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摘要：函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．
关键词：函数 方程
Abstract: the function and the equation of the middle school mathematics thought is the basic thought, the college entrance examination in the proportion of the larger, more comprehensive knowledge and techniques, application more questions. Function thought simple, is our research established with the function relation between the structure also or middle function, combining elementary function imaging and nature, analyzed, transformation, to solve the evaluated, solution (card), inequality solve the equation is discussed and the values of parameters; Equation is the quantitative relationship between thoughts problem using the mathematical language into the equation model to solve them.
Keywords: function equation
中图分类号：O174文献标识码：A 文章编号：
方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ，当 时，就转化为方程 ，也可以把函数式 看做二元方程 ，函数与方程这种相互转化的关系十分重要．
数列的通项或前 项和是自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题十分重要．
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．
在中学数学中，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键．
经典例题：
一． 函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想．
1. 构造函数，运用函数的性质
例1. 已知
，试求 的值．
分析：拿到此题，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现， 与 并不是某两个二项式的展开式．至此，不少同学可能会思维受阻．
再回到已知，不妨比较一下 与 对应项的系数，不难发现： 的偶次幂项的系数都相等，而 的奇次幂项的系数互为相反数，这时我们便联想到函数的奇偶性．
设 ，则 ． 为偶函数． ．
，
．
点评：联想是开启数学思维的一把钥匙．本题首先通过相似联想，把已知等式左边的两个因式与二项式定理相联系，产生了一个错误的思路；进而改变思维的方向，深入到问题的本质，把两个因式对应项的系数进行比较，又联想到了函数的奇偶性，这种由表及里的分析，使我们的思维更加深刻，解题经验得到了积累．
2. 选定主元，揭示函数关系
例2． 设不等式对满足 的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。
分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记 ，则问题转化为求一次函数（或常数函数） 的值在区间[－2，2]内恒负时参数x应该满足的条件．
要使 ，只要使即
从而解得 。
点注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在．
3.用函数的思想方法解数列题
例3.已知不定式 对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围．
分析： 无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
分析：令
，
所以 为增函数，且
由题意得 。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出 的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心．
二． 方程的思想
方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。
例4．是否存在锐角 ，使 ①， ②同时成立？若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由．
分析：本题是探索性问题，假设 和 存在，根据题意求出 和 的值，再根据角的范围求角．
假设存在锐角 ，则由①式得 ， ③．又由②式得 ④．将④式代入③得 ． 是方程 的两个根，解得 ．又， ．
． 存在 使①、②式同时成立．
点评：对于探索性问题，先对结论作肯定存在的假设，由此出发推理论证，由推论结果是否出现矛盾来作判断．构造方程并借用方程理论解题是本题的创新之处．
三． 函数与方程相互转化的思想
解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。
例5. 设 ，且 ，抛物线 被 轴截得的弦长为 ，求证： ．
分析：由于弦长 是与 有关的变量，若能建立 为表达式，那么结论相当于确定该函数的值域．
为了确定函数 的值域，需要解决好三个问题：一是求出变量 关于 的解析式；二是将这个多元函数通过集中变量、消元或变量代换转化为一元函数（因为中学阶段学习的都是一元函数）；三是需要确定这个一元函数的定义域．
，且 ．从而 ．
故抛物线 与 轴有两个不同的交点，即方程 必有两个不相等的实数根 、 ，由韦达定理，得 ．
．可见， 是 的二次函数．
由 及 ，得 ，解得 ．
在 上是减函数， ，即 ．
点评：应用函数与方程思想处理不等式问题，关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论，弄清函数、方程及不等式的内在联系，树立相互转化的观点
函数与方程思想在解析几何中的应用．
例6． 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN= ．
（1）求MN的长；
（2）当 为何值时，MN的长最小．
剖析：取 作变量，建立MN的长的表达式，利用函数思想求MN的长的最小值．
（1）如图2，作MP//AB交BC于点P，NQ//AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得，MNQP是平行四边形． MN=PQ．
CM=BN= ，CB=AB=BE=1， AC=BF= ， 即 ．
．
（2）由上得 ， 当 时， ．即M、N分别移动到AC、BF的中點时，MN的长最小，最小值为 ．
点评：利用函数思想建立MN的长为 的函数关系式是解决本题的关键，立体几何中的最值问题常借助函数思想求得．
总之，函数与方程涉及的知识点多、面广，函数与方程的思想方法是中学数学中十分重要的一种思想和方法，也是高考中考查的重点。因此，我们要重视和学会运用这一方法去分析问题、转化问题和解决问题，强化函数与方程的思想方法的应用意识和基本训练，以适应高考新的变化和要求．
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。
关键词：函数 方程
Abstract: the function and the equation of the middle school mathematics thought is the basic thought, the college entrance examination in the proportion of the larger, more comprehensive knowledge and techniques, application more questions. Function thought simple, is our research established with the function relation between the structure also or middle function, combining elementary function imaging and nature, analyzed, transformation, to solve the evaluated, solution (card), inequality solve the equation is discussed and the values of parameters; Equation is the quantitative relationship between thoughts problem using the mathematical language into the equation model to solve them.
