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【摘 要】本文列举的几对导数形式相似、实质不同,容易混淆。通过类似题目的不完全类似甚至截然相反的解法训练和思辩,引导学生找出问题的差异与联系,选择正确合理的解法,达到举一反三,触类旁通的目的,从而取得事半功倍的效果。
【关键词】混淆 单调性 极值与最值
导数作为一种数学解题工具,在求函数的单调性、最值和切线方程等数学问题时极为方便。在解题过程中由于学生容易混淆一些基本的概念而导致解题的错误。本文就导数中学生容易混淆的几对概念关系进行剖析,帮助学生加深对概念的理解,提高解题能力。
一、(xn)'的(ax)'同形关系
由于学生没有区分指数函数与幂函数的不同,认为xn与ax都是幂函数或者都是指数函数,以致受[xn]'=nxn-1的干扰,认为[ax]'=xax-1,从而导致解题错误。如对函数f(x)=500×(x·0.834x-1)求导,学生常写成f '(x)=500×[x·(x-1)0.834x-1]。
二、在某点处的切线与过某点的切线
导数的几何意义是曲线在相应点处切线的斜率,由此可以求切线的方程。但解决求曲线的切线这类问题,应先看该点是否在曲线上,即区分是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”。函数在某点处的切线是指过此点且以该点为切点的切线,从而该点也必须是曲线上的点;过某点的切线则不一定要以此点为切点,点也不一定要在曲线上,因此所求切线可能不止一条。若该点不是切点,则应另设切点,利用切点既在切线上又在曲线上建立方程组进行求解。
三、函数的单调性与导数的取值符号
在某个区间上满足:f '(x)>0(或>f '(x)<0),则函数单调递增(或单调递减),若在某个区间上恒满足:f '(x)=0,则函数为常数函数。若函数y=f (x)在某区间上是增函数(或是减函数),则函数y=f (x)在该区间上满足:
f '(x)≥0(或f '(x)≤0),函数的导数在该区间内有限个点处取到零,函数的单调性保持不变,因此导数值大于零(或小于零)是该函数单调递增(或单调递减)的充分不必要条件。
四、x0为极值点与f '(x0)=0的等价关系
在函数可导的条件下,f '(x0)=0是y=f (x)在x=x0处有极值的必要不充分条件,只有当f 1(x)在x=x0的左、右两侧值为异号的情况下,x0才能成为极值点。反过来,当y=f (x)在x=x0 处有极值时,只有在该函数y=f(x)可导的条件下f '(x0)=0,也会存在该函数在y=f (x)在x=x0不可导,即:f '(x0)的值不存在。例如函数y=x3在x=0处导数等于零,但结合其图像知x=0不是极值点,其原因是左右导数都大于零。当函数不可导时则应另当别论,例如函数y=x在x=0处取最小值,但f '(0)不存在。
五、函数的极值与最值
函数y=f (x)在x=x0处取得极大值(极小值)的要求是:该函数在x=x0处及其附近有定义,且对x=x0附近的所有x都有f (x)<f (x0),(f (x)>f (x0))。即:函数在x=x0处x=x0取极值指的是函数在x=x0“附近”具有的最大(小)性。它是一个局部概念,而最值在“定义域”内具有最大(小)性,它是一个整体概念。理解中注意以下几点:(1)极值可能不唯一,即:极大值与极小值可能有多个,最大值和最小值若存在则只有一个。(2)最大值一定不小于最小值,但极大值可能小于最小值。(3)函数的最值可能在极值点、导数不存在的点或端点处取到。
六、函数在某点处连续与可导
连续与可导是高等数学中最基本的两个概念,函数y=f (x)在x=x0在处连续是指函数在x=x0及其附近有定义,且f (x)=f (x0),(x)在x=x0处可导是指当△x→0时,的极限存在,记为:f '(x0)=;从函数图像上看,连续是指函数图像在x=x0处连续不断,在x=x0处既没有被“挖去”又没有“断开”,而可导要求函数图像在x=x0处有切线,曲线在x=x0处是“光滑”的;从关系上来看:可导一定连续,但连续不一定可导,即:连续是可导的必要不充分条件。
