论文部分内容阅读
摘 要：近年来，在南通市中考数学中，新定义题开始由以往的选择题、填空题转变为压轴题，越来越强调对学生自主学习能力和数学应用能力的考查。对此，本文结合近年来南通中考数学新定义题的命题特点，重点对初中数学教学的改进策略进行分析与思考，具有一定的现实参考性和借鉴性。
关键词：中考数学;新定义题;命题特点;教学启发
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）37-0011-02
引 言
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，全面落实生本理念，加强学生信息收集、整理与分析能力，以及发现、探究和解决问题能力的培养，指向每一位学生数学核心素养的发展。因此，新定义题作为考查学生数学核心素养的良好载体受到越来越多的关注，开始成为中考数学的主要题型[1]。所谓新定义题，就是为学生提供全新概念、全新运算、全新定理，要求学生在理解把握新定义的基础上，解决相应的数学问题。在此过程中，新定义题不仅能够对学生数学知识应用能力进行考查，而且能够对学生的自主学习能力、数学阅读理解能力进行考查。因此，加强新定义题命题特点和教学启示的研究，具有非常重要的现实指导意义。
一、南通市中考数学新定义题的命题特点
1.以原有概念为依托进行创造性编制
此类新定义题主要是概念上的全新界定，但考查的知识点却是旧的，只是多个概念结合后的新说法，或是对某种特定数学情形进行界定，以加深学生对知识的理解，具有较强的综合性和趣味性。
例1：（2017年南通卷第27题）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形。若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫作这个三角形的“内似线”。
（1）等边三角形内似线的条数为___？
（2）在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证BD是△ABC的“内似线”。
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长。
“内似线”实际上是综合了相似三角形判定、三角形内心、内切圆半径和勾股定理等知识后产生的一个新定义。第一小题是考查对学生三角形内心概念的理解，相对简单;第二小题是考查等腰三角形的性质，也不是很难;第三题重点考查的是勾股定理的应用，具有一定的难度。学生需要逐步厘清三角形边角之间的内在关系，有效掌握其内涵，属于原有知识的延伸。此类新定义题需要学生结合原有认知进行系统解题，是知识迁移的过程，有利于进一步完善学生知识系统，提高学生数学信息筛选、整理、运用的能力。
2.定义全新性质
此类新定义题就是给出一个全新定义，呈现数学表征内在的某种特性，要求学生精准抓住这一特性的数学本质，然后结合所学相关数学知识综合解题。
例2：（2018年南通卷第28题）圆O的直径AB=26，P是AB上（不与点A、B重合）任一点，点C、D为圆O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为圆O的“回旋角”。
（1）若∠BPC=∠DPC=60°，则∠CPD是圆O的“回旋角”吗？请说明理由。
（2）若弧CD的长为π，则“回旋角”∠CPD的度数是多少？
（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD周长为24+13，请直接给出AP的长。
该题作为压轴题，是以垂径定理为依据对线与圆关系中的某种特性进行的新定义，要求学生根据“回旋角”性质探究角与线条的具体关系，主要考查三点共线、锐角三角函数和勾股定理等知识。解题的关键是在正确理解“回旋角”本质的基础上，正确做出辅助线。
3.定义全新运算
此类新定义题就是为学生提供一个从前根本没有接触过的符号和已知运算，并通过相应的算式帮助学生理解其具体算理法则。尽管相关的思想方法是学生接触过和熟悉的，但形式却是陌生的，这就要求学生在解题过程中灵活运用已学数学思想，全面把握新算法的算理法则，然后将其迁移到具体问题中，解题过程中要具有较强的灵动性和迁移性，有效激活学生的数学思维，并培养提高学生分析、探究和解决数学问题的能力。
2019年南通市中考数学卷的压轴题，就是利用完全平方公式给出一个新的运算，并通过具体例子帮助学生加以理解。
例3：（2019年南通卷第28题）定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，则称点M（x，y）为“线点”。例如，点（0.2）和（-2，0）是“线点”。
已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）
（1）P1（3，1）和P2（-3，1）两点中，点 是“线点”;
