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数学思想方法是数学的灵魂，是数学方法与技能实质的体现，对解题思路的产生具有指导意义.因此，深刻地理解数学思想方法、学会运用数学思想方法来分析、解决问题对提高解题能力将有很大帮助.本文例说三角问题中所蕴含的数学思想方法，通过阅读此文也许会对你的思维有所启迪，使你面对三角问题时能“一招”连“一招”，很快破题.
一、对称思想
对称思想是数学美的体现，它涉及数学的方方面面.想一想：乘与除、加与减、正弦与余弦、正切与余切等都存在着大量的对称因素.
例1． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解析：设x=sin10°sin30°sin50°sin70，y=cos10°cos30°cos50°cos70°,
则xy=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°cos70°=■sin20°sin60°sin100°sin140°=■cos10°cos30°cos50°cos70°=■y.
得x= ■，即 sin10°sin30°sin50°sin70°=■．
点评：本题抓住正弦与余弦的对称性，在已知正弦积的情况下，引入余弦积，结合倍角公式使问题巧妙获解．
例2． 求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的值．
解析：设x＝cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°，y= sin40°sin80°+sin80°sin160°-sin160°sin40°，则x+y=cos40°+cos80°+cos200°=2cos60°+cos20°-cos20°=0,x-y=cos120°+cos240°+cos120°=-■,
那么x=y=■,即cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°=-■.
点评：本题抓住和与差、正弦与余弦的对称性，构造对称式.通过方程组使求值的式子产生结果，可以看出这种求解十分巧妙，具有一定一欣赏价值.
类题演练1：求sin220°+cos280°+■sin20°cos20°的值.
二、数形结合思想
“数少形时缺直观，形少数时难入微”它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系.
例3． 若?琢≠■，?茁≠■（m，n∈Z），且■+■=1，求■+■的值.
解析一：设点A（■，■），B（cos?茁，sin?茁）,
由两点间的距离公式得：
|AB|=■
=■.
结合已知，得|AB|=0，即A，B重合，因此■=cos?茁，■=sin?茁.
因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
解析二：由已知得A（cos2?琢，sin2?琢），B（cos2?茁，sin2?茁）均在椭圆■+■=1，又过B点的切线方程为■+■=1,即x+y=1.
显然，点A也在切线上.由切点唯一知A、B重合，得cos2?琢=cos2?茁，sin2?琢=sin2?茁.
因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
解析三：由已知得直线L1：■·x+■·y=1过点A（cos2?琢，sin2?琢）与B（cos2?茁，sin2?茁）.
而A、B又都在直线L2：x+y=1上.
于是L1与L2重合或点A与点B重合.
无论L1与L2重合还是点A与点B重合均有cos2?琢=cos2?茁及sin2?琢=sin2?茁.
故■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
解析四：设■=（cos?茁，sin?茁），■=（■，■）,
显然，■·■=cos?茁·■+sin?茁·■=1.
而|■|·|■|=■·■=1.
即■·■=|■|·|■|，由于■·■≤|■|·|■|当且仅当■，■共线时取等号.
因此■=k·■，从而■=kcos?茁,■=ksin?茁?圯cos2?琢=kcos2?茁,sin2?琢=ksin2?茁,且k2=1.
于是sin2?琢=sin2?茁，cos2?琢=cos2?茁.
因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
点评：无论是距离为零、切点重合还是直线重合、共线等都有十分清晰的几何特征，抓住这个几何特征，利用几何直观很快产生结论且解题过程具有较强的欣赏价值.
类题演练2：已知sin?琢+sin（?琢+?茁）+cos（?琢+?茁）=■，且?茁∈[■，■]，求cos?茁+sin?茁的值.
三、函数思想
函数是贯穿高中数学的一条主线，它的灵活应用可以解决很多问题.面对一道三角试题，我们从函数的角度来分析、探索，有时会利用函数的有关性质予以解决.
例4． 已知函数f（x）=2msinx-2cos2x+■-4m+3，当m∈（-∞，-2]时，函数f（x）的最小值为19，求m值.
解析：由f（x）=2（sinx+■）2-4m+1,
（1）当-1≤-■≤1即-2≤m≤2时，由sinx=-■时，得函数f（x）的最小值为-4m+1，由-4m+1=19?圯m=
-■?埸[-2，2]舍去.
