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摘要：本章研究对象为无限大平板双向拉伸Ⅰ型裂纹混凝土板。应用Muskhelishvil应力函数全场解导出裂纹尖端微裂区和断裂过程区的过程值及临界值的解析表达式，在假设混凝土的拉应变软化曲线为幂函数形式的情况下分析混凝土软化指数对断裂过程区过程值和临界值的影响，并求得了等效断裂过程区的表达式。
关键词：软化指数；混凝土断裂；尺度；影响
混凝土是当代最广泛的建筑材料之一，它是由粗骨料、细骨料和水泥组成的多相材料。从微观上讲，混凝土是非均质的、多孔多相的，并且在骨料和胶结物质之间存在和许多微裂纹，所以相对于金属而言，混凝土结构的断裂情况是更为复杂的，而且混凝土在破坏之前会有显著的微裂区和断裂过程区。并且微裂区的尺寸较大，因此除了大体积混凝土之外，应用线弹性断裂力学解决这类问题是不合适的。此外，混凝土的塑性区和金属的塑性区也完全不同，除了微裂区和断裂过程区的尺寸比本金属材料的塑性区大几个数量级之外，其物理性能也有很大的差别。对于金属材料来说，在其裂纹尖端会随着荷载的增加，而发生屈服，并且在屈服后其应力保持不变或增大（考虑金属的硬化现象）。但是混凝土不存在屈服区，而是当荷载达到材料的屈服强度之后会产生微裂区，这使得裂纹尖端部分区域的承载力将会下降，但是由于骨料的桥连作用，使得其还能传递一定的内力。从宏观角度看表现为材料粘结力的下降，人们将这种由于裂纹尖端由于微裂区的出现而消弱了裂纹前缘部分传递内力的能力的现象称为材料的软化行为。各国研究者试图通过各种实验方法来测得断裂过程区（FPZ）的尺寸，如激光散斑法、声发射法、光弹性贴片法等，但是都没有得到非常理想的结果。
胡若邻等基于Westergaard应力函数和Muskhelishvil应力函数根据幂指数描述的拉应变软化模型确定了考虑应力松弛影响的断裂过程区临界值的解析表达式，讨论了不同的破坏强度准则及材料参数对断裂过程区临界值的影响。
虚拟裂纹模型：带裂纹的混凝土构件在受到外界荷载后，在裂纹尖端会产生应力集中现象，在裂纹尖端会产生很多微小的裂纹，并且在裂纹尖端的地方微裂纹较为密集，宽度也较大，随着远离裂纹尖端微裂纹会慢慢减少直至消失。在微裂区（软化区）内，混凝土传递内力的能力与微裂纹的变形存在着某种反比关系，即随着微裂区扩展宽度的增加，传递内力的能力会降低，当微裂区的宽度达到材料的极限宽度W时，混凝土传递内力的能力变为零，并出现宏观的裂纹即真实的裂纹。基于混凝土裂纹扩展的特点，A.Hillerborg等人与1976年提出了虚拟裂纹模型，将裂纹尖端的微裂区简化成为一条可以传递内力的“虚裂纹”，（1）当裂纹尖端的最大拉应力达到混凝土的最大压应力σu时，微裂纹开始出现并随着外力的增加逐渐发展成为微裂缝区。（2）裂纹尖端虽然形成了微裂区，但材料依然可以传递部分的内力，该微裂区用一约束裂纹代替。微裂区传递应力的能力由其张开宽度W决定，也就是遵循微裂区和FCM模型σ-W规律。这种将能够传递部分应力的微裂区看成是虚拟的约束裂纹的模型就是虚拟裂纹模型。（3）假设虚裂纹初始的张开宽度W是零，并随着外力的增加逐渐增大。当张开宽度达到材料的临界值W时，微裂纹完全丧失传递内力的能力，此时虚裂纹就变成了真是的裂纹，与此同时，在前面又形成新的虚拟裂纹。这就是裂纹的亚临界扩展。（4）就整个结构而言，除了微裂区以外的区域均处于线弹性状态.裂纹尖端应力分布和裂纹的亚临界扩展过程中展示了裂纹尖端的应力分布。
在虚拟裂纹中，软化指数和断裂能是两个重要的基本参数。软化指数是指材料在受拉时，当应力达到材料的最大抗拉强度后，其应力应变关系。断裂能是材料单位面积完全开裂所吸收的能量。为了数值计算的方便，常用的混凝土软化曲线有直线型、折线形和幂指数形。
微裂区的解析表达式：
众所周知，弹性力学平面问题可以归结为求解一个满足调和方程22φ=0。的应力函数φ，并使其在弹性体边界上满足全部边界条件。当确定了Airy应力函数φ以后，就可以根据式（2-1）求出各应力分量（不记体力），然后可以根据平面问题中的物理方程和几何方程就可以求出应变分量和位移分量。因此解决问题的关键是得到双调和函数φ。在数学的范围内，复变解析函数的实数部分和虚数部分都是双调和函数。
