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联通，即联系、贯通之意。“联通”在学习及应用数学知识时的作用非常明显。因为小学数学本身是一个相对完整的体系，一旦把它分解到12本书、100多个单元、近千个课时中，就显得有些“支离破碎”。所以在数学学习过程中，尤其应当重视“联通”，这样可以使学生的数学学习由表及里、由此及彼，在比較中鉴别，在融汇中贯通。在一次数学教研活动中，以人教版四年级下册的内容——“交换律”为例进行教学，例谈“联通”艺术。由此第一位教师进行了第一次试教。
【第一次试教过程】
照本宣科 材料不充分
出示主题图，导入教学：
师：出示情景，提出什么数学问题？能解决吗？
生：28 15=43（个）；15 28=43（个）
师：比较两个算式，得出 28 15=15 28
师：这样的算式还有吗？生举例
生：100 25=25 100 ；300 400=400 300
师：这样的算式很多很多，这些算式有什么特征？
生：交换加数的位置，和不变
师：揭题，加法交换律
师：写不完可以用什么方式来代替？ a b=b a
【案例透析】
本次教学教师循规蹈矩，照本宣科，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点，显得材料不充分，我们说交换律的教学一般先是提出猜想，再枚举例子，最后验证，得出规律。而本环节教学学生学得比较被动，师生之间的互动也总是处于一问一答乒乓球式的状态，课堂中留给学生思考的空间和时间也不充分，缺乏让学生经历“做数学”的过程。
【第二次试教过程】
提供材料 体验不充分
师：讲述朝三暮四的故事，听故事发表感想。一只猴子一天一共吃多少颗橡子？怎么列式？
生：3 4=7（颗） 4 3=7（颗）
师：比较这两个算式，你发现了什么？
生：交换两个加数的位置，和不变
师：在加法里，交换两个加数的位置，和一定是不变的吗？在数学中，这只是一个猜测，还需要举例来验证。
生讨论：是不是所有交换加数的位置和都不变？
师：像这样的等式你能再写几个吗?板书学生的例子（5个例子），类似这样的等式能写完吗?
生：不能
师；两个数相加，交换加数位置，和不变，像这样的叫加法交换律。在数学上，我们通常用字母a和b来表示两个加数，那么，加法交换律就可以写成：a b=b a
【案例透析】
本次教学教师采用不完全归纳法进行研究，提供的材料比较充分，但不完全归纳法中从个别到一般枚举的例子中，学生对总结交换律过程的体验不充分，特别是反例方法的验证还很欠缺。那么交换律的感悟总结需要怎样的充分呢？
通过第三次试教，教师直接揭题，出示32 19 18，引出问题，在教师指导下探究加法交换律；通过问题链接到减法中的交换会是怎样，探究减法性质；从算理上来理解为什么有加法交换律而没有减法交换律；通过乘法和除法中谁会与减法中的交换情形比较相似，相似在哪里，引出除法性质；引导学生用在探究加法交换律中习得的方法去验证乘法交换律；从算理上来理解为什么有乘法交换律而没有除法交换律；接着是学习小结和回顾；最后通过设问“除了交换律你还知道什么运算定律”来进一步引申到课外学习。教师之所以这样设计正因为交换律知识本身浅显易懂，本节课中教师充分创设了条件，提供大量材料，发挥学生的主体性、主动性，充分经历交换律的探究过程，习得合情推理、验证的方法与习惯，理解加法交换律、乘法交换律、减法性质、除法性质之间的区别与联系，从算理上来解释加法和乘法交换律、减法和除法性质存在的理由，使学生的理解与感悟由表及里、由此及彼。
【课后综述】
我们知道规律的感悟总结需要充分，从第三次教学中我们看到教师把教学过程和数学本体知识进行了联通，并有效促进了学生的主动思考，让学生的思维由表及里，步步深入，由此及彼，层层递进。这一节课教师将原来的“加法交换律”置换成了“交换律，把主要目标定位于沟通加法交换律、乘法交换律、减法性质、除法性质之间的区别与联系。所以教师就例谈“课中点击的6个问题”，把“联通”的艺术在整个教学过程中展露无疑。
一、由表及里，步步深入