（2）当-■＜-1即m＞2时，由sinx=-1时，得函数f（x）的最小值为■-6m+3，由■-6m+3=19?圯m=6±2■，结合m＞2得：m=6+2■.
（3）当-■＞1即m＜-2时，由sinx=1时，得函数f（x）的最小值为■-2m+3，由■-2m+3=19?圯m=-4或8，结合m＜-2得：m=-4.
由（1）（2）（3）得m的值为-4或6+2■.
点评：本题中既含有x又含有m，可以认为是三角问题也可以认为是关于m的二次函数问题，从哪个角度入手呢？从二次函数，结合三角函数的有界性，利用二次函数的有关性质进行求解.
例5． 若?琢，?茁为锐角，且■+■=2，求证：?琢+?茁=■.
解析：设f（x）=■+■，x∈（0，■），显然f（x）为单调减函数.
由于f（?琢）=2， f（■-?茁）=■+■=2，即f（?琢）=f（■-?茁）.
由单调性知：?琢+?茁=■.
本题还可以这样解：假设?琢+?茁≠■，则?琢+?茁＞■或?琢+?茁＜■，由于?琢，?茁为锐角，
若?琢+?茁＞■?圯?琢＞■-?茁，?茁＞■-?琢?圯cos?琢＜sin?茁，scos?茁＜sin?琢?圯■+■＜2与已知矛盾；同理若?琢+?茁＞■得■+■＞2也与已知矛盾，故?琢+?茁=■.
点评：面对三角问题，很多同学可能首先想到的是进行三角变换.事实上，如果真的进行三角变换的话，很难求解.这两种解法都比较特别，一个是利用函数，另一个是利用反证法.
类题演练3：若?琢，?茁∈[-■，■]，k∈R，且满足?琢3+sin?琢-2k=0,4?茁3+sin?茁cos?茁+k=0，求cos（?琢+2?茁）的值.
四、化归思想
化归思想揭示的是解题方向、转化目标.在三角中有几类问题的思路是基本明确的，我们以此作为模式，对所遇到的问题进行转化促使获解.
例6． 已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx-■，且f（0）=■，f（■）=■，
（1）若x∈[-■，■]时，求f（x）的增区间，并求f（x）的最小值及取得最小值时的x的值；
（2）若x∈R，试问：函数f（x）的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为偶函数？
解析：由于f（0）=■，f（■）=■，
得2a-■=■,a+■b-■=■?圯a=■,b=1.
因此， f（x）=■cos2x+sinxcosx-■=■cos2x+■sin2x=sin（2x＋■）.
（1）由-■+2k?仔≤2x+■≤■+2k?仔（k∈Z），得-■+k?仔≤x≤■+k?仔（k∈Z）.
由于x∈[-■，■]，因此f（x）的增区间为[-■，■].
由于f（x）在区间[-■，■]是增函数，在区间[■，■]是减函数，
又f（-■）=sin[2×（-■）＋■]＝－■，f（■）=sin（2×■＋■）＝■.所以，当x＝-■时，函数f（x）有最小值－■.
（2）由于f（x）＝sin（2x＋■）向右平移■即得f（x）=sin2x，于是将f（x）=sin（2x＋■）向右平移■个单位或向左平移■个单位，所得图像所对应的函数均为偶函数.
点评：化为一个角的三角函数是求解与图像性质有关问题的常规方法，这类问题的变式较多，如本题先利用倍角公式与降幂公式，然后，才可以实施化为一个角的三角函数，这类问题的结合点往往与闭区间连在一起.
例7． 已知sin（■＋?琢）=■，cos（■-?茁）=■，0 解析：由sin（■＋?琢）=■及0 那么sin（?琢＋?茁）=-cos[■+（?琢＋?茁）]=-cos[（■+?琢）-（■-?茁）]=■.
点评：看看条件，再看看结论.要完成从条件向结论的过渡，首先要完成的是“统一”，如何统一？化归便由此而自然产生.
类题演练4：若函数f（x）=■sin2x+2cos2x+m
在区间[0，■]上的最大值为6，求常数m的值及此时函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合.