可以看出，解析函数Z（z）的导数Z′（z）与积分Zz的实数部分和虚数部分也是双调和函数，并且它们与x，y的线性组合也都是双调和函数。
混凝土的断裂过程区过程值及临界值：
为了便于处理混凝土的断裂过程区出现的软化，本文采用了幂函数模型描述混凝土断裂过程区的应力应变关系。
基本假设：
（1）断裂过程区处于裂纹尖端并沿裂纹方向呈带状分布，即与σ1相垂直；
（2）断裂过程区内的最大拉应力等于σu，由幂函数表示拉应变软化曲线。当θ=0时，设rp为断裂过程区的长度，0rrapp=是无量纲参数。在此范围内，Ⅰ型裂纹尖端的应力σy表示。
（3）断裂过程区以外均处于弹性状态，且拉、压弹性模量相同（实用上，可以更严格的假定压应力水平在混凝土强度的50%以内）；
（4）与Dugdale模型相仿，考虑裂纹尖端的应力松弛现象，根据合力等效原则当断裂过程区没有完全形成时，即当KI 等效断裂过程区的解析表达式：将（a+ry）和（rp-ry）代替公式中的a和r00c，可以得到基于Muskhelishvil应力函数应用最大拉应力强度理论确定的等效断裂过程区临界值的表达式将（a+ry）和（rp-ry）代替公式中的a和r01c，可以得到基于Muskhelishvil应力函数应用最大拉应变强度理论（平面应力）确定的等效断裂过程区临界值的表达式将（a+ry）和（rp-ry）代替公式中的a和r02c，可以得到基于Muskhelishvil应力函数应用最大拉应变强度理论（平面应变）确定的等效断裂过程区临界值的表达式
软化指数对断裂过程区过程值及临界值的影响：各个参数取值取值情况：混凝土的断裂韧度K=0.5MPa·m1/2IC，极限强度σu=2.6MPa，初始裂纹a=0.05m。基于最大拉应变强度理论，在平面应力或平面应变状态下，不同软化指数n和泊松比ν下断裂过程区过程值rp与应力强度因子KI的关系；软化指数n对断裂过程区临界值rpc的影响。从中可以得出断裂过程区的过程值和临界值随着软化指数的增加而增加，且在不同的泊松比下这种变化规律相近。
应用Muskhelishvil應力函数全场解，根据幂指数函数描述的混凝土拉应变软化模型导出的断裂过程区（FPZ）过程值及临界值的解析表达式，分析了在最大拉应变强度理论下软化指数对断裂过程区过程值及临界值的影响，可以描述混凝土断裂过程区形成和扩展的全过程。基于虚拟裂纹模型，假设断裂过程区沿裂纹延长线呈带状分布，将不同泊松比下软化指数对应的断裂过程区过程值及临界值进行比较。结果表明混凝土的断裂过程区过程值及临界值都随着软化指数的增加而增加，不同泊松比下具有类似变化规律；平面应变下断裂过程区尺度小于平面应力下的尺度。应用Muskhelishvil应力函数全场解，给出了等效断裂过程的表达式。（作者单位：内蒙古自治区建材产品质量检验院）
关键词：软化指数；混凝土断裂；尺度；影响
混凝土是当代最广泛的建筑材料之一，它是由粗骨料、细骨料和水泥组成的多相材料。从微观上讲，混凝土是非均质的、多孔多相的，并且在骨料和胶结物质之间存在和许多微裂纹，所以相对于金属而言，混凝土结构的断裂情况是更为复杂的，而且混凝土在破坏之前会有显著的微裂区和断裂过程区。并且微裂区的尺寸较大，因此除了大体积混凝土之外，应用线弹性断裂力学解决这类问题是不合适的。此外，混凝土的塑性区和金属的塑性区也完全不同，除了微裂区和断裂过程区的尺寸比本金属材料的塑性区大几个数量级之外，其物理性能也有很大的差别。对于金属材料来说，在其裂纹尖端会随着荷载的增加，而发生屈服，并且在屈服后其应力保持不变或增大（考虑金属的硬化现象）。但是混凝土不存在屈服区，而是当荷载达到材料的屈服强度之后会产生微裂区，这使得裂纹尖端部分区域的承载力将会下降，但是由于骨料的桥连作用，使得其还能传递一定的内力。从宏观角度看表现为材料粘结力的下降，人们将这种由于裂纹尖端由于微裂区的出现而消弱了裂纹前缘部分传递内力的能力的现象称为材料的软化行为。各国研究者试图通过各种实验方法来测得断裂过程区（FPZ）的尺寸，如激光散斑法、声发射法、光弹性贴片法等，但是都没有得到非常理想的结果。
胡若邻等基于Westergaard应力函数和Muskhelishvil应力函数根据幂指数描述的拉应变软化模型确定了考虑应力松弛影响的断裂过程区临界值的解析表达式，讨论了不同的破坏强度准则及材料参数对断裂过程区临界值的影响。
