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1. 化归思想或降维思想是空间问题平面化的有效途径
把空间问题转化为平面问题，把空间图形降维为平面图形有几大优点：①图形直观平铺；②规避遮挡的视线；③站在平面几何知识的起点上；④减少理解上的困难.
1.1 把空间图形展开还原成平面图形
抽象而复杂的空间问题是通过平面图形折叠、翻转而成，解题中常将其“原样照印”地铺开，抓住折前折后的不变量，利用二者的对应关系和熟悉的平面几何知识解题.
如图1甲，已知在三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A（如图1乙），在三棱锥P-ABC中，
（1）求证：侧棱PB⊥AC；
（2）求侧面PAC与在底面ABC所成的角.
解析 由展开图是直角梯形，易知在立体图中的一些角度与长度.
（1）三棱锥沿PA，PB，PC剪开成的平面图形恰好是一个直角梯形，而P1，P2，P3是重合于立体图中的P点，所以BP⊥PA，BP⊥PC，所以BP⊥平面PAC，BP⊥AC.
（2）由（1）知BP⊥平面PAC，作BD⊥AC于D，则∠PDB为所求角. 在图1乙中，作AE⊥CP3于E. 因为AP=AC，所以AP3=AC，所以CE=EP3. 设P1A=x，CE=y，则EP3=y，P2C=CP3=2y，P1B=P2B=2，所以P1P2=4=AE. 由P1A=P2E=3y，即x=3y ①. 在△AEC中，AC2=AE2+EC2，即x2=42+y2 ②，由①②得x=3■，y=■. 因为S△ABC=S■-S■-S■-S■=4×3■-■×2×3■-■×2×2■-■×■×4=5■. 所以BD=■=■，所以sin∠PDB=■=■.
1.2 从空间图形中分离出所需要的平面图形
对空间中立体感很强，条件较为分散的图形，常抓住条件相对集中的平面，把它们从空间图形中分离或截取出来，从而使问题获得解决.
■ 已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，设AB两点的球面距离为a，球O的内接正方体EFGH-E′F′G′H′的边长与O到平面ABC的距离之比为b，求■.
解析 这是一个球与锥体、柱体的组合体问题，关键是找锥体O-ABC和正方体EFGH-E′F′G′H′在球内的截口，画出△OAB及正方体在球内的圆锥剖面图（如图2）.
由图知劣弧AB的长为■πR，设D为AB的中点. AC⊥BC，即AB为△ABC所在小圆的直径，由OA=OB=OC知O到平面ABC的距离即为OD=■R，由图2乙知正方体的边长为EE′=■R，于是a=■πR，b=■=■，所以
2. 立体几何问题的代数化思考
根据权威的中学学业报告分析，大部分同学学习代数的时间多于几何的学习时间，对代数的思维敏感度也优于几何的思维敏感度，若解题时几何基础薄弱，思维过程势必受阻，对于抽象的立体几何问题更是望洋兴叹. 若能将空间问题转化为代数运算问题，比起直接在空间中进行点、线、面的图形演化方便得多.
2.1 通过设出立体图形中的边或角，把立体几何转化为代数中的边角关系计算
因为空间图形由点、线、面组成，设出图形中的公共边或需要用到的角后，可通过建立边与角的函数或代数方程来解决问题.
■ 如图3，设正方体棱长为1，点P在棱CD上，△ABP的面积S在CP=a时取最小值■，S取最大值■时，线段CD上的点P有d个. 求a，b，c，d.
解析 设CP=x，则PD=1-x，于是AP=■，BP=■. 设PH⊥AB，垂足为H，则有BP2-BH2=PH2=AP2-AH2，移项得BP2-AP2=BH2-AH2=（BH+AH）·（BH-AH），所以（1+x2）-[1+（1-x）2]=AB（BH-
评析 此题通过设边运用纯代数方法求解，若运用几何方法求解，由S△ABP=■AB·PH知只须PH最小，从而PH必为异面直线CD与AB的公垂线，这个思路也比较自然，但若将“正方体”改成“长方体”，不用代数方法而用空间想象构建图形中的最短线段可就难了.
2.2 利用向量工具将几何问题转化为代数运算
证明立体几何中的线面平行和垂直，计算空间中的三种角、八种距离均可在建立的空间直角坐标系中运用向量运算解决，最常见到的是利用向量在法向量上的投影公式计算距离以及利用两个向量之间的夹角公式计算角.
■ 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，O是底面ABCD的中心.
（1）求证：A1O⊥平面BDE；
（2）求异面直线AB1与A1C间的距离；
（3）求二面角D-A1B-C的平面角.
除此之外，同学们也要多善于借助实物引入，更多地观察了解各种空间图形，真正理解平面生成空间和空间还原成平面的含义，使得空间问题平面化更具有实效性和科学性，也同时为建立代数运算提供实证性，从而降低空间想象力的梯度和思维的跨度.
