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摘 要：第13届国际数学教育大会（ICME-13）把概率教与学作为重要议题之一.从ICME-13的文献与报告中可以发现，高中教师对事件独立性的理解存在一定误区；初中学生对随机概念和样本空间等知识的理解还不够透彻；大多数高中学生喜欢借助树状图和列表来解题.因此，教师必须不断学习，提高自己的数学专业知识水平和教育教学水平.学生不仅要善于用文字语言、图像语言和符号语言对概率知识进行表征，而且要善于对概念、公式进行比较、归纳和概括，形成清晰的网络图示或知识网络.
关键词：ICME；中学概率教与学；概念理解
概率的教与学是当前我国数学教育的重要内容之一.2016年第13届国际数学教育大会（ICME-13）在德国汉堡召开，“概率统计的教与学”是其中的一个专题.可以说，这是国际数学教育最高水平的会议.国际数学教育的同人研究了哪些中学概率统计的教学问题？有哪些新的进展？这些进展对我国概率的教与学有哪些启示？基于ICME-13会议中关于概率教与学的文献与报告，进行综述与分析，以期为我国中学概率统计的教学提供借鉴.
一、研究主题明确 聚焦教师理解
在概率和统计中，独立性是非常基础的概念.各国的学校课程中也都包含独立事件.美国俄克拉荷马州立大学的Adam Molnar做了一项教师关于独立性理解现状的研究[1].来自美国的宾夕法尼亚州、格鲁吉亚州和南卡罗来纳州的25名高中数学教师参与这项研究.其中具有教育硕士及以上学位的有19人，概率教学经验丰富的有7人.参与的教师需要回答9个任务型的问题，例如：从2500人中随机选择一名，请问事件“他是一个大学毕业生”与事件“他是从互联网上获得新闻的”是否独立？为什么？
该问题可以用独立事件的乘法定义或条件定义来解决，也就是说，如果事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，则事件A和事件B是独立的.假设事件C为抽到的人是大学毕业生、事件N为他是从互联网上获得新闻的，可通过计算[PC×PN=P（CN）]是否成立来判断两个事件是否独立.左边=[6932500×6872500=0.076]，[右边=2452500=0.098]，因为0.076≠0.098，即左边[≠]右边.所以事件C和事件N是相互依赖的，两者并不独立.
实验数据显示，在25名美国高中数学教师中，只有3人给出正确答案.在访谈过程中，有8名教师提到学生也经常会误解事件的独立性；2名教师对独立事件和互斥事件之间的关系比较模糊；部分教师表示对概率词汇存在高误解率，是因为美国当前数学课程对概率知识还不够重视.根据研究结果，可以推断，较多美国高中数学教师对事件独立性的理解存在误区.
二、交流范围宽广 重视学生认知
除了讨论教师对概率知识的理解情况外，ICME-13大会的概率组对中学生对概率问题的理解和解题情况也进行了研究.
（一）初中生对随机发生器的理解
印度德里大学教育学院的Haneet通过一项对称多面体的实验，来了解初中生对随机发生器的看法，从而来研究其对事件随机性的理解[2].Haneet在印度德里私立学校的八年级学生（年龄在13～14岁）中找了8名，随机分成两组，每组4名.按照印度的常规课程，被测的学生已经学过古典概型和几何课程.
首先，为每组学生提供八个多面体（正四面体，立方体，正八面体，正二十面体，正四棱锥，正六棱锥，正三棱柱和正六棱柱）.接着，在学生小组讨论后，决定选择哪个多面体作为游戏里的“骰子”.最后，询问他们选择的原因.研究方法采用的是视频录制和访谈.
实验结果初步显示，两组学生分别选择正八面体和正二十面体作为骰子.访谈数据集中反映了以下4个方面：
（1）两个组用于选择的最重要的条件是多面体样本空间的大小.两组确保它们各自选的多面体与立方体相比具有更大的样本空间，即更多的面；
（2）从多面体的形状上来看，拿来当骰子的物品是完全对称的，从而确保游戏的公平（物理对称性）；
（3）学生存在等可能性偏差的问题.也就是说，学生认为在有限次的投掷中，每个数字至少出现一次；
（4）学生存在与“样本空间的穷尽”相关的误解.例如，学生认为对正八面体来说，不管怎么投掷，扔八次中每个数字都会出现一次.
显然，大多数学生认为事件的概率和比例相关.受之前学习过的古典概型的影响，学生会先列举样本空间，然后计算期望的事件和样本空间大小之间的比，即事件的概率.因此，学生自然而然地去选择较大的样本空间，同时考虑到游戏的公平性，选择的多面体都应具有对称性的.由于正八面体和正二十面体都符合古典概型的定义，两组人都认为他们的模型中每个面出现的概率都是相等的.但是从实验中不难发现，初中生对随机事件的概率概念和样本空间的适用条件等仍存在一定的误解.
（二）高三学生对复合随机实验的理解
高中学生如何通过推理找到复合随机实验的样本空间？教学前后学生会用什么方法计算复合事件的概率？学生在解决这些问题时可能会遇到哪些困难？为了回答上述问题，墨西哥的Pedro Landín-Vargas等人对一所公立学校的28名高三学生进行调查研究.在测试之前，研究人员设计了一门含有阶段测试的概率课程.而后测采用的是高三学生数学课程中的概率知识（二项分布和正态分布）.
测试的问题如下所示.问题1涉及两步骤的随机实验，而问题2则由三步骤的随机实验组成.
