯（Apollonius）圆.近年来以阿波罗尼斯圆为背景的试题在高考中频频出现，如2006年四川卷第6题、2008年四川卷第12题，特别是2008年江苏卷第13题（若AB=2，AC=BC，则△ABC的面积的最大值是 .）更是为广大中学师生津津乐道，同时也掀起了一股研究利用阿波罗尼斯圆解高考试题的热潮.
近期笔者对以阿波罗尼斯圆为背景的解析几何试题进行了归类整理，本文主要从阿波罗尼斯圆几何性质的视角谈谈解析几何试题的命制. 不当之处，敬请指正.
二、阿波罗尼斯圆的几何性质
命题1 如图1，M，N分别为线段AB的内、外分点，且==k（k>0且k≠1），⊙O是以MN为直径的圆，若动点满足=k，则点P的轨迹为⊙O.
命题1 就是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以MN为直径的⊙O叫做阿波罗尼斯圆.
利用几何方法很容易证明上述结论，不妨设k>1（图1为k>1的情形）.由已知得===k，根据三角形内、外角平分线性质的逆定理，PM，PN分别为△PAB的内角APB与外角BPC的平分线，所以∠MPN为直角，从而点P的轨迹是以MN为直径的圆.
我们再来看两个与阿波罗尼斯圆相关的命题并加以证明.
命题2 M，N分别为线段AB的内、外分点，且==k（k>0且k≠1），⊙O是以MN为直径的圆，若动点P在⊙O上，则=k.
证明：记∠APM=∠1，∠BPM=∠2. 在△PAM与△PAN中运用正弦定理得：
=，=，
从而得：=·. ①
在△PBM与△PBN中运用正弦定理得：
=，=，
从而得：=·. ②
注意到sin∠PMA=sin∠PMB，=，由①②得：∠1=∠2，故==k.
命题3 M，N分别为线段AB的内、外分点，⊙O是以MN为直径的圆，点P为⊙O上一点且满足=，则=.
证明：由=知PM平分∠APB，又因为点P在⊙O上，所以∠2+∠BPN=90°，从而∠1+∠CPN=90°，故PN平分∠BPC，所以=，即=.
实际上，阿波罗尼斯圆的几何性质主要与下面三个条件相关.
（Ⅰ）PM平分∠APB（=）；
（Ⅱ）PM⊥PN（P在以MN为直径的圆上）；
（Ⅲ）=（圆周按定比k内分且外分线段AB）.
通过对命题1、2、3的表述及证明可以看出：上述三个条件中，由其中的任意两个都可以推出第三个.
三、命题视角透析
阿波罗尼斯圆丰富的几何性质给了我们多变的命题视角.就命题而言我们常常会对同一问题采用不同的提问方式，或是对某一问题采用逆向、推广和拓展等方式展开，请看实例，笔者先利用常规的解析法进行求解，再从几何性质的角度进行评析.
1. 常规视角 ——变换条件结论，关注思维的发散性
变换试题的条件与结论，探寻对问题的多角度研究方向是试题命制的常规视角.如“原命题成立，是否逆命题也成立”，“一个数学问题的逆向问题有那些”等都可以成为命题的素材.
①（Ⅰ）（Ⅲ）？圯（Ⅱ）
例1 已知点P（x，y）与两个定点B（1，0），A（4，0）的距离之比为，求点P的轨迹方程.
解：由=，得（x-4）2+y2=4[（x-1）2+y2]，所以点P的轨迹方程为x2+y2=4.
评析：不难看出点M（2，0），N（-2，0）分别按定比内分、外分线段BA，而=，所以点P的轨迹是以MN为直径的圆.
② （Ⅱ）（Ⅲ）？圯（Ⅰ）
例2 已知两个定点A（4，0），B（1，0），⊙O：x2+y2=4，若P是⊙O上任意一点，求证：是定值.
证明：设P（x，y）是⊙O：x2+y2=4上任意一点，则y2=4-x2，
===.
评析：因为⊙O与直线BA交于点M（2，0），N（-2，0），而==，P是⊙O上任意一点， 所以==.
2. 热点视角—— 改变设问方式，强调问题的开放性
近年来，特别是高考试题在设问上已经突破了固定的“已知——求解”这种封闭的数学推理、判断和计算的模式，而研究发展试题的设问方向，丰富试题的设问形式成为了命题的一个热点视角. 该视角下命制的试题在解答上突破了停留在明确的、直接的结论层面，增加了问题的开放性.这类试题通过开放式的设问背景，能比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜想、归纳、类比、推广等思维活动的水平，对于激发学生探索精神、求异创新思维等有着积极的意义.
例3 如图2，已知⊙O：x2+y2=4，点A（4，0），在x轴上是否存在定点B（不同于点A）. 满足：对于⊙O上任意一点P，都有为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：假设存在这样的点B（s，0），使得=λ，设P（x，y）是⊙O上任意一点，由PB2=λ2PA2，得（x-s）2+y2=
λ2[（x-4）2+y2]，注意到y2=4-x2，化简得（8λ2-2s）x+s2
-20λ2+4=0对x∈[-2，2]恒成立.
