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摘要：分数阶微积分是研究任意阶微分和积分性质及应用的一种理论，它可以更加精确的描述一些系统的物理特性，更加适应系统的变化，可以应用于描述生物医学中的肿瘤生长（生长刺激与生长抑制）过程。为了研究2類分数阶差分方程解的振动性，主要利用反证法，即假设方程有非振动解，对于第1类方程首先确定函数符号，通过构造Riccati函数，对其求差分，利用函数满足的条件得到矛盾，即假设不成立，验证了解的振动性。对于第2类带有初值条件的方程，首先证明了与该分数阶差分方程等价的和分形式，然后分别考虑0<α≤1和α>1两种情况，运用Stirling公式及阶乘函数的性质，放大处理得到与已知条件相矛盾，假设不成立，获得分数阶差分方程有界解振动的充分条件。以上结果优化了相关结论，丰富了相关成果，并把结果应用到具体方程之中，验证了方程解的振动性质。
关键词：定性理论；分数阶；振动性；差分；微积分
中图分类号：O175.12MSC（2010）主题分类：34B40文献标志码：A
收稿日期：20161228；修回日期：20170420；责任编辑：张军基金项目：河北省高等学校高层次人才科学研究项目（GCC2014052）；河北师范大学校级研究生创新项目（xj2016040）第一作者简介：王志云（1991—），女，河北承德人，硕士研究生，主要从事微分方程方面的研究。通信作者：李巧銮教授。Email：qll71125@163.com王志云，刘淑娟，李巧銮.分数阶差分方程解的振动性[J].河北科技大学学报，2017，38（4）：360366.
WANG Zhiyun， LIU Shujuan， LI Qiaoluan.Oscillation results for certain fractional difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2017，38（4）：360366.Oscillation results for certain fractional difference equations
WANG Zhiyun， LIU Shujuan， LI Qiaoluan
（College of Mathematics and Information Science， Hebei Normal University， Shijiazhuang， Hebei 050024， China）
Abstract：Fractional calculus is a theory that studies the properties and application of arbitrary order differentiation and integration. It can describe the physical properties of some systems more accurately， and better adapt to changes in the system， playing an important role in many fields. For example， it can describe the process of tumor growth （growth stimulation and growth inhibition） in biomedical science. The oscillation of solutions of two kinds of fractional difference equations is studied， mainly using the proof by contradiction， that is， assuming the equation has a nonstationary solution. For the first kind of equation， the function symbol is firstly determined， and by constructing the Riccati function， the difference is calculated. Then the condition of the function is used to satisfy the contradiction， that is， the assumption is false， which verifies the oscillation of the solution. For the second kind of equation with initial condition， the equivalent fractional sum form of the fractional difference equation are firstly proved. With considering 