1.由个别到一般。学生从一年级开始，就在加法的计算和验算中接触过四则运算中的一些性质与规律，有较多的感性认识，这是学习加法交换律和结合律的基础。而本课的学习，教材安排不完全归纳推理，属于理性的总结和概括。所以，课始通过投影呈现二年级的口算，激活学生已有的认知经验。但这只是表象上的认识，一方面学生只知道在具体的题目中能不能交换；另一方面对于为什么能交换很少有学生去思考过。所以，当教师问“是不是所有的加法中都是交换加数的位置和不变呢”时，就引发了学生之间的争议，也正是这个争议引导学生的认识逐步走向深入，并展开了充分的验证。从反馈中发现，既有一位数 两位数、两位数 三位数……的式子，也有整数加法、分数加法，还举出了小数加法。当学生再也没有举反例时，师生一起总结出了“任何两个加数交换位置，和不变，叫做加法交换律”。
接下来的练习（） （）=（） （），教师提问：“同学们，这里能不能用一个式子把大家想说的表示出来呢？”学生有的用图形、用字母、用文字……最后说明数学上统一用a b=b a表示，把学生对加法交换律的认识进一步引向深入，从个别到一般，把对特例的发现上升为具有普遍意义的规律和性质，从而实现对加法交换律的本质上把握。
2.由偏面到全面
探究加法交换律后，学生认为减法中交换位置结果要变是第一直觉。但这时只要给学生些许时间或教师稍加提醒，学生的思维就会从表象认识逐步走向深刻。出现了两数相同时交换位置结果不变，如4-4=4-4，还有在连减时可以交换两个减数的位置，如11-5-3=11-3-5，由此知道减法中有不同情况，因此没有减法交换律，数学上称为减法性质。这样，学生对于减法中交换的情况有了一个全面、客观的认识。
3.由感性到理性
在小学数学中，限于学生的知识水平，很多结论可以不用严格推理，而用不完全归纳法得到。交换律的验证采用的就是不完全归纳法，相关的例子是举不完的，而我们知道在验证过程中只要有一个反例就可以推翻结论的成立，这就需要算理的理解做支撑。所以，当学生通过举例并计算，认为“在乘法中交换因数位置积不变”这个结论成立时，教师进一步提出了“为什么式子不同，结果会相等呢”，引导学生从算理上去理解乘法交换律成立的理由。
当学生的理解有困难时，教师通过画有15个小圆圈的图，引导学生横着看发现有3个5，竖着看有5个3，都是15个，形象生动地帮助学生把理解从感性认识走向理性认识。
二、由此及彼，层层递进
1.由加法到减法。这是在研究完加法交换律之后向研究减法中交换情况的一个过渡，在程序上实现了研究加法交换律和减法交换情况的转变，更是在思维发展上为学生提供了比较鉴别的机会。在大部分学生通过比较认为是乘法与加法中交换的情形比较相似，似乎理所应当研究乘法中交换的情况时，教师却抛出了“怎么就没人认为是减法呢”这么一个问题，使教学峰回路转，再一次激活学生的思维。
2.由减法到除法。这是在研究完减法中交换的情况之后向研究除法中交换情况的一个过渡。“乘、除中哪一个和减法交换的情况相似”与教师说“除法和减法中交换的情况相类似”，效果显然是不一样的。后者是教师的讲授，学生无需主动思考，记着就行了。记住了只是一个知识点，学会了才是一种智慧。就像前者的提问，促使学生去主动思考、去甄别。尤其是“相似在哪里”的进一步提问，还要“考虑的尽量完整一些，可以把它写下来”，促使学生的思考变得更为冷静和有序。
3.由学法到用法。认识交换律的同时又习得运算定律验证的方法，是本课的主要目标之一。所以，本课设计先让学生在教师指导下经历加法交换律的猜想——验证——结论这样一个过程，从中习得验证、归纳的基本思想和能力。然后将习得的方法、能力在探索乘法交换律时得以体现和巩固，在整个过程中积累活动和探索的经验。在教学中我们发现，这个设想基本达成。在研究加法交换律时出示的研究提示，学生在研究乘法交换律基本体现，他们无一例外地都举了好几个例子，并绝大多数有计算过程。在尽量考虑各种情况方面，学生中出现了1乘以任何数、0乘以任何数、相同两个数、不同三个数等各种情况。在反馈即将结束的时候，有一个学生说“我仔细想过，没有一个例子可以证明在乘法中交换因数位置积会变”，说明“反证”思想在学生脑中留下了根。