五、方程思想
方程思想也就是变量思想，从变量的角度来认识问题、分析问题.我们可以进行消元、可以确定未知量，再进行解方程.
例8． 已知?琢，?茁满足１＋cos?琢-sin?茁+sin?琢sin?茁=0,１-cos?琢-cos?茁+sin?琢cos?茁=0,求sin?琢的值.
解析：由１＋cos?琢-sin?茁+sin?琢sin?茁=0,１-cos?琢-cos?茁+sin?琢cos?茁=0?圯sin?茁=■,cos?茁=■.
由于sin2?茁+cos2?茁=1，得（■）２＋（■）２＝１，从而得sin?琢=■.
点评：看看条件是关于?琢，?茁的两个变量构成的两个关系式，可以认为是关于?琢，?茁的方程组．再看看结论，解法就十分清楚了，消元即可产生结论.
例9． 已知?琢，?茁为锐角，且3sin2?琢+2sin2?茁=1，3sin2?琢-2sin2?茁=0，求?琢+2?茁的值．
解析：由3sin2?琢+2sin2?茁=1，3sin2?琢-2sin2?茁=0?圯3sin2?琢=cos2?茁，■sin2?琢=sin2?茁?圯9sin4?琢+■sin22?琢=1．
即9sin4?琢+■·4sin2?琢（1-sin2?琢）=1?圯sin2?琢=■．
因为?琢为锐角，得sin?琢=■，代入3sin2?琢+2sin2?茁=1，得cos2?茁=■．
即sin?琢=cos2?茁，又因为?琢，?茁为锐角，于是?琢+2?茁=■．
点评：本题将?琢，?茁看成是两个未知数，从方程的角度来产生关于?琢，?茁之间的值或更加清晰的关系，促使问题获解．
类题演练5：已知sin?琢+cos?琢=■且?琢∈（0，?仔），求tan?琢的值．
六、分析、猜测、论证
数学的规律性与和谐性，给合理猜测提供了外观上的思维条件.其实，很多数学问题的求解就是建立在“分析、猜测、论证”的基本模式下进行求解的.
例10． 观察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=■，
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=■，
sin215°+cos245°+sin15°cos45°=■,
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
解析：由上述各式猜想：sin2x+cos2（30°＋x）+sinxcos（30°＋x）=■.
事实上sin2x+cos2（30°＋x）+sinxcos（30°＋x）=■+■+sinxcos（30°＋x）=1-■cos2x+■（cos60°cos2x-sin60°sin2x）+sinxcos（30°＋x）=1-■cos2x-■sin2x+sinx（■cosx-■sinx）=1-■（cos2x-sin2x）-■sin2x=■．
点评：观察、分析、类比是新教材中非常注重的基本能力，也是近年高考命题倍受关注的热点，面对此类问题，一定要仔细观察、细心分析，先看“不变的”，再看“变的”，而“变的”又按什么规律来变，也许结论就会慢慢地显现出来.
例11． 函数F（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B在0≤x≤■上的最大值M与A，B有关，问A，B取什么值时M最小？
解析：∵F（x）=■sin（2x+■）+Ax+B.
若A=B=0，则F（x）=■sin（2x+■），当x=
■，■，■时，Fmax（x）=■.
猜测：■是M的最小值，此时A=B=0.否则F（■）≤■，F（■）≤■，F（■）≤■?圯■＋■Ａ＋Ｂ≤■，－■＋■Ａ＋Ｂ≥－■■＋■Ａ＋Ｂ≤■，?圯■Ａ＋Ｂ≤0，■Ａ＋Ｂ≥0■Ａ＋Ｂ≤0，?圯Ａ=0，Ｂ=0与所设矛盾，故猜测成立．
点评：本题建立在三角变换及化归的基础上将所给的式子转化为比较规范的形式，结合这个形式进行大胆猜测，然后利用反证法予以证明．整个思维过程严谨而有序．
类题演练6：观察以下各等式：
① tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;
② tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证明.