0<α≤1 and α>1， respectively， by using the properties of Stirling formula and factorial function， the contradictory is got through enhanced processing， namely the assuming is not established， and the sufficient condition for the bounded solutions of the fractional difference equation is obtained. The above results will optimize the relevant conclusions and enrich the relevant results. The results are applied to the specific equations， and the oscillation of the solutions of equations is proved. Keywords：qualitative theory； fractional； oscillation； difference； calculus
分数阶微積分可应用于越来越多的领域中，例如：生物学、物理学、粘弹性、控制理论等方面[15]。许多学者研究了分数阶微分方程的各种性质，例如：解的存在唯一性、解的稳定性、解对初值的连续依赖性、解的振动性等[613]。当物质拥有记忆和遗传效应或者诸如质量扩散与热传导的过程，在用整数阶微分方程描述时不能精确的表征其中的物理特性，这就需要对传统的整数阶微积分进行推广，以便更好地描述这些现象。 虽然分数阶差分方程解的振动性在工程领域中有着重要的作用， 但是， 关于分数阶差分方程解的振动性的相关理论较少。河北科技大学学报2017年第4期王志云，等：分数阶差分方程解的振动性 2012年，MARIAN等[14]研究了形式如下的非线性分数阶差分方程解的振动性，Δαx（t）+f1（t，x（t+α））=v（t）+f1（t，x（t+α）），
Δα-1x（t）|t=0=x0。2014年， SAGAYARAJ等[15]讨论了形式如下的分数阶差分方程解的振动性，Δ（p（t）g（Δαx（t））+q（t）f（∑t-1+αs=t0（t-s-1）（-α）x（s））=0。2016年， LI[16]考虑了带有强迫项的分数阶差分方程的解的振动性，（1+p（t））Δ（Δαx（t））+p（t）Δαx（t）+f（t，x（t））=g（t），
Δα-1x（t）|t=0=x0，0<α<1。同年， SELVAM等[17]研究了形式如下的分数阶差分方程解的振动性，Δ（a（t）（Δαx（t））r）+p（t）（Δαx（t））r+q（t）f（∑t-1+αs=t0（t-s-1）（-α）x（s））=0。受以上学者的启发，笔者讨论2类分数阶差分方程解的振动性， 得到了其振动的充分条件。 首先考虑了如下形式的方程：Δr（t）（Δαx（t））η+q（t）f（z（t））=0，t∈N0，（1）
其中Δα是RiemannLiouville定义的α阶差分算子，0<α<1，η>0是正奇整数的商，N0={0，1，2，…} 。 对于方程（1）假设有以下条件，H） r（t），q（t）是正函数，z（t）=Γ（1-α）Δα-1x（t）且f：R→R是连续函数，对于z≠0满足f（z（t））/z（t+1）≥K，其中K>0。 其次， 笔者讨论了带有初值的分数阶差分方程， 形式如式（2）所示：Δ[r（t）Δαx（t）]+q（t）f（z（t））=v（t）， t∈N0，
Δα-kx（t）|t=0=bk， k=1，2，…，m，
Δαx（t）|t=0=b0，（2）
其中m-1<α≤m，m≥1是整数，v是实函数，并且满足以下条件：H′） r（t），q（t）是正函数，z（t）=∑t-1s=0（t-s-1）-αx（s）且f：R→R是连续函数，对z≠0满足0<|f（z（t））/z（t）|≤K，其中K>0。 如果解x（t）既不最终正的， 也不最终负的， 则称x（t）是方程（1）（或者方程（2））的振动解； 否则， 称其为非振动解。
1预备知识定义1[18]设v>0，函数的v阶和分定义为Δ-vf（t）=1Γ（v）∑t-vs=a（t-s-1）（v-1）f（s），（3）
其中f（t）和Δ-vf（t）分别定义在s=a mod（1）和t=a+v mod（1）上，t（v）=Γ（t+1）Γ（t-v+1）。定义2[18]设μ>0，m-1<μ≤m，其中m是正整数，m=[μ]。设v=m-μ，f（t）的μ阶差分定义为Δμf（t）=Δm-vf（t）=ΔmΔ-vf（t）。 （4）引理1[18]对于任意实数v>0，任意正整数p，以下等式成立：Δ-vΔpf（t）=ΔpΔ-vf（t）-∑p-1k=0（t-a）（v-p+k）Γ（v+k-p+1）Δkf（a）， （5）
