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【摘要】利用多元极值方法和二次型正定性判定方法，给出了一类与三角形三边长有关的几何不等式的证明方法，并举例作了说明.
【关键词】几何不等式；多元极值；二次型；正定
一、引 言
不等式是数学中非常重要的组成部分，很多复杂的数学问题需要借助不等式进行简化才能得以顺利求解.作为不等式家族中的重要成员，几何不等式一直备受关注，这一方面是由于很多几何不等式的证明颇具挑战性，另一方面是由于几何不等式往往都具有非常优美的表现形式和直观的几何意义.对于几何不等式的证明，常见的方式是依靠其几何意义的背景进行直接证明，这种证明方式技巧性比较强，往往不等式的形式稍有不同，证明的方法就完全不一样.实际上，对于一些特定类型的几何不等式，可以利用微积分和代数学的知识给出通用的证明方法，本文着重讨论与三角形三边长有关的一类不等式的证明方法.
二、与三角形三边长有关的不等式结构及证明方法
设三角形的三边长分别为a，b，c，与三角形三边长有关的不等式可表示为
f(a，b，c)≤g(a，b，c).（1）
其中f和g通常为可微函数.
对于这类不等式可利用微积分中多元极值的求解方法，结合代数学中二次型的正定性判别进行证明，其过程为：
令F(a，b，c)=g(a，b，c)-f(a，b，c)，所要证明的不等式等价于F(a，b，c)≥0.
首先根据多元函数取得极值的必要条件列出方程组
Fa(a，b，c)=0，Fb(a，b，c)=0，Fc(a，b，c)=0.（2）
由（1）可解，得定点(x0，y0，z0).
然后根据多元函数取得极值的充分条件，求出二次型矩阵.
A=Faa(x0，y0，z0)Fab(x0，y0，z0)Fac(x0，y0，z0)Fba(x0，y0，z0)Fbb(x0，y0，z0)Fbc(x0，y0，z0)Fca(x0，y0，z0)Fcb(x0，y0，z0)Fcc(x0，y0，z0) .（3）
接下来计算矩阵A的顺序主子式，若各阶顺序主子式均大于或等于零，则F(x0，y0，z0)为极小值，从而证明F(a，b，c)≥0成立.
如果F(a，b，c)本身即为二次型结构，则可直接使用二次型正定性判定定理，当二次型矩阵的各阶顺序主子式均大于或等于零时，F(a，b，c)为半正定二次型，即F(a，b，c)≥0成立.
若所要证明的不等式形式为f(a，b，c) 三、不等式证明实例
下面使用著名几何学家O.Bottema所著的《几何不等式》中的两个不等式对上述证明方法举例说明.
例1 证明不等式8abc≤(a+b)(a+c)(b+c)，其中a，b，c为三角形的三边长，当且仅当三角形为正三角形时等号成立.
证明 令F(a，b，c)=(a+b)(a+c)(b+c)-8abc.
则由Fa(a，b，c)=(b+c)(2a+b+c)-8bc=0，Fb(a，b，c)=(a+c)(a+2b+c)-8ac=0，Fc(a，b，c)=(a+b)(a+b+2c)-8ab=0，
可解得abc=k111，其中k为任意常数，考虑到a，b，c为三角形的边长，故取k>0.
对于定点(k，k，k)，根据多元函数取得极值的充分条件，求出二次型矩阵为
A=4k-2k-2k-2k4k-2k-2k-2k4k .
其顺序主子式分别为4k>0，4k-2k-2k4k=12k2>0，4k-2k-2k-2k4k-2k-2k-2k4k=0，因此F(a，b，c)在(k，k，k)处取得极小值0，即F(a，b，c)≥0成立，故原不等式得证.
例2 证明不等式3(ab+bc+ac)≤(a+b+c)2，其中a，b，c为三角形的三边长，当且仅当三角形为正三角形时等号成立.
证明 令F(a，b，c)=(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)，
整理，可得F(a，b，c)=a2+b2+c2-ab-bc-ac.
由于F(a，b，c)本身即为二次型结构，其二次型矩阵为
A=1-12-12-121-12-12-121 .
其顺序主子式分别为1>0，1-12-121=34>0，1-12-12-121-12-12-121=0，因此F(a，b，c)为半正定二次型，即F(a，b，c)≥0成立.
由Fa(a，b，c)=2a-b-c=0，Fb(a，b，c)=-a+2b-c=0，Fc(a，b，c)=-a-b+2c=0，可解得abc=k111，其中k为任意常数.因此当且仅当a=b=c时，F(a，b，c)=0，故原不等式得证.
四、结束语
以上利用微积分中多元极值方法和代数学中二次型正定性判定方法，对与三角形三边长有关的一类几何不等式的证明方法作了讨论，并举例说明.该方法并非是就题论题，具有一定的通用性，但是由于受到几何不等式结构复杂性的影响，该方法并不能解决所有这类问题的证明，更通用的证明方法有待于进一步深入研究.
【参考文献】
［1］［俄］F.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第一卷）（第8版）［M］.杨弢亮，叶彦谦，译.北京：高等教育出版社，2009：363-365.
［2］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：231-237.
