【摘要】三角函数定理的推导公式有很多，且关于三角函数的题型更是层出不穷，那么在解三角函数恒等变换及求解三角函数最值的问题时，最重要的就是正确地把握住解题的方向，有目的地对三角函数进行变换，从而优化求解过程.本文将对三角函数恒等变换及三角函数最值问题等题型进行分析.
　　【关键词】三角函数;恒等变换;最值问题
　　一、三角函数恒等变换题型解题思路
　　公式法直接求解、三角结构变换、消元变换等，都是解决三角函数恒等变换过程中的重要思想方法，相比利用三角函数的公式和定理解题而言，更为抽象一些.
　　1.1 公式法
　　运用公式解题是三角函数中最简单，也是最直接的一种解题思路，然而很多时候我们都无法直接运用公式进行三角函数的恒等变换，那么我们就要灵活地逆用三角函数公式，将题目有效化简.这就要求同学们对三角函数的公式十分熟悉，并且有运用和逆用三角函数公式的意识.
　　例1 求（3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）的值.
　　分析 在求题目中三角函数的值时，首先，我们要观察式子的角度，发现角度都为12°，不需要进行角之间的变化.其次，我们要观察式子中的三角名称，会发现式子中既有tan，sin，也有cos，那么此时，我们就要采用公式法，巧妙地逆用三角函数公式中的二倍角公式、差角公式、再次逆用二倍角公式将目标式恒等变换，然后求出式子的值.
　　解 （3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）
　　=3sin 12°cos 12°-3·1sin 12°÷（4cos212°-2）
　　=（3sin 12°-3cos 12°）÷[（2sin 12°·cos 12°）·（2cos212°-1）]
　　=2312sin 12°-cos 12°·32÷（sin 24°·cos 24°）（逆用二倍角公式）
　　=23（sin 12°·cos 60°-cos 12°·sin 60°）÷（sin 24°·cos 24°）
　　=43sin[12°-60°）÷[2（sin 24°·cos 24°）]（逆用差角公式）
　　=43sin （-48°）÷sin 48° （逆用二倍角公式）
　　=-43.
　　1.2 结构变换法
　　变换三角函数式的结构主要是利用降幂或者升幂，以及常数代换等方法，改变题干中不熟悉的三角结构，进而变化为我们熟知的或题干中已知的三角结构.变换三角函数式的结构是解决三角恒等变换题型时比较抽象的一种数学思想方法，这对同学们掌握三角函数中各类结构的要求比较高.
　　例2 已知cos（α-β）=3sin（α β），求14sin22α sin2β cos4α的值.
　　分析 通过观察题干，我们可以发现题干中已知条件和要求的目标式子都很复杂，角比较多、幂也各不相同，为了方便我们解题，我们必须要对题干中的式子进行结构变换.
　　解 14sin22α sin2β cos4α
　　=14sin22α 1-cos 2β2 1 cos 2α22
　　=14（sin22α cos22α） 12 14 12cos 2α-cos 2β
　　=1-sin（α β）sin（α-β）.
　　∵cos（α-β）=3sin（α β），
　　∴sin（α β）sin（α-β）=13，
　　∴原式=1-13=23.
　　1.3 消元法
　　消元法是高中數学中最重要的一种策略，它可以被运用在各个类型的数学题目中，当然三角函数恒等变换这一题型也可以巧妙利用它.消元法的解题步骤主要是：首先确定所需要使用的“一”，一般我们会选择运算量大的函数解析式;然后进行归“一”，使得其他的解析式都用这个“一”来表示;最后“消元”，将所有数据代入原式计算.
　　例3 设α，β为锐角，且3sin2α 2sin2β=1，3sin 2α-2sin 2β=0，求证：α 2β=π2.
　　分析 在本题中，想要求证α 2β=π2，就需要证明sin （α 2β）=0，或者cos （α 2β）=1.知道这一点之后，我们就可以利用消元法，想办法将这两个式子中的一个引导出来，从而求证目标式子.
　　解 ∵3sin2α 2sin2β=1，
　　∴3sin2α=1-2sin2β=cos 2β.
　　∵3sin 2α-2sin 2β=0，
　　∴3sin α·cos α=sin 2β.
　　∵sin22β cos22β=1，
　　∴9sin4α 9sin2α·cos2α=1，
　　∴9sin2α·（sin2α cos2α）=1.
　　∴9sin2α=1，sin2α=19.
　　∵0