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摘要：针对金免疫层析试条定量检测系统中OD（光密度）-浓度的拟合曲线会出现检测值与实际值偏差较大，容易导致定性结果错误的情况，提出以最大绝对误差最小为评价指标的曲线拟合方案，并转化为相应的约束优化问题使用神经动力学优化算法进行求解。仿真数据实验表明神经动力学曲线拟合方法明显优于插值法和三次样条，与最小二乘法相比在等同条件下50次曲线拟合的平均最大绝对误差降低14%；通过金免疫层析试条定量检测仪的一组标定数据实验表明三次多项式基本符合OD值与浓度正相关关系，且此时神经动力学拟合曲线的最大误差与最小二乘法相比降低25%；实验结果表明该文提出的神经动力学曲线拟合方法结果收敛稳定，且有效降低最大绝对误差，为金免疫层析试条定量检测提供一种新的较简单和精确的曲线拟合方法。
关键词：金免疫层析试条；定量检测；曲线拟合；约束优化；神经动力学优化算法；最小二乘法
文獻标识码：A 文章编号：1674-5124（2016）11-0126-05
0 引言
金免疫层析试条由于操作简便、反应时间短、可单人份等优点，已广泛应用于各种疾病的检测与预防，尤其是广大基层医院和诊所的检测与诊断。从理论上说金免疫层析试条检测线中显色的纳米胶体金的数目和被测液的浓度是线性正相关，即待检浓度与检测线的显色面积及深浅成正相关。但金免疫层析试条检测线光密度值（OD值）的提取受到光散射、仪器检测误差、试液杂质干扰、试条响应均匀性、光照饱和度和试条本身误差等综合因素影响，导致定量检测仪器输出的OD值与被测液浓度函数曲线的线性度不佳。目前确定OD值与被测液浓度关系的方法主要有机器学习、深度学习和曲线拟合这3大类。由于机器学习与深度学习需要大量样本训练以精确确定OD值与被测试液浓度的对应关系，这对于分批生产且不同批次参数不同的金免疫层析试条来说成本太高且不易硬件实现；而曲线拟合方法需要的训练样本少且实现简单，在曲线拟合方法中最小二乘法以其简便和精度较好而得到广泛应用，但最小二乘法是以误差的平方和最小为评价指标，无法对最大绝对误差做出有效的约束。
针对这一问题，本文提出以拟合值与实际值最大误差最小为评价指标的曲线拟合方法，其本质就是约束优化问题，而目前求解约束优化问题的方法主要有投影梯度法、谱投影梯度法、截断牛顿法、有记忆拟牛顿法等，但这些求解方法都不同程度地存在时间复杂度高和局部最优解的问题。根据上述情况，本文引入神经动力学优化算法求解这一约束优化问题，其基本思想是通过能量函数把优化问题的求解转化为全局收敛的微分方程问题的求解。
1 金免疫层析试条定量检测及曲线拟合评价指标的建立
目前金免疫层析试条定量检测主流产品的测试流程如图1所示，其测试流程为首先把待测样本液体滴入金免疫层析试条，待反应充分后光电传感装置中的CCD开始对试条进行扫描，然后CCD扫描获取的模拟信号经过预处理后传送给DSP，最后DSP从接收到的模拟信号中获取试条检测线的光密度值（OD值）并通过已有的OD-浓度曲线获得被测试条的浓度值。如果有更复杂的处理还可以把检测结果通过RS232传送给计算机进行后续处理。
由检测流程可知OD-浓度曲线对金免疫层析试条的定量检测结果的影响是直接且不可避免的，而由Lambert-Beerd定律可以推导出OD与浓度的关系为