Keywords: function equation
中图分类号：O174文献标识码：A 文章编号：
方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ，当 时，就转化为方程 ，也可以把函数式 看做二元方程 ，函数与方程这种相互转化的关系十分重要．
数列的通项或前 项和是自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题十分重要．
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．
在中学数学中，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键．
经典例题：
一． 函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想．
1. 构造函数，运用函数的性质
例1. 已知
，试求 的值．
分析：拿到此题，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现， 与 并不是某两个二项式的展开式．至此，不少同学可能会思维受阻．
再回到已知，不妨比较一下 与 对应项的系数，不难发现： 的偶次幂项的系数都相等，而 的奇次幂项的系数互为相反数，这时我们便联想到函数的奇偶性．
设 ，则 ． 为偶函数． ．
，
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点评：联想是开启数学思维的一把钥匙．本题首先通过相似联想，把已知等式左边的两个因式与二项式定理相联系，产生了一个错误的思路；进而改变思维的方向，深入到问题的本质，把两个因式对应项的系数进行比较，又联想到了函数的奇偶性，这种由表及里的分析，使我们的思维更加深刻，解题经验得到了积累．
2. 选定主元，揭示函数关系
例2． 设不等式对满足 的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。
分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记 ，则问题转化为求一次函数（或常数函数） 的值在区间[－2，2]内恒负时参数x应该满足的条件．
要使 ，只要使即
从而解得 。
点注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在．
3.用函数的思想方法解数列题
例3.已知不定式 对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围．
分析： 无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
分析：令
，
所以 为增函数，且
由题意得 。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出 的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心．
二． 方程的思想
方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。
例4．是否存在锐角 ，使 ①， ②同时成立？若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由．
分析：本题是探索性问题，假设 和 存在，根据题意求出 和 的值，再根据角的范围求角．
假设存在锐角 ，则由①式得 ， ③．又由②式得 ④．将④式代入③得 ． 是方程 的两个根，解得 ．又， ．
． 存在 使①、②式同时成立．
点评：对于探索性问题，先对结论作肯定存在的假设，由此出发推理论证，由推论结果是否出现矛盾来作判断．构造方程并借用方程理论解题是本题的创新之处．
三． 函数与方程相互转化的思想
解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。
例5. 设 ，且 ，抛物线 被 轴截得的弦长为 ，求证： ．
分析：由于弦长 是与 有关的变量，若能建立 为表达式，那么结论相当于确定该函数的值域．
为了确定函数 的值域，需要解决好三个问题：一是求出变量 关于 的解析式；二是将这个多元函数通过集中变量、消元或变量代换转化为一元函数（因为中学阶段学习的都是一元函数）；三是需要确定这个一元函数的定义域．
，且 ．从而 ．
故抛物线 与 轴有两个不同的交点，即方程 必有两个不相等的实数根 、 ，由韦达定理，得 ．
．可见， 是 的二次函数．
由 及 ，得 ，解得 ．
在 上是减函数， ，即 ．
点评：应用函数与方程思想处理不等式问题，关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论，弄清函数、方程及不等式的内在联系，树立相互转化的观点
函数与方程思想在解析几何中的应用．
例6． 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN= ．
（1）求MN的长；
（2）当 为何值时，MN的长最小．
剖析：取 作变量，建立MN的长的表达式，利用函数思想求MN的长的最小值．
（1）如图2，作MP//AB交BC于点P，NQ//AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得，MNQP是平行四边形． MN=PQ．
CM=BN= ，CB=AB=BE=1， AC=BF= ， 即 ．
．
（2）由上得 ， 当 时， ．即M、N分别移动到AC、BF的中點时，MN的长最小，最小值为 ．
点评：利用函数思想建立MN的长为 的函数关系式是解决本题的关键，立体几何中的最值问题常借助函数思想求得．
总之，函数与方程涉及的知识点多、面广，函数与方程的思想方法是中学数学中十分重要的一种思想和方法，也是高考中考查的重点。因此，我们要重视和学会运用这一方法去分析问题、转化问题和解决问题，强化函数与方程的思想方法的应用意识和基本训练，以适应高考新的变化和要求．
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。