三角内容是高考命题的重点与热点，每年高考必考．如果将本文中的思想方法运用到三角的解题“现实”中去，也许对你提高分数会有一定的帮助．
类题演练答案：
类题演练1：设x=sin220°+cos280°+■sin20°cos80°，y=cos220°+sin280°+■cos20°sin80°，则x+y=2+■sin100°，x-y=-cos40°+cos160°-■sin60°=-■sin100°-■，
上述两式相加得： x=■，即sin220°+cos280°+■sin20°cos20°=■．
类题演练2：由已知得（sin?茁+cos?茁）cos?琢+（1+cos?茁-sin?茁）sin?琢-■=0．
显然，点Q（cos?琢，sin?琢）在直线（sin?茁+cos?茁）x+（1+cos?茁-sin?茁）y-■=0上，由d≤OQ，即
■≤■?圯cos?茁≥sin?茁．
由?茁∈[■，■]知cos?茁≤sin?茁，于是cos?茁＝sin?茁＝■或cos?茁＝sin?茁＝－■.
故cos?茁＋sin?茁＝■或－■．
类题演练3：由已知，得?琢３＋sin?琢-2k=0，-8?茁３-2sin?茁cos?茁-2k=0?圯?琢３＋sin?琢=2k，（-2?茁）３＋sin（－２?茁）＝2k．
令f（x）=x３+sinx（x∈[-■，■]），
显然，f（x）为单调递增函数，且f（?琢）=f（－２?茁）＝2k．
结合单调性，得?琢=－２?茁，即?琢+２?茁=0，那么cos（?琢+２?茁）=1．
类题演练4：由f（x）=■sin2x+2·■+m=2sin（2x+■）+m+1．
当x∈[0，■]时，2x+■∈[■，■]，此时，-1≤2sin（2x+■）≤2，由m+3=6,得m=3,得f（x）=2sin（2x+■）+4.
显然，当2x+■=2k?仔+■，k∈Z得x的取值集合为x|x=k?仔+■，k∈Z时，f（x）min=2.
类题演练5：设sin?琢=■+t，cos?琢=■-t，由（■+t）2+（■-t）2=1得t=±■．∵?琢∈（0，?仔），得sin?琢>0，因此t=■，于是sin?琢=■，cos?琢=-■，从而tan?琢=-■．
类题演练6：推广结论为：若α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
由α+β=■-γ，得tan（α+β）=tan（■-γ），即■=tan（■-γ）=■，
∴ tanβtanγ+tanγtanα=1－tanαtanβ，即tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
（作者单位：中山市实验高中）
责任编校 徐国坚
一、对称思想
对称思想是数学美的体现，它涉及数学的方方面面.想一想：乘与除、加与减、正弦与余弦、正切与余切等都存在着大量的对称因素.
例1． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解析：设x=sin10°sin30°sin50°sin70，y=cos10°cos30°cos50°cos70°,
则xy=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°cos70°=■sin20°sin60°sin100°sin140°=■cos10°cos30°cos50°cos70°=■y.
得x= ■，即 sin10°sin30°sin50°sin70°=■．
点评：本题抓住正弦与余弦的对称性，在已知正弦积的情况下，引入余弦积，结合倍角公式使问题巧妙获解．
例2． 求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的值．
解析：设x＝cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°，y= sin40°sin80°+sin80°sin160°-sin160°sin40°，则x+y=cos40°+cos80°+cos200°=2cos60°+cos20°-cos20°=0,x-y=cos120°+cos240°+cos120°=-■,
那么x=y=■,即cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°=-■.
点评：本题抓住和与差、正弦与余弦的对称性，构造对称式.通过方程组使求值的式子产生结果，可以看出这种求解十分巧妙，具有一定一欣赏价值.
类题演练1：求sin220°+cos280°+■sin20°cos20°的值.
二、数形结合思想
“数少形时缺直观，形少数时难入微”它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系.
例3． 若?琢≠■，?茁≠■（m，n∈Z），且■+■=1，求■+■的值.
解析一：设点A（■，■），B（cos?茁，sin?茁）,
由两点间的距离公式得：
|AB|=■
=■.
结合已知，得|AB|=0，即A，B重合，因此■=cos?茁，■=sin?茁.
因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
解析二：由已知得A（cos2?琢，sin2?琢），B（cos2?茁，sin2?茁）均在椭圆■+■=1，又过B点的切线方程为■+■=1,即x+y=1.
显然，点A也在切线上.由切点唯一知A、B重合，得cos2?琢=cos2?茁，sin2?琢=sin2?茁.