虚拟裂纹模型：带裂纹的混凝土构件在受到外界荷载后，在裂纹尖端会产生应力集中现象，在裂纹尖端会产生很多微小的裂纹，并且在裂纹尖端的地方微裂纹较为密集，宽度也较大，随着远离裂纹尖端微裂纹会慢慢减少直至消失。在微裂区（软化区）内，混凝土传递内力的能力与微裂纹的变形存在着某种反比关系，即随着微裂区扩展宽度的增加，传递内力的能力会降低，当微裂区的宽度达到材料的极限宽度W时，混凝土传递内力的能力变为零，并出现宏观的裂纹即真实的裂纹。基于混凝土裂纹扩展的特点，A.Hillerborg等人与1976年提出了虚拟裂纹模型，将裂纹尖端的微裂区简化成为一条可以传递内力的“虚裂纹”，（1）当裂纹尖端的最大拉应力达到混凝土的最大压应力σu时，微裂纹开始出现并随着外力的增加逐渐发展成为微裂缝区。（2）裂纹尖端虽然形成了微裂区，但材料依然可以传递部分的内力，该微裂区用一约束裂纹代替。微裂区传递应力的能力由其张开宽度W决定，也就是遵循微裂区和FCM模型σ-W规律。这种将能够传递部分应力的微裂区看成是虚拟的约束裂纹的模型就是虚拟裂纹模型。（3）假设虚裂纹初始的张开宽度W是零，并随着外力的增加逐渐增大。当张开宽度达到材料的临界值W时，微裂纹完全丧失传递内力的能力，此时虚裂纹就变成了真是的裂纹，与此同时，在前面又形成新的虚拟裂纹。这就是裂纹的亚临界扩展。（4）就整个结构而言，除了微裂区以外的区域均处于线弹性状态.裂纹尖端应力分布和裂纹的亚临界扩展过程中展示了裂纹尖端的应力分布。
在虚拟裂纹中，软化指数和断裂能是两个重要的基本参数。软化指数是指材料在受拉时，当应力达到材料的最大抗拉强度后，其应力应变关系。断裂能是材料单位面积完全开裂所吸收的能量。为了数值计算的方便，常用的混凝土软化曲线有直线型、折线形和幂指数形。
微裂区的解析表达式：
众所周知，弹性力学平面问题可以归结为求解一个满足调和方程22φ=0。的应力函数φ，并使其在弹性体边界上满足全部边界条件。当确定了Airy应力函数φ以后，就可以根据式（2-1）求出各应力分量（不记体力），然后可以根据平面问题中的物理方程和几何方程就可以求出应变分量和位移分量。因此解决问题的关键是得到双调和函数φ。在数学的范围内，复变解析函数的实数部分和虚数部分都是双调和函数。
可以看出，解析函数Z（z）的导数Z′（z）与积分Zz的实数部分和虚数部分也是双调和函数，并且它们与x，y的线性组合也都是双调和函数。
混凝土的断裂过程区过程值及临界值：
为了便于处理混凝土的断裂过程区出现的软化，本文采用了幂函数模型描述混凝土断裂过程区的应力应变关系。
基本假设：
（1）断裂过程区处于裂纹尖端并沿裂纹方向呈带状分布，即与σ1相垂直；
（2）断裂过程区内的最大拉应力等于σu，由幂函数表示拉应变软化曲线。当θ=0时，设rp为断裂过程区的长度，0rrapp=是无量纲参数。在此范围内，Ⅰ型裂纹尖端的应力σy表示。
（3）断裂过程区以外均处于弹性状态，且拉、压弹性模量相同（实用上，可以更严格的假定压应力水平在混凝土强度的50%以内）；
（4）与Dugdale模型相仿，考虑裂纹尖端的应力松弛现象，根据合力等效原则当断裂过程区没有完全形成时，即当KI
软化指数对断裂过程区过程值及临界值的影响：各个参数取值取值情况：混凝土的断裂韧度K=0.5MPa·m1/2IC，极限强度σu=2.6MPa，初始裂纹a=0.05m。基于最大拉应变强度理论，在平面应力或平面应变状态下，不同软化指数n和泊松比ν下断裂过程区过程值rp与应力强度因子KI的关系；软化指数n对断裂过程区临界值rpc的影响。从中可以得出断裂过程区的过程值和临界值随着软化指数的增加而增加，且在不同的泊松比下这种变化规律相近。
应用Muskhelishvil應力函数全场解，根据幂指数函数描述的混凝土拉应变软化模型导出的断裂过程区（FPZ）过程值及临界值的解析表达式，分析了在最大拉应变强度理论下软化指数对断裂过程区过程值及临界值的影响，可以描述混凝土断裂过程区形成和扩展的全过程。基于虚拟裂纹模型，假设断裂过程区沿裂纹延长线呈带状分布，将不同泊松比下软化指数对应的断裂过程区过程值及临界值进行比较。结果表明混凝土的断裂过程区过程值及临界值都随着软化指数的增加而增加，不同泊松比下具有类似变化规律；平面应变下断裂过程区尺度小于平面应力下的尺度。应用Muskhelishvil应力函数全场解，给出了等效断裂过程的表达式。（作者单位：内蒙古自治区建材产品质量检验院）