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摘 要：由于数学学科的抽象性，使得学生在学习数学知识时，总是表现出对数学概念、定理等知识不能理解、不会分析思考，学起来感到吃力和困难，久而久之，对数学学科的学习失去了信心，没有了兴趣，更缺乏学习的动力，究其原因，是因为学生学习数学的方法思路不对头，其中最重要的原因在于学生的抽象思维能力没有得到发展，因而培养和启迪学生的抽象思维能力至关重要。
关键词：启迪；思维能力；钥匙；一题多解
高度的抽象性是数学学科本身的最大特点，也由于数学的抽象性，使得一部分学生对数学知识的学习不能很好地理解，感到吃力，有一定的困难。且有一部分学生对数学的学习总是无从着手，自学总是百思不得其解，听老师或同学讲解如坠云里雾里，像是听天书，至于弄清楚明白或者弄通弄懂，就无从谈起了。久而久之，对数学学科的学习失去了信心和学习的兴趣，更缺乏学习数学知识的动力，长期以来人们以“这个学生头脑笨不开窍”而概言之。
学好数学必须要具有一定的运算能力、空间想象能力及逻辑思维能力，其中逻辑思维能力是核心。由于数学学科的高度抽象性，决定了数学学科的课堂教学的特点，一定要结合学生的年龄特征和已有的知识水平认知能力，因此在课堂教学中，就要求教师把发展学生的抽象思维能力当做课堂教学的长期重要目标之一。
数学学科的特点就是从具体事物中抽象出它们之间的数量关系和空间形式，在把实际问题转化为数学问题的分析过程中，不断启迪和培养学生的抽象思维能力。而把实际问题转化为数学问题的过程中，启迪学生的抽象思维能力的方式方法渗透在数学学科的教学的各个方面，其中数学中的一题多解是启迪中学生抽象思维能力的重要途径之一。以下面应用问题进行说明论证。
例如：在复习初中数学八年级《方程与方程组、不等式与不等式组的应用》知识的教学时，选择这样的一道应用问题。
在某市进行中学标准化建设工作中，育才中学为了学校标准化建设，计划购进一批电脑和电子白板，经过市场调查得知，购买一台电脑和两台白板需要3.8万元，购买两台电脑和一台白板需要2.8万元。
（1）求每台电脑和每台电子白板各多少元。
（2）根据学校实际，需购进电脑和白板共30台，总费用不超过35万元，但不低于33万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种费用最低。
解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，则：
x 2y=3.82x y=2.8
解得：x=0.6y=1.6
所以，每台电脑0.6万元，每台电子白板1.6万元。
（2）设购进电脑a台，电子白板（30-a）台，则：
0.6a 1.6（30-a）≥33
0.6a 1.6（30-a）≤35
解得：13≤a≤15
因为a为正整数，所以a=13、14、15。
方法一：
可以知道共有三种购买方案：
方案一：购进电脑13台，电子白板17台。
总费用为：0.6×13 1.6×（30-13）=35（万元）
方案二：购进电脑14台，电子白板16台。
总费用为：0.6×14 1.6×（30-14）=34（万元）
方案三：购进电脑15台，电子白板15台。
总费用为：0.6×15 1.6×（30-15）=33（万元）
所以，选择方案三总费用最低，且最低费用为33万元。
方法二：
设总费用为W万元，则：
W=0.6a 1.6（30-a）=-a 48 即：W=-a 48
根据题意得：33≤-a 48≤35 解得：13≤a≤15
因為a为正整数，所以a=13、14、15。
故共有三种购买方案，又因为W随a的增大而减小，
所以当a=15时，W最小，且W的最小值=-15 48=33（万元）。
因此，选择方案三总费用最低，最低费用为33万元。
在这个问题的解答过程中，首先根据题目给出的已知条件，先将实际应用问题转化为数学问题，找到问题中各个量之间的数量关系，再用方程或不等式将它们之间的数量关系表示出来；方法一就是利用得到的关系式，将符合条件的逐个进行计算，从计算所得结果中找到答案，方法二则利用转化的思想，巧妙地运用一次函数中自变量与函数值之间的变化关系，直接回答了需要解决的问题。这一方法的运用，既减少了逐一运算的麻烦，减少了运算量、降低了出错率，又出奇制胜地将方程、不等式、一次函数等知识的综合起来并灵活地运用，回答了需要解决的问题。
利用数学中的一题多解，不仅能调动学生学习数学的极大兴趣和热情，养成学生平时积极思考、努力钻研的习惯，而且还能引导启发学生，使他们学会分析问题解决问题的思路方法及解题技巧，培养学生的创造性思维，开发学生的智力，启迪学生的抽象思维能力，为将来更好地学习打下良好坚实的基础。但在数学课堂教学中，并不能一味地追求一题多解，也不是每个题目都有几种解法，更不是解法越多越好，一定要根据中学生的年龄特征、教学内容和认知水平，不能扩大化、钻牛角尖，对那些偏题、怪法要坚决遏制，对那些学生根本想象不到的方法教师要有选择性地去讲，对那些较复杂的、教师讲了学生难理解的方法也坚决不讲，对那些使得问题复杂化、将学生引入歧途的方法也坚决不讲，那些对启发培养学生思维能力没有多大益处的方法也坚决不讲。总之数学中的一题多解，要灵活地加以应用，不走弯路、不入歧途，真正使得一题多解起到应有的作用。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：王云，中学高级教师，甘肃省会宁县教学研究室。