因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
解析三：由已知得直线L1：■·x+■·y=1过点A（cos2?琢，sin2?琢）与B（cos2?茁，sin2?茁）.
而A、B又都在直线L2：x+y=1上.
于是L1与L2重合或点A与点B重合.
无论L1与L2重合还是点A与点B重合均有cos2?琢=cos2?茁及sin2?琢=sin2?茁.
故■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
解析四：设■=（cos?茁，sin?茁），■=（■，■）,
显然，■·■=cos?茁·■+sin?茁·■=1.
而|■|·|■|=■·■=1.
即■·■=|■|·|■|，由于■·■≤|■|·|■|当且仅当■，■共线时取等号.
因此■=k·■，从而■=kcos?茁,■=ksin?茁?圯cos2?琢=kcos2?茁,sin2?琢=ksin2?茁,且k2=1.
于是sin2?琢=sin2?茁，cos2?琢=cos2?茁.
因此■+■=■+■=cos2?琢+sin2?琢=1.
点评：无论是距离为零、切点重合还是直线重合、共线等都有十分清晰的几何特征，抓住这个几何特征，利用几何直观很快产生结论且解题过程具有较强的欣赏价值.
类题演练2：已知sin?琢+sin（?琢+?茁）+cos（?琢+?茁）=■，且?茁∈[■，■]，求cos?茁+sin?茁的值.
三、函数思想
函数是贯穿高中数学的一条主线，它的灵活应用可以解决很多问题.面对一道三角试题，我们从函数的角度来分析、探索，有时会利用函数的有关性质予以解决.
例4． 已知函数f（x）=2msinx-2cos2x+■-4m+3，当m∈（-∞，-2]时，函数f（x）的最小值为19，求m值.
解析：由f（x）=2（sinx+■）2-4m+1,
（1）当-1≤-■≤1即-2≤m≤2时，由sinx=-■时，得函数f（x）的最小值为-4m+1，由-4m+1=19?圯m=
-■?埸[-2，2]舍去.
（2）当-■＜-1即m＞2时，由sinx=-1时，得函数f（x）的最小值为■-6m+3，由■-6m+3=19?圯m=6±2■，结合m＞2得：m=6+2■.
（3）当-■＞1即m＜-2时，由sinx=1时，得函数f（x）的最小值为■-2m+3，由■-2m+3=19?圯m=-4或8，结合m＜-2得：m=-4.
由（1）（2）（3）得m的值为-4或6+2■.
点评：本题中既含有x又含有m，可以认为是三角问题也可以认为是关于m的二次函数问题，从哪个角度入手呢？从二次函数，结合三角函数的有界性，利用二次函数的有关性质进行求解.
例5． 若?琢，?茁为锐角，且■+■=2，求证：?琢+?茁=■.
解析：设f（x）=■+■，x∈（0，■），显然f（x）为单调减函数.
由于f（?琢）=2， f（■-?茁）=■+■=2，即f（?琢）=f（■-?茁）.
由单调性知：?琢+?茁=■.
本题还可以这样解：假设?琢+?茁≠■，则?琢+?茁＞■或?琢+?茁＜■，由于?琢，?茁为锐角，
若?琢+?茁＞■?圯?琢＞■-?茁，?茁＞■-?琢?圯cos?琢＜sin?茁，scos?茁＜sin?琢?圯■+■＜2与已知矛盾；同理若?琢+?茁＞■得■+■＞2也与已知矛盾，故?琢+?茁=■.
点评：面对三角问题，很多同学可能首先想到的是进行三角变换.事实上，如果真的进行三角变换的话，很难求解.这两种解法都比较特别，一个是利用函数，另一个是利用反证法.
类题演练3：若?琢，?茁∈[-■，■]，k∈R，且满足?琢3+sin?琢-2k=0,4?茁3+sin?茁cos?茁+k=0，求cos（?琢+2?茁）的值.
四、化归思想
化归思想揭示的是解题方向、转化目标.在三角中有几类问题的思路是基本明确的，我们以此作为模式，对所遇到的问题进行转化促使获解.
