证明不等式是学生的弱点与难点,也是高考的热点.本文就以利用导数证明不等式为例，谈一些具体做法，仅供参考.
　　一、用函数的单调性证明不等式
　　例1 已知函数f(x)=lnx,g(x)=x.
　　（1）若x>1，求证：f(x)>2gx-1x+1.
　　（2）是否存在实数K，使方程12g(x2)-f(1+x2)=K有四个不同的实根？若存在，求出K的取值范围；若不存在，说明理由.
　　（1）证明 令F(x)=f(x)-2gx-1x+1=lnx-2(x-1)x+1，
　　则F′(x)=1x-2(x+1)-2(x-1)(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2.
　　由x>1，得F′(x)>0，知F(x)在(1,+∞)上为增函数.
　　又F（x）在x=1处连续且F(x)在（1，+∞）上为增函数，而x>1，得F（x）>F(1)=0，即f(x)>2gx-1x+1.
　　（2）略.
　　例2 已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0　　证明：（1）0　　（2）an+1<16a3n.
　　证明 （1）先用数学归纳法证明0　　（2）设函数g(x)=sinx-x+16x3，0　　由（1）知，当0　　从而g′(x)=cosx-1+x22
　　=-2sin2x2+x22>-2x22+x22=0，
　　∴g(x)在（0，1）上是增函数.
　　又 g(x)在（0，1）上连续且g(0)=0，
　　∴当0g(0)=0成立，于是g(an)>0.
　　即sinan-an+16a3n>0，故an+1<16a3n.
　　注 用函数的单调性证明不等式的一般思路：（1）构造函数f(x)；（2）利用导数确定f(x)在某一区间的单调性；（3）依据该区间的单调性证不等式.
　　二、用函数的最值证明不等式
　　例3 已知函数f(x)=ln(x+1)-x.
　　(1)求函数f(x)的单调递减区间.
　　(2)若x>-1，求证：1-1x+1≤ln(x+1)≤x.
　　（1）略.
　　(2)证明 ∵x∈(-1,0)时，f′(x)>0,x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，
　　∴当x=0时，f(x)有极大值f(0)=0,
　　即f(x)≤f(0),ln(x+1)-x≤0，∴ln(x+1)≤x.
　　令g(x)=ln(x+1)+1x+1-1，
　　则g′(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2.
　　当x∈(-1,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0.
　　∴当x=0时，g(x)有极小值g(0)=0,即g(x)≥g(0).
　　即ln(x+1)+1x+1≥0，∴ln(x+1)≥1-1x+1.
　　综上可知，当x>-1时，有1-1x+1≤ln(x+1)≤x.
　　例4 已知函数f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx.
　　(1)求函数f(x)的最大值.
　　(2)设0　　（1）略.
　　（2） 证明 ∵g(x)=xlnx，∴g′(x)=lnx+1.
　　设F(x)=g(a)+g(x)-2ga+x2，
　　则F′(x)=g′(x)-2ga+x2′=lnx-lna+x2.
　　当0a时，F′(x)>0.
　　∴F（x）在(0,a)内为减函数，在(a,+∞)上为增函数.
　　从而当x=a时，F(x)有极小值F(a)=0.
　　∵b>a，∴F(b)>F(a)，
　　即0　　设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，
　　则G(x)=lnx-lna+x2-ln2=lnx-ln(a+x).
　　当x>0时，G′(x)<0，因此G(x)在(0,+∞)上为减函数.
　　∵G(a)=0，b>a,∴G(b)　　即g(a)+g(b)-2ga+b2<(b-a)ln2.
　　综上可知，当0　　0　　注 用函数的最值证明不等式的一般思路：（1）构造函数f(x);（2）求f(x)在所给区间的最值;（3）根据函数的最值证不等式.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文