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，求t的取值范围;
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当∠POQ-∠AOB=30°时，直接写出t的值。
本质上讲，该运算结果是完全平方公式变形后的取值范围。对于第一个小题，学生只需理解“线点”就是横纵坐标之和为-2的点，这样就很容易判断出P2属于线点。对于第二小题，学生可以首先利用完全平方公式的变形，用含t的代数式表示mn，然后利用非负性求出具体取值范围。第三小题可利用线点定义和题目已知条件，求出∠POB=15°或∠POA=15°，进而求出点P的坐标，随后将其代入新算法，就可得到t的值。该题主要考查学生的数学运算能力，尤其是对数学符号和新运算的理解应用能力。
二、南通中考数学新定义题的教学启示
虽然新定义题涉及许多陌生的概念、运算或符号等，但实际上是“换汤不换药”，属于已学数学知识的一种变相呈现。但客观来讲，南通中考数学新定义题的解题正确率并不高。之所以会如此，一是因为学生对新定义题存在较强的陌生感，产生了畏难心理和恐惧心理;二是因为学生无法精准挖掘新定义背后蕴含的数学信息，导致无法把握题目要义。为此，在日常教学实践中，教师要从以下两方面进行重点培养。
一方面，培养学生的数学语言转化与应用能力。新定义题需要学生精准理解新定义的内涵，并利用其解决实际数学问题，如定义新运算本质上考查的是学生的数学语言操作能力。为此，教师在教学实践中要有意识地加强此方面的训练，在教学新的定义或定理时，通过有效手段引导学生将文字语言转化为数学语言，从而在深化学生理解新定义的基础上，切实提高其数学语言操作能力。
另一方面，注重数学应用能力的培养，重点提高学生的数学核心素养。在数学教学实践中，教师要充分尊重学生的主体性，采取有效措施让学生深入參与教学活动，引导学生在自主思考中理解数学知识。也就是说，教师在教学实践中必须抓住数学知识本质，通过情境化的教学手段，引导学生自主思考和自主探究，在获取知识技能的过程中，加深对数学本质的把握与感悟，进而达到培养数学思维、发展核心素养的效果。
结 语
在初中数学教学中，教师要重点培养学生的数学逻辑思维能力。一定程度上来说，新定义题的解题过程，实际上是学生进行严谨的逻辑推演过程。这就要求教师有意识地培养学生这方面的能力，尤其是加强对陌生问题的逻辑推演训练，这是提高新定义题解题准确率的重要路径。
[参考文献]
胡玲君，郑旭常.基于核心素养的一道中考新定义题的命制历程[J].中学数学教学参考，2019（14）：52.
作者简介：陈敏敏（1979.7—），男，江苏海门人，中学一级教师。
关键词：中考数学;新定义题;命题特点;教学启发
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）37-0011-02
引 言
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，全面落实生本理念，加强学生信息收集、整理与分析能力，以及发现、探究和解决问题能力的培养，指向每一位学生数学核心素养的发展。因此，新定义题作为考查学生数学核心素养的良好载体受到越来越多的关注，开始成为中考数学的主要题型[1]。所谓新定义题，就是为学生提供全新概念、全新运算、全新定理，要求学生在理解把握新定义的基础上，解决相应的数学问题。在此过程中，新定义题不仅能够对学生数学知识应用能力进行考查，而且能够对学生的自主学习能力、数学阅读理解能力进行考查。因此，加强新定义题命题特点和教学启示的研究，具有非常重要的现实指导意义。
一、南通市中考数学新定义题的命题特点
1.以原有概念为依托进行创造性编制
此类新定义题主要是概念上的全新界定，但考查的知识点却是旧的，只是多个概念结合后的新说法，或是对某种特定数学情形进行界定，以加深学生对知识的理解，具有较强的综合性和趣味性。
例1：（2017年南通卷第27题）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形。若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫作这个三角形的“内似线”。
（1）等边三角形内似线的条数为___？
（2）在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证BD是△ABC的“内似线”。
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长。
“内似线”实际上是综合了相似三角形判定、三角形内心、内切圆半径和勾股定理等知识后产生的一个新定义。第一小题是考查对学生三角形内心概念的理解，相对简单;第二小题是考查等腰三角形的性质，也不是很难;第三题重点考查的是勾股定理的应用，具有一定的难度。学生需要逐步厘清三角形边角之间的内在关系，有效掌握其内涵，属于原有知识的延伸。此类新定义题需要学生结合原有认知进行系统解题，是知识迁移的过程，有利于进一步完善学生知识系统，提高学生数学信息筛选、整理、运用的能力。