例6． 已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx-■，且f（0）=■，f（■）=■，
（1）若x∈[-■，■]时，求f（x）的增区间，并求f（x）的最小值及取得最小值时的x的值；
（2）若x∈R，试问：函数f（x）的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为偶函数？
解析：由于f（0）=■，f（■）=■，
得2a-■=■,a+■b-■=■?圯a=■,b=1.
因此， f（x）=■cos2x+sinxcosx-■=■cos2x+■sin2x=sin（2x＋■）.
（1）由-■+2k?仔≤2x+■≤■+2k?仔（k∈Z），得-■+k?仔≤x≤■+k?仔（k∈Z）.
由于x∈[-■，■]，因此f（x）的增区间为[-■，■].
由于f（x）在区间[-■，■]是增函数，在区间[■，■]是减函数，
又f（-■）=sin[2×（-■）＋■]＝－■，f（■）=sin（2×■＋■）＝■.所以，当x＝-■时，函数f（x）有最小值－■.
（2）由于f（x）＝sin（2x＋■）向右平移■即得f（x）=sin2x，于是将f（x）=sin（2x＋■）向右平移■个单位或向左平移■个单位，所得图像所对应的函数均为偶函数.
点评：化为一个角的三角函数是求解与图像性质有关问题的常规方法，这类问题的变式较多，如本题先利用倍角公式与降幂公式，然后，才可以实施化为一个角的三角函数，这类问题的结合点往往与闭区间连在一起.
例7． 已知sin（■＋?琢）=■，cos（■-?茁）=■，0 解析：由sin（■＋?琢）=■及0 那么sin（?琢＋?茁）=-cos[■+（?琢＋?茁）]=-cos[（■+?琢）-（■-?茁）]=■.
点评：看看条件，再看看结论.要完成从条件向结论的过渡，首先要完成的是“统一”，如何统一？化归便由此而自然产生.
类题演练4：若函数f（x）=■sin2x+2cos2x+m
在区间[0，■]上的最大值为6，求常数m的值及此时函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合.
五、方程思想
方程思想也就是变量思想，从变量的角度来认识问题、分析问题.我们可以进行消元、可以确定未知量，再进行解方程.
例8． 已知?琢，?茁满足１＋cos?琢-sin?茁+sin?琢sin?茁=0,１-cos?琢-cos?茁+sin?琢cos?茁=0,求sin?琢的值.
解析：由１＋cos?琢-sin?茁+sin?琢sin?茁=0,１-cos?琢-cos?茁+sin?琢cos?茁=0?圯sin?茁=■,cos?茁=■.
由于sin2?茁+cos2?茁=1，得（■）２＋（■）２＝１，从而得sin?琢=■.
点评：看看条件是关于?琢，?茁的两个变量构成的两个关系式，可以认为是关于?琢，?茁的方程组．再看看结论，解法就十分清楚了，消元即可产生结论.
例9． 已知?琢，?茁为锐角，且3sin2?琢+2sin2?茁=1，3sin2?琢-2sin2?茁=0，求?琢+2?茁的值．
解析：由3sin2?琢+2sin2?茁=1，3sin2?琢-2sin2?茁=0?圯3sin2?琢=cos2?茁，■sin2?琢=sin2?茁?圯9sin4?琢+■sin22?琢=1．
即9sin4?琢+■·4sin2?琢（1-sin2?琢）=1?圯sin2?琢=■．
因为?琢为锐角，得sin?琢=■，代入3sin2?琢+2sin2?茁=1，得cos2?茁=■．
即sin?琢=cos2?茁，又因为?琢，?茁为锐角，于是?琢+2?茁=■．
点评：本题将?琢，?茁看成是两个未知数，从方程的角度来产生关于?琢，?茁之间的值或更加清晰的关系，促使问题获解．
类题演练5：已知sin?琢+cos?琢=■且?琢∈（0，?仔），求tan?琢的值．
六、分析、猜测、论证
数学的规律性与和谐性，给合理猜测提供了外观上的思维条件.其实，很多数学问题的求解就是建立在“分析、猜测、论证”的基本模式下进行求解的.
例10． 观察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=■，
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=■，
sin215°+cos245°+sin15°cos45°=■,
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
解析：由上述各式猜想：sin2x+cos2（30°＋x）+sinxcos（30°＋x）=■.