关键词：启迪；思维能力；钥匙；一题多解
高度的抽象性是数学学科本身的最大特点，也由于数学的抽象性，使得一部分学生对数学知识的学习不能很好地理解，感到吃力，有一定的困难。且有一部分学生对数学的学习总是无从着手，自学总是百思不得其解，听老师或同学讲解如坠云里雾里，像是听天书，至于弄清楚明白或者弄通弄懂，就无从谈起了。久而久之，对数学学科的学习失去了信心和学习的兴趣，更缺乏学习数学知识的动力，长期以来人们以“这个学生头脑笨不开窍”而概言之。
学好数学必须要具有一定的运算能力、空间想象能力及逻辑思维能力，其中逻辑思维能力是核心。由于数学学科的高度抽象性，决定了数学学科的课堂教学的特点，一定要结合学生的年龄特征和已有的知识水平认知能力，因此在课堂教学中，就要求教师把发展学生的抽象思维能力当做课堂教学的长期重要目标之一。
数学学科的特点就是从具体事物中抽象出它们之间的数量关系和空间形式，在把实际问题转化为数学问题的分析过程中，不断启迪和培养学生的抽象思维能力。而把实际问题转化为数学问题的过程中，启迪学生的抽象思维能力的方式方法渗透在数学学科的教学的各个方面，其中数学中的一题多解是启迪中学生抽象思维能力的重要途径之一。以下面应用问题进行说明论证。
例如：在复习初中数学八年级《方程与方程组、不等式与不等式组的应用》知识的教学时，选择这样的一道应用问题。
在某市进行中学标准化建设工作中，育才中学为了学校标准化建设，计划购进一批电脑和电子白板，经过市场调查得知，购买一台电脑和两台白板需要3.8万元，购买两台电脑和一台白板需要2.8万元。
（1）求每台电脑和每台电子白板各多少元。
（2）根据学校实际，需购进电脑和白板共30台，总费用不超过35万元，但不低于33万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种费用最低。
解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，则：
x 2y=3.82x y=2.8
解得：x=0.6y=1.6
所以，每台电脑0.6万元，每台电子白板1.6万元。
（2）设购进电脑a台，电子白板（30-a）台，则：
0.6a 1.6（30-a）≥33
0.6a 1.6（30-a）≤35
解得：13≤a≤15
因为a为正整数，所以a=13、14、15。
方法一：
可以知道共有三种购买方案：
方案一：购进电脑13台，电子白板17台。
总费用为：0.6×13 1.6×（30-13）=35（万元）
方案二：购进电脑14台，电子白板16台。
总费用为：0.6×14 1.6×（30-14）=34（万元）
方案三：购进电脑15台，电子白板15台。
总费用为：0.6×15 1.6×（30-15）=33（万元）
所以，选择方案三总费用最低，且最低费用为33万元。
方法二：
设总费用为W万元，则：
W=0.6a 1.6（30-a）=-a 48 即：W=-a 48
根据题意得：33≤-a 48≤35 解得：13≤a≤15
因為a为正整数，所以a=13、14、15。
故共有三种购买方案，又因为W随a的增大而减小，
所以当a=15时，W最小，且W的最小值=-15 48=33（万元）。
因此，选择方案三总费用最低，最低费用为33万元。
在这个问题的解答过程中，首先根据题目给出的已知条件，先将实际应用问题转化为数学问题，找到问题中各个量之间的数量关系，再用方程或不等式将它们之间的数量关系表示出来；方法一就是利用得到的关系式，将符合条件的逐个进行计算，从计算所得结果中找到答案，方法二则利用转化的思想，巧妙地运用一次函数中自变量与函数值之间的变化关系，直接回答了需要解决的问题。这一方法的运用，既减少了逐一运算的麻烦，减少了运算量、降低了出错率，又出奇制胜地将方程、不等式、一次函数等知识的综合起来并灵活地运用，回答了需要解决的问题。
利用数学中的一题多解，不仅能调动学生学习数学的极大兴趣和热情，养成学生平时积极思考、努力钻研的习惯，而且还能引导启发学生，使他们学会分析问题解决问题的思路方法及解题技巧，培养学生的创造性思维，开发学生的智力，启迪学生的抽象思维能力，为将来更好地学习打下良好坚实的基础。但在数学课堂教学中，并不能一味地追求一题多解，也不是每个题目都有几种解法，更不是解法越多越好，一定要根据中学生的年龄特征、教学内容和认知水平，不能扩大化、钻牛角尖，对那些偏题、怪法要坚决遏制，对那些学生根本想象不到的方法教师要有选择性地去讲，对那些较复杂的、教师讲了学生难理解的方法也坚决不讲，对那些使得问题复杂化、将学生引入歧途的方法也坚决不讲，那些对启发培养学生思维能力没有多大益处的方法也坚决不讲。总之数学中的一题多解，要灵活地加以应用，不走弯路、不入歧途，真正使得一题多解起到应有的作用。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：王云，中学高级教师，甘肃省会宁县教学研究室。