od=k·nd （1）其中：k为比例系数，od是光密度值（OD值），nd为待测液浓度值，所以在理想状态下OD值与被测液的浓度之间是线性关系。然而现实中由于金免疫层析试条定量检测受到光散射，仪器检测误差、试液杂质干扰、试条响应均匀性、光照饱和度和试条本身误差等综合因素影响，导致OD值与待测液体浓度之间呈非线性关系，并且在高浓度区域这种非线性关系更明显，所以OD值与待测液体浓度值之间的函数关系可以近似由下式表示：
（2）式中：xi——待求的多项式第i次项的系数；
n——多项式的最高次数。
所以当给定m个样本值（odi，ndi），i=1，2，…，m，其拟合值与实际值最大误差最小的表达式如下所示：
（3）
（4）
2 金免疫层析试条OD-浓度曲线拟合
目前神经动力学优化算法还没有直接求解无穷范式的方法。为此为了将式（4）转化为神经动力学优化算法可以求解的形式，首先令：
输出方程：U（t）=u（t）。
其中A为常数，由式（12）可知其微分方程组的全局最优解u（t）是本文所要求解的多项式的系数和曲线的最大绝对误差值。
3 实验结果与分析
实验中分别使用线性插值（LI）、三次样条（CS）、最小二乘法（LS）和本文提出的神经动力学（NDOA）对图3所给出的14个带噪声的数据点进行曲线拟合，其中最小二乘法和神经动力学的方法拟合曲线的多项式最高阶次Ⅳ=3。当样本个数M=1300时的曲线拟合比较结果如图3所示。
由图3（a）、图3（b）可知线性插值和三次样条存在不同程度的过拟合现象，拟合曲线受噪声影响严重。
图3（c）、图3（d）所示的多项式阶次Ⅳ=3时最小二乘法、神经动力学拟合的曲线的绝对误差分布如图4所示，误差分布参数如表1所示。的效果，实验中再使用最小二乘法和神经动力学曲线拟合方法分别对金免疫层析试条定量检测仪的一组标定数据进行一次多项式、二次多项式、三次多项式和四次多项式的拟合。其中神经动力学拟合的多项式系数收敛情况如图5所示，最小二乘法和神经动力学多项式拟合曲线如图6所示，各阶次拟合的最大绝对偏差统计如表3所示。
由表1可知，虽然图4所示的拟合曲线的平均绝对误差基本一致，但神经动力学拟合的最大绝对误差下降了26.2%，误差的方差下降了43.7%，优势明显。
为体现本文提出方法的稳定性，分别使用线性插值、三次样条、最小二乘法和本文提出的神经动力学分别对图3所示的50组仿真数据进行曲线拟合，其平均的最大绝对误差如表2所示。
由表可以看出，线性插值、三次样条的最大绝对误差明显较大，最小二乘法拟合曲线的平均最大绝对误差为512，而本文提出的神经动力学拟合曲线的平均最大绝对误差为441，比最小二乘法拟合曲线的平均最大绝对误差降低了14%。
为了进一步验证本文提出方法在实际使用中
由图6和表3可知，多项式拟合阶次Ⅳ≥3时的最大相对误差相比于N=1，2下降显著，表明金免疫层析试条定量检测数据的标准工作曲线的拟合阶次N≥3。对图6的多项式拟合曲线进行误差分析，其各阶次的绝对误差对比如图7所示。
由图可以看出从一次到四次多项式拟合曲线的绝对误差，相比于神经动力学曲线拟合，最小二乘法拟合的曲线最大绝对误差均偏大。从表3也可以看出本文的神经动力学拟合曲线的最大偏差值与最小二乘法相比较有明显降低，并且当Ⅳ=3时，神经动力学拟合曲线的最大误差与最小二乘法相比降低了25%，更适合金免疫层析试条定量检测数据的标准工作曲线的拟合。
4 结束语