其中f（t）定义在Na上。引理2方程（2）的等价和分形式为x（t）=∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1）+1Γ（α）∑t-αs=0（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]。（6）证明将Δ-1算子应用到方程（2）两边， 得到：Δ-1Δ[r（t）Δαx（t）]=Δ-1[-q（t）f（z（t））+v（t）]，（7）
由定义1和引理1， 得到：Δαx（t）=r（0）r（t）b0+1r（t） ∑t-1s=0（-q（s）f（z（s））+v（s））， （8）
应用Δ-α到式（8）两边， 有Δ-αΔαx（t）=Δ-α[r（0）r（t）b0+1r（t）∑t-1s=0（-q（s）f（z（s））+v（s））]，（9）
由引理1， 得到：Δ-αΔαx（t）=Δ-αΔmΔ-（m-α）x（t）=ΔmΔ-αΔ-（m-α）x（t）-∑m-1k=0t（α-m+k）Γ（α-m+k+1）ΔkΔ-（m-α）x（0）=x（t）-∑m-1k=0t（α-m+k）Γ（α-m+k+1）bm-k，（10）
应用定义1，有：Δ-α[r（0）r（t）b0+1r（t）∑t-1s=0（-q（s）f（z（s））+v（s））]=1Γ（α）∑t-αs=0（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（-q（ξ）f（z（ξ））+v（ξ））]，（11）
由式（10）和式（11）， 得到等式（6）。引理3[19]对于α，β，t>0有：t（-β）>（t+α）（-β）。（12）引理4[20]对于分数阶函数， 有以下性质：t（β+γ）=（t-γ）（β）t（γ）。（13）
2主要结论定理1设条件H）及以下条件满足：∑∞s=0r-1η（s）=∞，（14）∑∞s=0q（s）=∞，（15） 那么方程（1）的每个解都是振动的。证明假设x（t）是方程（1）的1个非振动解。首先，假设x（t）是最终正解，则存在t1>t0使得x（t）>0，所以对t∈[t1，∞）有z（t）>0，其中z是条件H）中定义的函数。对t∈[t1，∞）有：Δ[r（t）（Δαx（t））η]=-q（t）f（z（t））<0，（16）
因此r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递减函数并且最终定号。由于t∈[t1，∞）时r（t）>0，η是正奇整数的商，则Δαx（t）最终定号。下面证明：Δαx（t）>0。（17）如果Δαx（t）<0，t∈[t1，∞），那么Δαx（t）是最终负的，存在t2∈[t1，∞）使得Δαx（t2）<0。因为r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递减的，则有：r（t）（Δαx（t））η≤r（t2）（Δαx（t2））n=c<0， t∈[t2，∞）。由条件H）得到：Δz（t）=Γ（1-α）Δαx（t）≤Γ（1-α）（cr（t））1η，对上式两边同时从t2到（t-1）求和，得到：z（t）≤z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η，令式（17）t→∞，limt→∞ inf z（t）≤limt→∞ inf [z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η]=-∞，
与z（t）>0矛盾， 所以式（17）成立。因此Δz（t）=Γ（1-α）Δαx（t）>0，即z（t）是增函數。定义Riccati函数：w（t）=r（t）（Δαx（t））ηz（t）， t∈[t1，∞），（18）
则w（t）>0，t∈[t1，∞）。由式（16）、式（18）和条件H）， 得到：Δw（t）=Δ[r（t）（Δαx（t））η]z（t）-r（t）（Δαx（t））ηΔz（t）z（t）z（t+1）=Δ[r（t）（Δαx（t））η]z（t+1）-r（t）（Δαx（t））ηz（t）+r（t）（Δαx（t））ηz（t+1）=-q（t）f（z（t））z（t+1）-w（t）+z（t）z（t+1）w（t），
故有：w（t+1）=-q（t）f（z（t））z（t+1）+z（t）z（t+1）w（t）≤w（t）-Kq（t），
即w（t+1）-w（t）≤-Kq（t），（19）
令上式t=s，两边同时对s从t2到（t-1）求和， 得到：w（t）≤w（t2）-K∑t-1s=t2q（s），那么limt→∞ inf w（t）≤limt→∞ inf[w（t2）-K∑t-1s=t2q（s）]=-∞，与w（t）>0矛盾。假设x（t）是方程（1）的一个最终负解，则存在t1>t0，使得x（t）<0，所以对t∈[t1，∞）有z（t）<0，其中z是条件H）中定义的函数，则对t∈[t1，∞）有：Δ[r（t）（Δαx（t））η]=-q（t）f（z（t））>0，（20）