事实上sin2x+cos2（30°＋x）+sinxcos（30°＋x）=■+■+sinxcos（30°＋x）=1-■cos2x+■（cos60°cos2x-sin60°sin2x）+sinxcos（30°＋x）=1-■cos2x-■sin2x+sinx（■cosx-■sinx）=1-■（cos2x-sin2x）-■sin2x=■．
点评：观察、分析、类比是新教材中非常注重的基本能力，也是近年高考命题倍受关注的热点，面对此类问题，一定要仔细观察、细心分析，先看“不变的”，再看“变的”，而“变的”又按什么规律来变，也许结论就会慢慢地显现出来.
例11． 函数F（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B在0≤x≤■上的最大值M与A，B有关，问A，B取什么值时M最小？
解析：∵F（x）=■sin（2x+■）+Ax+B.
若A=B=0，则F（x）=■sin（2x+■），当x=
■，■，■时，Fmax（x）=■.
猜测：■是M的最小值，此时A=B=0.否则F（■）≤■，F（■）≤■，F（■）≤■?圯■＋■Ａ＋Ｂ≤■，－■＋■Ａ＋Ｂ≥－■■＋■Ａ＋Ｂ≤■，?圯■Ａ＋Ｂ≤0，■Ａ＋Ｂ≥0■Ａ＋Ｂ≤0，?圯Ａ=0，Ｂ=0与所设矛盾，故猜测成立．
点评：本题建立在三角变换及化归的基础上将所给的式子转化为比较规范的形式，结合这个形式进行大胆猜测，然后利用反证法予以证明．整个思维过程严谨而有序．
类题演练6：观察以下各等式：
① tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;
② tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证明.
三角内容是高考命题的重点与热点，每年高考必考．如果将本文中的思想方法运用到三角的解题“现实”中去，也许对你提高分数会有一定的帮助．
类题演练答案：
类题演练1：设x=sin220°+cos280°+■sin20°cos80°，y=cos220°+sin280°+■cos20°sin80°，则x+y=2+■sin100°，x-y=-cos40°+cos160°-■sin60°=-■sin100°-■，
上述两式相加得： x=■，即sin220°+cos280°+■sin20°cos20°=■．
类题演练2：由已知得（sin?茁+cos?茁）cos?琢+（1+cos?茁-sin?茁）sin?琢-■=0．
显然，点Q（cos?琢，sin?琢）在直线（sin?茁+cos?茁）x+（1+cos?茁-sin?茁）y-■=0上，由d≤OQ，即
■≤■?圯cos?茁≥sin?茁．
由?茁∈[■，■]知cos?茁≤sin?茁，于是cos?茁＝sin?茁＝■或cos?茁＝sin?茁＝－■.
故cos?茁＋sin?茁＝■或－■．
类题演练3：由已知，得?琢３＋sin?琢-2k=0，-8?茁３-2sin?茁cos?茁-2k=0?圯?琢３＋sin?琢=2k，（-2?茁）３＋sin（－２?茁）＝2k．
令f（x）=x３+sinx（x∈[-■，■]），
显然，f（x）为单调递增函数，且f（?琢）=f（－２?茁）＝2k．
结合单调性，得?琢=－２?茁，即?琢+２?茁=0，那么cos（?琢+２?茁）=1．
类题演练4：由f（x）=■sin2x+2·■+m=2sin（2x+■）+m+1．
当x∈[0，■]时，2x+■∈[■，■]，此时，-1≤2sin（2x+■）≤2，由m+3=6,得m=3,得f（x）=2sin（2x+■）+4.
显然，当2x+■=2k?仔+■，k∈Z得x的取值集合为x|x=k?仔+■，k∈Z时，f（x）min=2.
类题演练5：设sin?琢=■+t，cos?琢=■-t，由（■+t）2+（■-t）2=1得t=±■．∵?琢∈（0，?仔），得sin?琢>0，因此t=■，于是sin?琢=■，cos?琢=-■，从而tan?琢=-■．
类题演练6：推广结论为：若α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
由α+β=■-γ，得tan（α+β）=tan（■-γ），即■=tan（■-γ）=■，
∴ tanβtanγ+tanγtanα=1－tanαtanβ，即tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
（作者单位：中山市实验高中）
责任编校 徐国坚