针对金免疫层析试条定量检测系统中OD（光密度）一浓度的拟合曲线会出现检测值与实际值偏差比较大容易导致定性结果错误的情况，本文提出以拟合值与实际值最大绝对误差最小为评价指标的曲线拟合方法，并使用神经动力学进行求解；通过金免疫层析试条定量检测仪一组标定数据的实验表明，在符合OD值与浓度正相关系时的N=3多项式曲线拟合，神经动力学拟合曲线的最大误差与最小二乘法相比降低了25%。本文提出的神经动力学曲线拟合方法结果收敛稳定，并能够有效降低拟合的最大绝对误差，适用于金免疫层析试条定量检测数据的标准工作曲线的拟合。
（编辑：莫婕）
关键词：金免疫层析试条；定量检测；曲线拟合；约束优化；神经动力学优化算法；最小二乘法
文獻标识码：A 文章编号：1674-5124（2016）11-0126-05
0 引言
金免疫层析试条由于操作简便、反应时间短、可单人份等优点，已广泛应用于各种疾病的检测与预防，尤其是广大基层医院和诊所的检测与诊断。从理论上说金免疫层析试条检测线中显色的纳米胶体金的数目和被测液的浓度是线性正相关，即待检浓度与检测线的显色面积及深浅成正相关。但金免疫层析试条检测线光密度值（OD值）的提取受到光散射、仪器检测误差、试液杂质干扰、试条响应均匀性、光照饱和度和试条本身误差等综合因素影响，导致定量检测仪器输出的OD值与被测液浓度函数曲线的线性度不佳。目前确定OD值与被测液浓度关系的方法主要有机器学习、深度学习和曲线拟合这3大类。由于机器学习与深度学习需要大量样本训练以精确确定OD值与被测试液浓度的对应关系，这对于分批生产且不同批次参数不同的金免疫层析试条来说成本太高且不易硬件实现；而曲线拟合方法需要的训练样本少且实现简单，在曲线拟合方法中最小二乘法以其简便和精度较好而得到广泛应用，但最小二乘法是以误差的平方和最小为评价指标，无法对最大绝对误差做出有效的约束。
针对这一问题，本文提出以拟合值与实际值最大误差最小为评价指标的曲线拟合方法，其本质就是约束优化问题，而目前求解约束优化问题的方法主要有投影梯度法、谱投影梯度法、截断牛顿法、有记忆拟牛顿法等，但这些求解方法都不同程度地存在时间复杂度高和局部最优解的问题。根据上述情况，本文引入神经动力学优化算法求解这一约束优化问题，其基本思想是通过能量函数把优化问题的求解转化为全局收敛的微分方程问题的求解。
1 金免疫层析试条定量检测及曲线拟合评价指标的建立
目前金免疫层析试条定量检测主流产品的测试流程如图1所示，其测试流程为首先把待测样本液体滴入金免疫层析试条，待反应充分后光电传感装置中的CCD开始对试条进行扫描，然后CCD扫描获取的模拟信号经过预处理后传送给DSP，最后DSP从接收到的模拟信号中获取试条检测线的光密度值（OD值）并通过已有的OD-浓度曲线获得被测试条的浓度值。如果有更复杂的处理还可以把检测结果通过RS232传送给计算机进行后续处理。
由检测流程可知OD-浓度曲线对金免疫层析试条的定量检测结果的影响是直接且不可避免的，而由Lambert-Beerd定律可以推导出OD与浓度的关系为
od=k·nd （1）其中：k为比例系数，od是光密度值（OD值），nd为待测液浓度值，所以在理想状态下OD值与被测液的浓度之间是线性关系。然而现实中由于金免疫层析试条定量检测受到光散射，仪器检测误差、试液杂质干扰、试条响应均匀性、光照饱和度和试条本身误差等综合因素影响，导致OD值与待测液体浓度之间呈非线性关系，并且在高浓度区域这种非线性关系更明显，所以OD值与待测液体浓度值之间的函数关系可以近似由下式表示：
（2）式中：xi——待求的多项式第i次项的系数；