因此r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递增函数并且最终定号。由于t∈[t1，∞）时r（t）>0，η是正奇整数的商，则Δαx（t）最终定号。下面证明Δαx（t）<0，t∈[t1，∞）。（21）如果Δαx（t）>0，t∈[t1，∞），那么Δαx（t）是最终正的， 存在t2∈[t1，∞）使得Δαx（t2）>0。因为r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递增的，则有r（t）（Δαx（t））η≥r（t2）（Δαx（t2））η=c>0，t∈[t2，∞）。由条件H）得到：Δz（t）Γ（1-α）=Δαx（t）≥（cr（t））1η，所以有Δz（t）≥Γ（1-α）（cr（t））1η。对上式两边同时从t2到（t-1）求和， 得到：z（t）≥z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η。令上式t→∞， limt→∞ inf z（t）≥limt→∞ inf[z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η]=∞，
与z（t）<0矛盾，所以式（21）成立。因此Δz（t）=Γ（1-α）Δαx（t）<0，即z（t）是减函数。定义Riccati函数：w（t）=r（t）（Δαx（t））ηz（t），t∈[t1，∞），则w（t）>0，t∈[t1，∞）。证明过程同以上证明类似， 在这里省略，定理得证。定理2假设条件H′） 满足， 对任意的C1，C2如果对于充分大的T有：limt→∞ inf ∑t-αs=Tt1-α（t-s-1）（α-1）r（s）[C1+C2∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）+∑s-1ξ=0v（ξ）]=-∞，（22）limt→∞ sup ∑t-αs=Tt1-α（t-s-1）（α-1）r（s）[C1+C2∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）+∑s-1ξ=0v（ξ）]=∞，（23）
则方程 （2） 的每个有界解都是振动的。证明设x（t）是方程（2）的有界非振动解。则存在M1，M2使得：M1≤x（t）≤M2。（24）首先， 假设x（t）是方程（2）的最终正解，则存在t1使x（t）>0，z（t）>0，t≥t1，将式（6）两边同时乘以t1-αΓ（α）得到：t1-αΓ（α）x（t）=t1-αΓ（α）∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1）+t1-α∑t-αs=0（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]=
t1-αΓ（α）∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1）+∑t1-1s=0t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]+∑t-αs=t1t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]≤
Φ（t）+Ψ（t，t1）+∑t-αs=t1t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+ Kr（s）∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）x（ξ）+1r（s）∑s-1ξ=0v（ξ）]，（25）
其中：Φ（t）=t1-αΓ（α）∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1），Ψ（t，t1）=∑t1-1s=0t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]。
则有：0t1，下面分别考虑0<α≤1和α>1的情况。i） 0<α≤1，则m=1，Φ（t）=t1-αt（α-1）b1，由文献＼[16＼]可知，limt→∞ t1-αt（α-1）=1，即存在M>0使（t-s）1-α（t-s）（α-1）≤M，s=0，1，2，…，t1。所以有：|Φ（t）|=t1-αt（α-1）|b1|≤M|b1|，t≥t2。（27）|Ψ（t，t1）|≤∑t1-1s=0t1-α（t-s-1）（α-1）r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（-f（z（ξ））q（ξ）+v（ξ））≤M∑t1-1s=0t1-α（t-s-1）（α-1）r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（-f（z（ξ））q（ξ）+v（ξ））=M∑t1-1s=0（tt-s-1）1-αr（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（-f（z（ξ））q（ξ）+v（ξ））≤M∑t1-1s=0（t2t2-s-1）1-αr（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（-f（z（ξ））q（ξ）+v（ξ））=C（t1，t2）。（28）由式（26），式（27）和式（28）得：∑t-αs=t1t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+Kr（s）∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）M2+1r（s）∑s-1ξ=0v（ξ）]≥-（M|b1|+C（t1，t2）），t≥t2，