［3］［荷］O.Bottema.几何不等式［M］.单尊，译.北京：北京大学出版社，1991：1-3.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】几何不等式；多元极值；二次型；正定
一、引 言
不等式是数学中非常重要的组成部分，很多复杂的数学问题需要借助不等式进行简化才能得以顺利求解.作为不等式家族中的重要成员，几何不等式一直备受关注，这一方面是由于很多几何不等式的证明颇具挑战性，另一方面是由于几何不等式往往都具有非常优美的表现形式和直观的几何意义.对于几何不等式的证明，常见的方式是依靠其几何意义的背景进行直接证明，这种证明方式技巧性比较强，往往不等式的形式稍有不同，证明的方法就完全不一样.实际上，对于一些特定类型的几何不等式，可以利用微积分和代数学的知识给出通用的证明方法，本文着重讨论与三角形三边长有关的一类不等式的证明方法.
二、与三角形三边长有关的不等式结构及证明方法
设三角形的三边长分别为a，b，c，与三角形三边长有关的不等式可表示为
f(a，b，c)≤g(a，b，c).（1）
其中f和g通常为可微函数.
对于这类不等式可利用微积分中多元极值的求解方法，结合代数学中二次型的正定性判别进行证明，其过程为：
令F(a，b，c)=g(a，b，c)-f(a，b，c)，所要证明的不等式等价于F(a，b，c)≥0.
首先根据多元函数取得极值的必要条件列出方程组
Fa(a，b，c)=0，Fb(a，b，c)=0，Fc(a，b，c)=0.（2）
由（1）可解，得定点(x0，y0，z0).
然后根据多元函数取得极值的充分条件，求出二次型矩阵.
A=Faa(x0，y0，z0)Fab(x0，y0，z0)Fac(x0，y0，z0)Fba(x0，y0，z0)Fbb(x0，y0，z0)Fbc(x0，y0，z0)Fca(x0，y0，z0)Fcb(x0，y0，z0)Fcc(x0，y0，z0) .（3）
接下来计算矩阵A的顺序主子式，若各阶顺序主子式均大于或等于零，则F(x0，y0，z0)为极小值，从而证明F(a，b，c)≥0成立.
如果F(a，b，c)本身即为二次型结构，则可直接使用二次型正定性判定定理，当二次型矩阵的各阶顺序主子式均大于或等于零时，F(a，b，c)为半正定二次型，即F(a，b，c)≥0成立.
若所要证明的不等式形式为f(a，b，c)
下面使用著名几何学家O.Bottema所著的《几何不等式》中的两个不等式对上述证明方法举例说明.
例1 证明不等式8abc≤(a+b)(a+c)(b+c)，其中a，b，c为三角形的三边长，当且仅当三角形为正三角形时等号成立.
证明 令F(a，b，c)=(a+b)(a+c)(b+c)-8abc.
则由Fa(a，b，c)=(b+c)(2a+b+c)-8bc=0，Fb(a，b，c)=(a+c)(a+2b+c)-8ac=0，Fc(a，b，c)=(a+b)(a+b+2c)-8ab=0，
可解得abc=k111，其中k为任意常数，考虑到a，b，c为三角形的边长，故取k>0.
对于定点(k，k，k)，根据多元函数取得极值的充分条件，求出二次型矩阵为
A=4k-2k-2k-2k4k-2k-2k-2k4k .
其顺序主子式分别为4k>0，4k-2k-2k4k=12k2>0，4k-2k-2k-2k4k-2k-2k-2k4k=0，因此F(a，b，c)在(k，k，k)处取得极小值0，即F(a，b，c)≥0成立，故原不等式得证.
例2 证明不等式3(ab+bc+ac)≤(a+b+c)2，其中a，b，c为三角形的三边长，当且仅当三角形为正三角形时等号成立.
证明 令F(a，b，c)=(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)，
整理，可得F(a，b，c)=a2+b2+c2-ab-bc-ac.
由于F(a，b，c)本身即为二次型结构，其二次型矩阵为
A=1-12-12-121-12-12-121 .
其顺序主子式分别为1>0，1-12-121=34>0，1-12-12-121-12-12-121=0，因此F(a，b，c)为半正定二次型，即F(a，b，c)≥0成立.
由Fa(a，b，c)=2a-b-c=0，Fb(a，b，c)=-a+2b-c=0，Fc(a，b，c)=-a-b+2c=0，可解得abc=k111，其中k为任意常数.因此当且仅当a=b=c时，F(a，b，c)=0，故原不等式得证.
四、结束语
以上利用微积分中多元极值方法和代数学中二次型正定性判定方法，对与三角形三边长有关的一类几何不等式的证明方法作了讨论，并举例说明.该方法并非是就题论题，具有一定的通用性，但是由于受到几何不等式结构复杂性的影响，该方法并不能解决所有这类问题的证明，更通用的证明方法有待于进一步深入研究.
【参考文献】
［1］［俄］F.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第一卷）（第8版）［M］.杨弢亮，叶彦谦，译.北京：高等教育出版社，2009：363-365.
［2］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：231-237.
［3］［荷］O.Bottema.几何不等式［M］.单尊，译.北京：北京大学出版社，1991：1-3.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文