n——多项式的最高次数。
所以当给定m个样本值（odi，ndi），i=1，2，…，m，其拟合值与实际值最大误差最小的表达式如下所示：
（3）
（4）
2 金免疫层析试条OD-浓度曲线拟合
目前神经动力学优化算法还没有直接求解无穷范式的方法。为此为了将式（4）转化为神经动力学优化算法可以求解的形式，首先令：
输出方程：U（t）=u（t）。
其中A为常数，由式（12）可知其微分方程组的全局最优解u（t）是本文所要求解的多项式的系数和曲线的最大绝对误差值。
3 实验结果与分析
实验中分别使用线性插值（LI）、三次样条（CS）、最小二乘法（LS）和本文提出的神经动力学（NDOA）对图3所给出的14个带噪声的数据点进行曲线拟合，其中最小二乘法和神经动力学的方法拟合曲线的多项式最高阶次Ⅳ=3。当样本个数M=1300时的曲线拟合比较结果如图3所示。
由图3（a）、图3（b）可知线性插值和三次样条存在不同程度的过拟合现象，拟合曲线受噪声影响严重。
图3（c）、图3（d）所示的多项式阶次Ⅳ=3时最小二乘法、神经动力学拟合的曲线的绝对误差分布如图4所示，误差分布参数如表1所示。的效果，实验中再使用最小二乘法和神经动力学曲线拟合方法分别对金免疫层析试条定量检测仪的一组标定数据进行一次多项式、二次多项式、三次多项式和四次多项式的拟合。其中神经动力学拟合的多项式系数收敛情况如图5所示，最小二乘法和神经动力学多项式拟合曲线如图6所示，各阶次拟合的最大绝对偏差统计如表3所示。
由表1可知，虽然图4所示的拟合曲线的平均绝对误差基本一致，但神经动力学拟合的最大绝对误差下降了26.2%，误差的方差下降了43.7%，优势明显。
为体现本文提出方法的稳定性，分别使用线性插值、三次样条、最小二乘法和本文提出的神经动力学分别对图3所示的50组仿真数据进行曲线拟合，其平均的最大绝对误差如表2所示。
由表可以看出，线性插值、三次样条的最大绝对误差明显较大，最小二乘法拟合曲线的平均最大绝对误差为512，而本文提出的神经动力学拟合曲线的平均最大绝对误差为441，比最小二乘法拟合曲线的平均最大绝对误差降低了14%。
为了进一步验证本文提出方法在实际使用中
由图6和表3可知，多项式拟合阶次Ⅳ≥3时的最大相对误差相比于N=1，2下降显著，表明金免疫层析试条定量检测数据的标准工作曲线的拟合阶次N≥3。对图6的多项式拟合曲线进行误差分析，其各阶次的绝对误差对比如图7所示。
由图可以看出从一次到四次多项式拟合曲线的绝对误差，相比于神经动力学曲线拟合，最小二乘法拟合的曲线最大绝对误差均偏大。从表3也可以看出本文的神经动力学拟合曲线的最大偏差值与最小二乘法相比较有明显降低，并且当Ⅳ=3时，神经动力学拟合曲线的最大误差与最小二乘法相比降低了25%，更适合金免疫层析试条定量检测数据的标准工作曲线的拟合。
4 结束语
针对金免疫层析试条定量检测系统中OD（光密度）一浓度的拟合曲线会出现检测值与实际值偏差比较大容易导致定性结果错误的情况，本文提出以拟合值与实际值最大绝对误差最小为评价指标的曲线拟合方法，并使用神经动力学进行求解；通过金免疫层析试条定量检测仪一组标定数据的实验表明，在符合OD值与浓度正相关系时的N=3多项式曲线拟合，神经动力学拟合曲线的最大误差与最小二乘法相比降低了25%。本文提出的神经动力学曲线拟合方法结果收敛稳定，并能够有效降低拟合的最大绝对误差，适用于金免疫层析试条定量检测数据的标准工作曲线的拟合。
（编辑：莫婕）