上式兩边分别令t→∞取极限， 则与式（22）矛盾。ii）α>1即m≥2。利用STIRLING 公式，得到limt→∞ tα-1t（1-α）=1，即12 上式两边分别令t→∞，则与式（22）矛盾。 最后， 假设x（t）是方程（2）的最终负解， 类似可证与式（23）相矛盾。在此省略，定理得证。
3应用 考虑以下RiemannLiouville型分数阶差分方程：Δ[t-13（Δ15x（t））13]+Γ（45）t2Δ-45x（t+1）=0，t∈N0，（31）
在方程（31）中，α=15，r（t）=t-13，q（t）=t2，η=13和f（z（t））=z（t+1），得到K=1。显然：∑∞s=0r-1η（s）=∑∞s=0t=∞，则满足条件（14）。进一步有∑∞s=0q（s）=∑∞s=0s2=∞。应用定理 1，得到方程（31）的每个解都是振动的。
参考文献/References：
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关键词：定性理论；分数阶；振动性；差分；微积分
中图分类号：O175.12MSC（2010）主题分类：34B40文献标志码：A
收稿日期：20161228；修回日期：20170420；责任编辑：张军基金项目：河北省高等学校高层次人才科学研究项目（GCC2014052）；河北师范大学校级研究生创新项目（xj2016040）第一作者简介：王志云（1991—），女，河北承德人，硕士研究生，主要从事微分方程方面的研究。通信作者：李巧銮教授。Email：qll71125@163.com王志云，刘淑娟，李巧銮.分数阶差分方程解的振动性[J].河北科技大学学报，2017，38（4）：360366.
WANG Zhiyun， LIU Shujuan， LI Qiaoluan.Oscillation results for certain fractional difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2017，38（4）：360366.Oscillation results for certain fractional difference equations
WANG Zhiyun， LIU Shujuan， LI Qiaoluan
（College of Mathematics and Information Science， Hebei Normal University， Shijiazhuang， Hebei 050024， China）
Abstract：Fractional calculus is a theory that studies the properties and application of arbitrary order differentiation and integration. It can describe the physical properties of some systems more accurately， and better adapt to changes in the system， playing an important role in many fields. For example， it can describe the process of tumor growth （growth stimulation and growth inhibition） in biomedical science. The oscillation of solutions of two kinds of fractional difference equations is studied， mainly using the proof by contradiction， that is， assuming the equation has a nonstationary solution. For the first kind of equation， the function symbol is firstly determined， and by constructing the Riccati function， the difference is calculated. Then the condition of the function is used to satisfy