所以8λ2-2s=0，s2-20λ2+4=0，解得s=1，λ=，或s=4，λ=1，（舍去），
故存在点B（1，0）对于⊙O上任意一点P，都有=.
评析：本题也可以这样表述：已知⊙O：x2+y2=4，点A（4，0），点B在x轴上且为定值，求点B的坐标.但很明显前者的问题更开放，因为设问方式的改变使得求解本题至少得思考两个问题，一是否存在，二才是如何求解.解决这类“存在探索型”问题一般先假设结论成立或研究对象存在. 从解法分析，因为对于⊙O上任意一点P，都有为定值，而M（2，0），N（-2，0）在⊙O上，于是==，即=，解得s=1. 再证明B（1，0）对于⊙O上任意一点P，都有为定值（证法同例2）. 这种解法先通过特殊点探求点B，再作一般性的证明，从特殊到一般，解法合理高效.
3. 经典视角 ——从静止到运动，增加试题的探究性
研究图形的运动变化规律及运动变化过程中的不变量是解析几何命题的重要视角之一.解题时常从特殊（静止）情形的分析，逐步过渡到一般（运动）情形的求解，最后达到揭示问题本质的目的.
例3中的点A（4，0）是定点，为了进一步增加问题的探究性，可以让点A动起来.
例4 如图3，已知⊙O：x2+y2=4，点A是l：x=4上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于点A的点B，对于⊙O上任意一点P，有为定值，且当点A在直线l上运动时，点B在一个定圆上.
证明：设⊙O上任意一点P（x0，y0），定点B（x，y），=λ（λ>0，且λ≠1），l上取定的点A（4，t），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，x02+y02-2xx0-2yy0+x2+y2=（x02+y02+16+t2-8x0-2ty0）.
将x02+y02=4代入得-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ.
因为有无数组（x0，y0），从而x=4λ， （1）y=tλ， （2）x2+y2+4=（20+t2）λ.（3）
由（1）（2）代入（3），得16λ +t2λ 2+4=（20+t2）λ，
整理得（16+t2）λ 2-（20+t2）λ+4=0，
即（λ-1）[（16+t2）λ-4]=0，因为λ≠1，所以λ=，故存在一个异于点A的点B，对于⊙O上任意一点P，均有为定值.
又16+t2=，代入（3）得x2+y2+4=（+4）λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即（x-）2+y2=，故点B在圆心（，0），半径为的定圆上.
评析：实际上如果从几何性质的角度切入，定值λ是很容易得到的，与例3类似可以先通过特殊点探求点B，再验证.
如图3，B（x，y），A（4，t），M，N为直线BA与⊙O的两个交点，由=（=），得=，解得MB=2-，OB=2-BM=，由==，得x=，y=，即B（，）.
下面证明对于⊙O上任意一点P（x0，y0），有为定值，注意到x02+y02=4，
===（定值），
而x=，y=，消去t得点B的轨迹方程x2+y2=x.
4. 创新视角——引入新元素，重视知识的交汇性
目前的高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的，因此，注意沟通各部分内容之间的联系也成为了数学命题的一个创新视角.这类试题通过知识的迁移与交汇使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.
例3中直接给出点A（4，0）探究点B，若点A未知，我们也可以用其它的方式来联系点A（a，0）与点B（c，0），比如a2-c2=4，为此引入新元素“椭圆”.
例5 如图4，已知椭圆C∶+=1（a>2），⊙O∶x2+y2=4，点A，B分别为椭圆C的右顶点和右焦点，对于⊙O上任意一点P，是否存在这样的椭圆C，使得为定值？如果存在，试求椭圆C的方程；如果不存在，请说明理由.
解：设B（c，0），c2=a2-4，设P（x0，y0），=λ（λ为常数），则有（x0-c）2+y02=λ[（x0-a）+y02]，即4-2cx0+c2=
λ[4-2ax0+a2]对x0∈[-2，2]恒成立，
所以4+c2=λ（4+a2），c=λa，消去λ得4a+ac2=4c+a2c，即（c-a）（ac-4）=0，因为c≠a，所以ac=4，又因为c2=a2-4，解得a2=2+2，c2=2-2，故存在这样的椭圆C，椭圆C的方程为+=1.
评析：新元素的引入使得试题的条件产生了变化，增加了知识的交汇性，而解决问题的方法却没有改变. 若将椭圆C与⊙O方程中的“4”改为“b2”，我们还可以去探究椭圆C的离心率.
例6 已知椭圆C∶+=1（a>b>0），⊙O∶x2+y2=b2，点A，B分别为椭圆C的右顶点和右焦点，对于⊙O上任意一点P，是否存在这样的椭圆C，使得为定值？如果存在，试求椭圆C的离心率；如果不存在，请说明理由.
解法同例5，也可以类似例3通过特殊点M，N先探求离心率.
如图4，由=（=），得=，即ac=b2，从而e==.
此时A（，0），B（b，0），再去证明对于⊙O上任意一点P，有为定值（解略）.
关注几何性质，探寻几何问题的内涵与外延可以帮助我们认识试题命制的“台前幕后”.上述实例使我们看到：一个并不深奥的几何性质在科学恰当的命题视角下一样可以命制出形式美妙、内容和谐、结果深刻的鲜活试题.