(江苏丰县职教中心;221700)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】混淆 单调性 极值与最值
导数作为一种数学解题工具,在求函数的单调性、最值和切线方程等数学问题时极为方便。在解题过程中由于学生容易混淆一些基本的概念而导致解题的错误。本文就导数中学生容易混淆的几对概念关系进行剖析,帮助学生加深对概念的理解,提高解题能力。
一、(xn)'的(ax)'同形关系
由于学生没有区分指数函数与幂函数的不同,认为xn与ax都是幂函数或者都是指数函数,以致受[xn]'=nxn-1的干扰,认为[ax]'=xax-1,从而导致解题错误。如对函数f(x)=500×(x·0.834x-1)求导,学生常写成f '(x)=500×[x·(x-1)0.834x-1]。
二、在某点处的切线与过某点的切线
导数的几何意义是曲线在相应点处切线的斜率,由此可以求切线的方程。但解决求曲线的切线这类问题,应先看该点是否在曲线上,即区分是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”。函数在某点处的切线是指过此点且以该点为切点的切线,从而该点也必须是曲线上的点;过某点的切线则不一定要以此点为切点,点也不一定要在曲线上,因此所求切线可能不止一条。若该点不是切点,则应另设切点,利用切点既在切线上又在曲线上建立方程组进行求解。
三、函数的单调性与导数的取值符号
在某个区间上满足:f '(x)>0(或>f '(x)<0),则函数单调递增(或单调递减),若在某个区间上恒满足:f '(x)=0,则函数为常数函数。若函数y=f (x)在某区间上是增函数(或是减函数),则函数y=f (x)在该区间上满足:
f '(x)≥0(或f '(x)≤0),函数的导数在该区间内有限个点处取到零,函数的单调性保持不变,因此导数值大于零(或小于零)是该函数单调递增(或单调递减)的充分不必要条件。
四、x0为极值点与f '(x0)=0的等价关系
在函数可导的条件下,f '(x0)=0是y=f (x)在x=x0处有极值的必要不充分条件,只有当f 1(x)在x=x0的左、右两侧值为异号的情况下,x0才能成为极值点。反过来,当y=f (x)在x=x0 处有极值时,只有在该函数y=f(x)可导的条件下f '(x0)=0,也会存在该函数在y=f (x)在x=x0不可导,即:f '(x0)的值不存在。例如函数y=x3在x=0处导数等于零,但结合其图像知x=0不是极值点,其原因是左右导数都大于零。当函数不可导时则应另当别论,例如函数y=x在x=0处取最小值,但f '(0)不存在。
五、函数的极值与最值
函数y=f (x)在x=x0处取得极大值(极小值)的要求是:该函数在x=x0处及其附近有定义,且对x=x0附近的所有x都有f (x)<f (x0),(f (x)>f (x0))。即:函数在x=x0处x=x0取极值指的是函数在x=x0“附近”具有的最大(小)性。它是一个局部概念,而最值在“定义域”内具有最大(小)性,它是一个整体概念。理解中注意以下几点:(1)极值可能不唯一,即:极大值与极小值可能有多个,最大值和最小值若存在则只有一个。(2)最大值一定不小于最小值,但极大值可能小于最小值。(3)函数的最值可能在极值点、导数不存在的点或端点处取到。
六、函数在某点处连续与可导
连续与可导是高等数学中最基本的两个概念,函数y=f (x)在x=x0在处连续是指函数在x=x0及其附近有定义,且f (x)=f (x0),(x)在x=x0处可导是指当△x→0时,的极限存在,记为:f '(x0)=;从函数图像上看,连续是指函数图像在x=x0处连续不断,在x=x0处既没有被“挖去”又没有“断开”,而可导要求函数图像在x=x0处有切线,曲线在x=x0处是“光滑”的;从关系上来看:可导一定连续,但连续不一定可导,即:连续是可导的必要不充分条件。
(江苏丰县职教中心;221700)
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