the contradiction， that is， the assumption is false， which verifies the oscillation of the solution. For the second kind of equation with initial condition， the equivalent fractional sum form of the fractional difference equation are firstly proved. With considering 0<α≤1 and α>1， respectively， by using the properties of Stirling formula and factorial function， the contradictory is got through enhanced processing， namely the assuming is not established， and the sufficient condition for the bounded solutions of the fractional difference equation is obtained. The above results will optimize the relevant conclusions and enrich the relevant results. The results are applied to the specific equations， and the oscillation of the solutions of equations is proved. Keywords：qualitative theory； fractional； oscillation； difference； calculus
分数阶微積分可应用于越来越多的领域中，例如：生物学、物理学、粘弹性、控制理论等方面[15]。许多学者研究了分数阶微分方程的各种性质，例如：解的存在唯一性、解的稳定性、解对初值的连续依赖性、解的振动性等[613]。当物质拥有记忆和遗传效应或者诸如质量扩散与热传导的过程，在用整数阶微分方程描述时不能精确的表征其中的物理特性，这就需要对传统的整数阶微积分进行推广，以便更好地描述这些现象。 虽然分数阶差分方程解的振动性在工程领域中有着重要的作用， 但是， 关于分数阶差分方程解的振动性的相关理论较少。河北科技大学学报2017年第4期王志云，等：分数阶差分方程解的振动性 2012年，MARIAN等[14]研究了形式如下的非线性分数阶差分方程解的振动性，Δαx（t）+f1（t，x（t+α））=v（t）+f1（t，x（t+α）），
Δα-1x（t）|t=0=x0。2014年， SAGAYARAJ等[15]讨论了形式如下的分数阶差分方程解的振动性，Δ（p（t）g（Δαx（t））+q（t）f（∑t-1+αs=t0（t-s-1）（-α）x（s））=0。2016年， LI[16]考虑了带有强迫项的分数阶差分方程的解的振动性，（1+p（t））Δ（Δαx（t））+p（t）Δαx（t）+f（t，x（t））=g（t），
Δα-1x（t）|t=0=x0，0<α<1。同年， SELVAM等[17]研究了形式如下的分数阶差分方程解的振动性，Δ（a（t）（Δαx（t））r）+p（t）（Δαx（t））r+q（t）f（∑t-1+αs=t0（t-s-1）（-α）x（s））=0。受以上学者的启发，笔者讨论2类分数阶差分方程解的振动性， 得到了其振动的充分条件。 首先考虑了如下形式的方程：Δr（t）（Δαx（t））η+q（t）f（z（t））=0，t∈N0，（1）
其中Δα是RiemannLiouville定义的α阶差分算子，0<α<1，η>0是正奇整数的商，N0={0，1，2，…} 。 对于方程（1）假设有以下条件，H） r（t），q（t）是正函数，z（t）=Γ（1-α）Δα-1x（t）且f：R→R是连续函数，对于z≠0满足f（z（t））/z（t+1）≥K，其中K>0。 其次， 笔者讨论了带有初值的分数阶差分方程， 形式如式（2）所示：Δ[r（t）Δαx（t）]+q（t）f（z（t））=v（t）， t∈N0，
Δα-kx（t）|t=0=bk， k=1，2，…，m，
Δαx（t）|t=0=b0，（2）
其中m-1<α≤m，m≥1是整数，v是实函数，并且满足以下条件：H′） r（t），q（t）是正函数，z（t）=∑t-1s=0（t-s-1）-αx（s）且f：R→R是连续函数，对z≠0满足0<|f（z（t））/z（t）|≤K，其中K>0。 如果解x（t）既不最终正的， 也不最终负的， 则称x（t）是方程（1）（或者方程（2））的振动解； 否则， 称其为非振动解。
1预备知识定义1[18]设v>0，函数的v阶和分定义为Δ-vf（t）=1Γ（v）∑t-vs=a（t-s-1）（v-1）f（s），（3）