2.定义全新性质
此类新定义题就是给出一个全新定义，呈现数学表征内在的某种特性，要求学生精准抓住这一特性的数学本质，然后结合所学相关数学知识综合解题。
例2：（2018年南通卷第28题）圆O的直径AB=26，P是AB上（不与点A、B重合）任一点，点C、D为圆O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为圆O的“回旋角”。
（1）若∠BPC=∠DPC=60°，则∠CPD是圆O的“回旋角”吗？请说明理由。
（2）若弧CD的长为π，则“回旋角”∠CPD的度数是多少？
（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD周长为24+13，请直接给出AP的长。
该题作为压轴题，是以垂径定理为依据对线与圆关系中的某种特性进行的新定义，要求学生根据“回旋角”性质探究角与线条的具体关系，主要考查三点共线、锐角三角函数和勾股定理等知识。解题的关键是在正确理解“回旋角”本质的基础上，正确做出辅助线。
3.定义全新运算
此类新定义题就是为学生提供一个从前根本没有接触过的符号和已知运算，并通过相应的算式帮助学生理解其具体算理法则。尽管相关的思想方法是学生接触过和熟悉的，但形式却是陌生的，这就要求学生在解题过程中灵活运用已学数学思想，全面把握新算法的算理法则，然后将其迁移到具体问题中，解题过程中要具有较强的灵动性和迁移性，有效激活学生的数学思维，并培养提高学生分析、探究和解决数学问题的能力。
2019年南通市中考数学卷的压轴题，就是利用完全平方公式给出一个新的运算，并通过具体例子帮助学生加以理解。
例3：（2019年南通卷第28题）定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，则称点M（x，y）为“线点”。例如，点（0.2）和（-2，0）是“线点”。
已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）
（1）P1（3，1）和P2（-3，1）两点中，点 是“线点”;
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，求t的取值范围;
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当∠POQ-∠AOB=30°时，直接写出t的值。
本质上讲，该运算结果是完全平方公式变形后的取值范围。对于第一个小题，学生只需理解“线点”就是横纵坐标之和为-2的点，这样就很容易判断出P2属于线点。对于第二小题，学生可以首先利用完全平方公式的变形，用含t的代数式表示mn，然后利用非负性求出具体取值范围。第三小题可利用线点定义和题目已知条件，求出∠POB=15°或∠POA=15°，进而求出点P的坐标，随后将其代入新算法，就可得到t的值。该题主要考查学生的数学运算能力，尤其是对数学符号和新运算的理解应用能力。
二、南通中考数学新定义题的教学启示
虽然新定义题涉及许多陌生的概念、运算或符号等，但实际上是“换汤不换药”，属于已学数学知识的一种变相呈现。但客观来讲，南通中考数学新定义题的解题正确率并不高。之所以会如此，一是因为学生对新定义题存在较强的陌生感，产生了畏难心理和恐惧心理;二是因为学生无法精准挖掘新定义背后蕴含的数学信息，导致无法把握题目要义。为此，在日常教学实践中，教师要从以下两方面进行重点培养。
一方面，培养学生的数学语言转化与应用能力。新定义题需要学生精准理解新定义的内涵，并利用其解决实际数学问题，如定义新运算本质上考查的是学生的数学语言操作能力。为此，教师在教学实践中要有意识地加强此方面的训练，在教学新的定义或定理时，通过有效手段引导学生将文字语言转化为数学语言，从而在深化学生理解新定义的基础上，切实提高其数学语言操作能力。
另一方面，注重数学应用能力的培养，重点提高学生的数学核心素养。在数学教学实践中，教师要充分尊重学生的主体性，采取有效措施让学生深入參与教学活动，引导学生在自主思考中理解数学知识。也就是说，教师在教学实践中必须抓住数学知识本质，通过情境化的教学手段，引导学生自主思考和自主探究，在获取知识技能的过程中，加深对数学本质的把握与感悟，进而达到培养数学思维、发展核心素养的效果。
结 语
在初中数学教学中，教师要重点培养学生的数学逻辑思维能力。一定程度上来说，新定义题的解题过程，实际上是学生进行严谨的逻辑推演过程。这就要求教师有意识地培养学生这方面的能力，尤其是加强对陌生问题的逻辑推演训练，这是提高新定义题解题准确率的重要路径。
[参考文献]
胡玲君，郑旭常.基于核心素养的一道中考新定义题的命制历程[J].中学数学教学参考，2019（14）：52.
作者简介：陈敏敏（1979.7—），男，江苏海门人，中学一级教师。