布鲁纳认为：“学习者在一定的问题情境中，对学习材料的亲身体验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西”。所以在教学中要提供充分的材料，让学生充分经历体验、感悟交换律，经历“做数学”的过程，从而发现事物的规律。第三次教学中“由表及里、由此及彼”的教学环节，让“联通”艺术在交换律这节课中绽放奇葩。
【第一次试教过程】
照本宣科 材料不充分
出示主题图，导入教学：
师：出示情景，提出什么数学问题？能解决吗？
生：28 15=43（个）；15 28=43（个）
师：比较两个算式，得出 28 15=15 28
师：这样的算式还有吗？生举例
生：100 25=25 100 ；300 400=400 300
师：这样的算式很多很多，这些算式有什么特征？
生：交换加数的位置，和不变
师：揭题，加法交换律
师：写不完可以用什么方式来代替？ a b=b a
【案例透析】
本次教学教师循规蹈矩，照本宣科，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点，显得材料不充分，我们说交换律的教学一般先是提出猜想，再枚举例子，最后验证，得出规律。而本环节教学学生学得比较被动，师生之间的互动也总是处于一问一答乒乓球式的状态，课堂中留给学生思考的空间和时间也不充分，缺乏让学生经历“做数学”的过程。
【第二次试教过程】
提供材料 体验不充分
师：讲述朝三暮四的故事，听故事发表感想。一只猴子一天一共吃多少颗橡子？怎么列式？
生：3 4=7（颗） 4 3=7（颗）
师：比较这两个算式，你发现了什么？
生：交换两个加数的位置，和不变
师：在加法里，交换两个加数的位置，和一定是不变的吗？在数学中，这只是一个猜测，还需要举例来验证。
生讨论：是不是所有交换加数的位置和都不变？
师：像这样的等式你能再写几个吗?板书学生的例子（5个例子），类似这样的等式能写完吗?
生：不能
师；两个数相加，交换加数位置，和不变，像这样的叫加法交换律。在数学上，我们通常用字母a和b来表示两个加数，那么，加法交换律就可以写成：a b=b a
【案例透析】
本次教学教师采用不完全归纳法进行研究，提供的材料比较充分，但不完全归纳法中从个别到一般枚举的例子中，学生对总结交换律过程的体验不充分，特别是反例方法的验证还很欠缺。那么交换律的感悟总结需要怎样的充分呢？
通过第三次试教，教师直接揭题，出示32 19 18，引出问题，在教师指导下探究加法交换律；通过问题链接到减法中的交换会是怎样，探究减法性质；从算理上来理解为什么有加法交换律而没有减法交换律；通过乘法和除法中谁会与减法中的交换情形比较相似，相似在哪里，引出除法性质；引导学生用在探究加法交换律中习得的方法去验证乘法交换律；从算理上来理解为什么有乘法交换律而没有除法交换律；接着是学习小结和回顾；最后通过设问“除了交换律你还知道什么运算定律”来进一步引申到课外学习。教师之所以这样设计正因为交换律知识本身浅显易懂，本节课中教师充分创设了条件，提供大量材料，发挥学生的主体性、主动性，充分经历交换律的探究过程，习得合情推理、验证的方法与习惯，理解加法交换律、乘法交换律、减法性质、除法性质之间的区别与联系，从算理上来解释加法和乘法交换律、减法和除法性质存在的理由，使学生的理解与感悟由表及里、由此及彼。
【课后综述】
我们知道规律的感悟总结需要充分，从第三次教学中我们看到教师把教学过程和数学本体知识进行了联通，并有效促进了学生的主动思考，让学生的思维由表及里，步步深入，由此及彼，层层递进。这一节课教师将原来的“加法交换律”置换成了“交换律，把主要目标定位于沟通加法交换律、乘法交换律、减法性质、除法性质之间的区别与联系。所以教师就例谈“课中点击的6个问题”，把“联通”的艺术在整个教学过程中展露无疑。
一、由表及里，步步深入