其中f（t）和Δ-vf（t）分别定义在s=a mod（1）和t=a+v mod（1）上，t（v）=Γ（t+1）Γ（t-v+1）。定义2[18]设μ>0，m-1<μ≤m，其中m是正整数，m=[μ]。设v=m-μ，f（t）的μ阶差分定义为Δμf（t）=Δm-vf（t）=ΔmΔ-vf（t）。 （4）引理1[18]对于任意实数v>0，任意正整数p，以下等式成立：Δ-vΔpf（t）=ΔpΔ-vf（t）-∑p-1k=0（t-a）（v-p+k）Γ（v+k-p+1）Δkf（a）， （5）
其中f（t）定义在Na上。引理2方程（2）的等价和分形式为x（t）=∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1）+1Γ（α）∑t-αs=0（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]。（6）证明将Δ-1算子应用到方程（2）两边， 得到：Δ-1Δ[r（t）Δαx（t）]=Δ-1[-q（t）f（z（t））+v（t）]，（7）
由定义1和引理1， 得到：Δαx（t）=r（0）r（t）b0+1r（t） ∑t-1s=0（-q（s）f（z（s））+v（s））， （8）
应用Δ-α到式（8）两边， 有Δ-αΔαx（t）=Δ-α[r（0）r（t）b0+1r（t）∑t-1s=0（-q（s）f（z（s））+v（s））]，（9）
由引理1， 得到：Δ-αΔαx（t）=Δ-αΔmΔ-（m-α）x（t）=ΔmΔ-αΔ-（m-α）x（t）-∑m-1k=0t（α-m+k）Γ（α-m+k+1）ΔkΔ-（m-α）x（0）=x（t）-∑m-1k=0t（α-m+k）Γ（α-m+k+1）bm-k，（10）
应用定义1，有：Δ-α[r（0）r（t）b0+1r（t）∑t-1s=0（-q（s）f（z（s））+v（s））]=1Γ（α）∑t-αs=0（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（-q（ξ）f（z（ξ））+v（ξ））]，（11）
由式（10）和式（11）， 得到等式（6）。引理3[19]对于α，β，t>0有：t（-β）>（t+α）（-β）。（12）引理4[20]对于分数阶函数， 有以下性质：t（β+γ）=（t-γ）（β）t（γ）。（13）
2主要结论定理1设条件H）及以下条件满足：∑∞s=0r-1η（s）=∞，（14）∑∞s=0q（s）=∞，（15） 那么方程（1）的每个解都是振动的。证明假设x（t）是方程（1）的1个非振动解。首先，假设x（t）是最终正解，则存在t1>t0使得x（t）>0，所以对t∈[t1，∞）有z（t）>0，其中z是条件H）中定义的函数。对t∈[t1，∞）有：Δ[r（t）（Δαx（t））η]=-q（t）f（z（t））<0，（16）
因此r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递减函数并且最终定号。由于t∈[t1，∞）时r（t）>0，η是正奇整数的商，则Δαx（t）最终定号。下面证明：Δαx（t）>0。（17）如果Δαx（t）<0，t∈[t1，∞），那么Δαx（t）是最终负的，存在t2∈[t1，∞）使得Δαx（t2）<0。因为r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递减的，则有：r（t）（Δαx（t））η≤r（t2）（Δαx（t2））n=c<0， t∈[t2，∞）。由条件H）得到：Δz（t）=Γ（1-α）Δαx（t）≤Γ（1-α）（cr（t））1η，对上式两边同时从t2到（t-1）求和，得到：z（t）≤z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η，令式（17）t→∞，limt→∞ inf z（t）≤limt→∞ inf [z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η]=-∞，
与z（t）>0矛盾， 所以式（17）成立。因此Δz（t）=Γ（1-α）Δαx（t）>0，即z（t）是增函數。定义Riccati函数：w（t）=r（t）（Δαx（t））ηz（t）， t∈[t1，∞），（18）
则w（t）>0，t∈[t1，∞）。由式（16）、式（18）和条件H）， 得到：Δw（t）=Δ[r（t）（Δαx（t））η]z（t）-r（t）（Δαx（t））ηΔz（t）z（t）z（t+1）=Δ[r（t）（Δαx（t））η]z（t+1）-r（t）（Δαx（t））ηz（t）+r（t）（Δαx（t））ηz（t+1）=-q（t）f（z（t））z（t+1）-w（t）+z（t）z（t+1）w（t），
故有：w（t+1）=-q（t）f（z（t））z（t+1）+z（t）z（t+1）w（t）≤w（t）-Kq（t），
即w（t+1）-w（t）≤-Kq（t），（19）