把空间问题转化为平面问题，把空间图形降维为平面图形有几大优点：①图形直观平铺；②规避遮挡的视线；③站在平面几何知识的起点上；④减少理解上的困难.
1.1 把空间图形展开还原成平面图形
抽象而复杂的空间问题是通过平面图形折叠、翻转而成，解题中常将其“原样照印”地铺开，抓住折前折后的不变量，利用二者的对应关系和熟悉的平面几何知识解题.
如图1甲，已知在三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A（如图1乙），在三棱锥P-ABC中，
（1）求证：侧棱PB⊥AC；
（2）求侧面PAC与在底面ABC所成的角.
解析 由展开图是直角梯形，易知在立体图中的一些角度与长度.
（1）三棱锥沿PA，PB，PC剪开成的平面图形恰好是一个直角梯形，而P1，P2，P3是重合于立体图中的P点，所以BP⊥PA，BP⊥PC，所以BP⊥平面PAC，BP⊥AC.
（2）由（1）知BP⊥平面PAC，作BD⊥AC于D，则∠PDB为所求角. 在图1乙中，作AE⊥CP3于E. 因为AP=AC，所以AP3=AC，所以CE=EP3. 设P1A=x，CE=y，则EP3=y，P2C=CP3=2y，P1B=P2B=2，所以P1P2=4=AE. 由P1A=P2E=3y，即x=3y ①. 在△AEC中，AC2=AE2+EC2，即x2=42+y2 ②，由①②得x=3■，y=■. 因为S△ABC=S■-S■-S■-S■=4×3■-■×2×3■-■×2×2■-■×■×4=5■. 所以BD=■=■，所以sin∠PDB=■=■.
1.2 从空间图形中分离出所需要的平面图形
对空间中立体感很强，条件较为分散的图形，常抓住条件相对集中的平面，把它们从空间图形中分离或截取出来，从而使问题获得解决.
■ 已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，设AB两点的球面距离为a，球O的内接正方体EFGH-E′F′G′H′的边长与O到平面ABC的距离之比为b，求■.
解析 这是一个球与锥体、柱体的组合体问题，关键是找锥体O-ABC和正方体EFGH-E′F′G′H′在球内的截口，画出△OAB及正方体在球内的圆锥剖面图（如图2）.
由图知劣弧AB的长为■πR，设D为AB的中点. AC⊥BC，即AB为△ABC所在小圆的直径，由OA=OB=OC知O到平面ABC的距离即为OD=■R，由图2乙知正方体的边长为EE′=■R，于是a=■πR，b=■=■，所以
2. 立体几何问题的代数化思考
根据权威的中学学业报告分析，大部分同学学习代数的时间多于几何的学习时间，对代数的思维敏感度也优于几何的思维敏感度，若解题时几何基础薄弱，思维过程势必受阻，对于抽象的立体几何问题更是望洋兴叹. 若能将空间问题转化为代数运算问题，比起直接在空间中进行点、线、面的图形演化方便得多.
2.1 通过设出立体图形中的边或角，把立体几何转化为代数中的边角关系计算
因为空间图形由点、线、面组成，设出图形中的公共边或需要用到的角后，可通过建立边与角的函数或代数方程来解决问题.
■ 如图3，设正方体棱长为1，点P在棱CD上，△ABP的面积S在CP=a时取最小值■，S取最大值■时，线段CD上的点P有d个. 求a，b，c，d.
解析 设CP=x，则PD=1-x，于是AP=■，BP=■. 设PH⊥AB，垂足为H，则有BP2-BH2=PH2=AP2-AH2，移项得BP2-AP2=BH2-AH2=（BH+AH）·（BH-AH），所以（1+x2）-[1+（1-x）2]=AB（BH-
评析 此题通过设边运用纯代数方法求解，若运用几何方法求解，由S△ABP=■AB·PH知只须PH最小，从而PH必为异面直线CD与AB的公垂线，这个思路也比较自然，但若将“正方体”改成“长方体”，不用代数方法而用空间想象构建图形中的最短线段可就难了.
2.2 利用向量工具将几何问题转化为代数运算
证明立体几何中的线面平行和垂直，计算空间中的三种角、八种距离均可在建立的空间直角坐标系中运用向量运算解决，最常见到的是利用向量在法向量上的投影公式计算距离以及利用两个向量之间的夹角公式计算角.
■ 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，O是底面ABCD的中心.
（1）求证：A1O⊥平面BDE；
（2）求异面直线AB1与A1C间的距离；
（3）求二面角D-A1B-C的平面角.
除此之外，同学们也要多善于借助实物引入，更多地观察了解各种空间图形，真正理解平面生成空间和空间还原成平面的含义，使得空间问题平面化更具有实效性和科学性，也同时为建立代数运算提供实证性，从而降低空间想象力的梯度和思维的跨度.