1.由个别到一般。学生从一年级开始，就在加法的计算和验算中接触过四则运算中的一些性质与规律，有较多的感性认识，这是学习加法交换律和结合律的基础。而本课的学习，教材安排不完全归纳推理，属于理性的总结和概括。所以，课始通过投影呈现二年级的口算，激活学生已有的认知经验。但这只是表象上的认识，一方面学生只知道在具体的题目中能不能交换；另一方面对于为什么能交换很少有学生去思考过。所以，当教师问“是不是所有的加法中都是交换加数的位置和不变呢”时，就引发了学生之间的争议，也正是这个争议引导学生的认识逐步走向深入，并展开了充分的验证。从反馈中发现，既有一位数 两位数、两位数 三位数……的式子，也有整数加法、分数加法，还举出了小数加法。当学生再也没有举反例时，师生一起总结出了“任何两个加数交换位置，和不变，叫做加法交换律”。
接下来的练习（） （）=（） （），教师提问：“同学们，这里能不能用一个式子把大家想说的表示出来呢？”学生有的用图形、用字母、用文字……最后说明数学上统一用a b=b a表示，把学生对加法交换律的认识进一步引向深入，从个别到一般，把对特例的发现上升为具有普遍意义的规律和性质，从而实现对加法交换律的本质上把握。
2.由偏面到全面
探究加法交换律后，学生认为减法中交换位置结果要变是第一直觉。但这时只要给学生些许时间或教师稍加提醒，学生的思维就会从表象认识逐步走向深刻。出现了两数相同时交换位置结果不变，如4-4=4-4，还有在连减时可以交换两个减数的位置，如11-5-3=11-3-5，由此知道减法中有不同情况，因此没有减法交换律，数学上称为减法性质。这样，学生对于减法中交换的情况有了一个全面、客观的认识。
3.由感性到理性
在小学数学中，限于学生的知识水平，很多结论可以不用严格推理，而用不完全归纳法得到。交换律的验证采用的就是不完全归纳法，相关的例子是举不完的，而我们知道在验证过程中只要有一个反例就可以推翻结论的成立，这就需要算理的理解做支撑。所以，当学生通过举例并计算，认为“在乘法中交换因数位置积不变”这个结论成立时，教师进一步提出了“为什么式子不同，结果会相等呢”，引导学生从算理上去理解乘法交换律成立的理由。
当学生的理解有困难时，教师通过画有15个小圆圈的图，引导学生横着看发现有3个5，竖着看有5个3，都是15个，形象生动地帮助学生把理解从感性认识走向理性认识。
二、由此及彼，层层递进
1.由加法到减法。这是在研究完加法交换律之后向研究减法中交换情况的一个过渡，在程序上实现了研究加法交换律和减法交换情况的转变，更是在思维发展上为学生提供了比较鉴别的机会。在大部分学生通过比较认为是乘法与加法中交换的情形比较相似，似乎理所应当研究乘法中交换的情况时，教师却抛出了“怎么就没人认为是减法呢”这么一个问题，使教学峰回路转，再一次激活学生的思维。
2.由减法到除法。这是在研究完减法中交换的情况之后向研究除法中交换情况的一个过渡。“乘、除中哪一个和减法交换的情况相似”与教师说“除法和减法中交换的情况相类似”，效果显然是不一样的。后者是教师的讲授，学生无需主动思考，记着就行了。记住了只是一个知识点，学会了才是一种智慧。就像前者的提问，促使学生去主动思考、去甄别。尤其是“相似在哪里”的进一步提问，还要“考虑的尽量完整一些，可以把它写下来”，促使学生的思考变得更为冷静和有序。
3.由学法到用法。认识交换律的同时又习得运算定律验证的方法，是本课的主要目标之一。所以，本课设计先让学生在教师指导下经历加法交换律的猜想——验证——结论这样一个过程，从中习得验证、归纳的基本思想和能力。然后将习得的方法、能力在探索乘法交换律时得以体现和巩固，在整个过程中积累活动和探索的经验。在教学中我们发现，这个设想基本达成。在研究加法交换律时出示的研究提示，学生在研究乘法交换律基本体现，他们无一例外地都举了好几个例子，并绝大多数有计算过程。在尽量考虑各种情况方面，学生中出现了1乘以任何数、0乘以任何数、相同两个数、不同三个数等各种情况。在反馈即将结束的时候，有一个学生说“我仔细想过，没有一个例子可以证明在乘法中交换因数位置积会变”，说明“反证”思想在学生脑中留下了根。
布鲁纳认为：“学习者在一定的问题情境中，对学习材料的亲身体验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西”。所以在教学中要提供充分的材料，让学生充分经历体验、感悟交换律，经历“做数学”的过程，从而发现事物的规律。第三次教学中“由表及里、由此及彼”的教学环节，让“联通”艺术在交换律这节课中绽放奇葩。