令上式t=s，两边同时对s从t2到（t-1）求和， 得到：w（t）≤w（t2）-K∑t-1s=t2q（s），那么limt→∞ inf w（t）≤limt→∞ inf[w（t2）-K∑t-1s=t2q（s）]=-∞，与w（t）>0矛盾。假设x（t）是方程（1）的一个最终负解，则存在t1>t0，使得x（t）<0，所以对t∈[t1，∞）有z（t）<0，其中z是条件H）中定义的函数，则对t∈[t1，∞）有：Δ[r（t）（Δαx（t））η]=-q（t）f（z（t））>0，（20）
因此r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递增函数并且最终定号。由于t∈[t1，∞）时r（t）>0，η是正奇整数的商，则Δαx（t）最终定号。下面证明Δαx（t）<0，t∈[t1，∞）。（21）如果Δαx（t）>0，t∈[t1，∞），那么Δαx（t）是最终正的， 存在t2∈[t1，∞）使得Δαx（t2）>0。因为r（t）（Δαx（t））η在[t1，∞）上是严格递增的，则有r（t）（Δαx（t））η≥r（t2）（Δαx（t2））η=c>0，t∈[t2，∞）。由条件H）得到：Δz（t）Γ（1-α）=Δαx（t）≥（cr（t））1η，所以有Δz（t）≥Γ（1-α）（cr（t））1η。对上式两边同时从t2到（t-1）求和， 得到：z（t）≥z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η。令上式t→∞， limt→∞ inf z（t）≥limt→∞ inf[z（t2）+∑t-1s=t2Γ（1-α）（cr（s））1η]=∞，
与z（t）<0矛盾，所以式（21）成立。因此Δz（t）=Γ（1-α）Δαx（t）<0，即z（t）是减函数。定义Riccati函数：w（t）=r（t）（Δαx（t））ηz（t），t∈[t1，∞），则w（t）>0，t∈[t1，∞）。证明过程同以上证明类似， 在这里省略，定理得证。定理2假设条件H′） 满足， 对任意的C1，C2如果对于充分大的T有：limt→∞ inf ∑t-αs=Tt1-α（t-s-1）（α-1）r（s）[C1+C2∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）+∑s-1ξ=0v（ξ）]=-∞，（22）limt→∞ sup ∑t-αs=Tt1-α（t-s-1）（α-1）r（s）[C1+C2∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）+∑s-1ξ=0v（ξ）]=∞，（23）
则方程 （2） 的每个有界解都是振动的。证明设x（t）是方程（2）的有界非振动解。则存在M1，M2使得：M1≤x（t）≤M2。（24）首先， 假设x（t）是方程（2）的最终正解，则存在t1使x（t）>0，z（t）>0，t≥t1，将式（6）两边同时乘以t1-αΓ（α）得到：t1-αΓ（α）x（t）=t1-αΓ（α）∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1）+t1-α∑t-αs=0（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]=
t1-αΓ（α）∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1）+∑t1-1s=0t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]+∑t-αs=t1t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]≤
Φ（t）+Ψ（t，t1）+∑t-αs=t1t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+ Kr（s）∑s-1ξ=0q（ξ）∑ξ-1η=0（ξ-η-1）（-α）x（ξ）+1r（s）∑s-1ξ=0v（ξ）]，（25）
其中：Φ（t）=t1-αΓ（α）∑m-1k=0bm-kt（α-m+k）Γ（α-m+k+1），Ψ（t，t1）=∑t1-1s=0t1-α（t-s-1）（α-1）[r（0）r（s）b0+1r（s）∑s-1ξ=0（v（ξ）-f（z（ξ））q（ξ））]。
则有：0
上式兩边分别令t→∞取极限， 则与式（22）矛盾。ii）α>1即m≥2。利用STIRLING 公式，得到limt→∞ tα-1t（1-α）=1，即12
3应用 考虑以下RiemannLiouville型分数阶差分方程：Δ[t-13（Δ15x（t））13]+Γ（45）t2Δ-45x（t+1）=0，t∈N0，（31）
在方程（31）中，α=15，r（t）=t-13，q（t）=t2，η=13和f（z（t））=z（t+1），得到K=1。显然：∑∞s=0r-1η（s）=∑∞s=0t=∞，则满足条件（14）。进一步有∑∞s=0q（s）=∑∞s=0s2=∞。应用定理 1，得到方程（31）的每个解都是振动的。
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