问题1.一对夫妇计划生两个孩子.假设生男孩或女孩的可能性相同，并且任何一个的性别不影响另一個的性别.
a.记下两个孩子性别的所有组合.
b.假设问题a中列出的结果同样可能，两个女孩出生的概率是多少？
c.每种性别的孩子的概率是多少？
问题2.向空中掷了1美元硬币、2美元硬币和5美元硬币. a.写出在空中抛掷三个硬币的所有结果.
b.抛掷三个硬币，结果一个反面都没有的概率是多少？
c.抛掷三个硬币，结果有一个反面的概率是多少？
d.抛掷三个硬币，结果有两个反面的概率是多少？
e.抛掷三个硬币，结果三个都是反面的概率是多少？
基于SOLO分类法的五个层次，Pedro Landín-Vargas等研究人员根据高中生在解决概率问题的表现，完善了概率层次推理模型，补充了处于不同概率推理水平的具体表现特点，具体如表1所示[3].
根据实验的前测和后测得分，结果发现：
（1）在前测中，近一半的学生使用样本空间的概念；在后测中，大约有60%的学生使用这种概念.
（2）在前测中，71%的学生处于主观或过渡水平，只有29%的学生处于不规则的量化或数值水平；在后测中，43%的学生处于主观或过渡水平，而有54%的学生达到不规则的量化或数值水平.
（3）近60%的学生用拉普拉斯的概率定义来计算概率的值，另外三分之一的学生用加法或乘法法则来计算概率.
（4）从解题步骤来看，前测中有43%的学生通过列表法和枚举法来构建样本空间并计算概率；后测中有43%的学生使用树状图来计算概率（29%通过概率的加法或乘法法则，11%通过拉普拉斯的概率定义，剩余的3%用了其他策略）.
此外，在Lydia和Makonye等人的研究中，大约90%的学生能利用树状图正确求解问题，85%的学生通过列表求解，约50%的學生用列联表（Contingency tables），还有的学生通过维恩图和双向表来帮助理解问题和求解[4]. 多个研究数据均表明，学生最常用的辅助方式是列表和树状图，约21%的学生能用代数符号来表示随机变量，从而进行解题.对高三学生来说，很少有学生能够理解并通过代数符号表示随机变量，从而来解决概率问题.
三、小结与展望
通过上述ICME-13的相关论文，可以发现美国大多数教师对事件独立性的理解有所欠缺，自身的数学专业知识还需要加强；大多数学生可以利用不同的表征方式来列举概率问题的结果，并且学生也表现出对随机序列中连续事件的独立性也有很好的理解.但是在研究中也发现，学生对随机概念和样本空间枚举存在一定的误解.同时，学生在解决概率问题时的抽象水平还不够高，大部分学生处于概率层次推理模型中的主观或过渡水平.
教师对事件独立性的误解会影响其教学.为了能胜任新世纪的教育教学工作，教师必须不断学习，提高自己的数学专业知识水平和教育教学水平.同时，对高等师范院校而言，高等师范院校在概率统计的教学中应有针对性地结合中学数学课程改革的具体情况加强教学，以免造成师范生所学与中学教学实践的严重脱节.另外，希望教师们注意自己平时上课的表述，以更恰当的表达方式帮助学生理解概率问题.
对于学生的学，一方面，概率内容的直观性决定学生对概念、公式的理解需要从不同角度、不同方式进行多元表征，用多种数学语言表达同一个概念和公式，突出概念、公式的本质属性；另一方面，概率中的概念和公式众多、零散，并且多数概念表面上差异不明显，容易混淆.这就要求学生不仅要善于用文字语言、图像语言和符号语言对概率知识进行表征，而且要善于对概念、公式进行比较、归纳和概括，从而形成清晰的网络图示或知识网络.
参考文献：
[1]MOLNAR A. High school mathematics teachers’ understanding of independent events[C].Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
[2]GANDHI H. Understanding children conception of randomness through explorations with symmetrical polyhedrons[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
[3]LANDIN-VARGAS P， SALINAS J. Probability reasoning of high school students on sample space and probability of compound events[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
[4]MUTARA L， MAKONYE J. Learners’use of probability models in answering probability tasks in South Africa[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
关键词：ICME；中学概率教与学；概念理解
概率的教与学是当前我国数学教育的重要内容之一.2016年第13届国际数学教育大会（ICME-13）在德国汉堡召开，“概率统计的教与学”是其中的一个专题.可以说，这是国际数学教育最高水平的会议.国际数学教育的同人研究了哪些中学概率统计的教学问题？有哪些新的进展？这些进展对我国概率的教与学有哪些启示？基于ICME-13会议中关于概率教与学的文献与报告，进行综述与分析，以期为我国中学概率统计的教学提供借鉴.
一、研究主题明确 聚焦教师理解
在概率和统计中，独立性是非常基础的概念.各国的学校课程中也都包含独立事件.美国俄克拉荷马州立大学的Adam Molnar做了一项教师关于独立性理解现状的研究[1].来自美国的宾夕法尼亚州、格鲁吉亚州和南卡罗来纳州的25名高中数学教师参与这项研究.其中具有教育硕士及以上学位的有19人，概率教学经验丰富的有7人.参与的教师需要回答9个任务型的问题，例如：从2500人中随机选择一名，请问事件“他是一个大学毕业生”与事件“他是从互联网上获得新闻的”是否独立？为什么？
该问题可以用独立事件的乘法定义或条件定义来解决，也就是说，如果事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，则事件A和事件B是独立的.假设事件C为抽到的人是大学毕业生、事件N为他是从互联网上获得新闻的，可通过计算[PC×PN=P（CN）]是否成立来判断两个事件是否独立.左边=[6932500×6872500=0.076]，[右边=2452500=0.098]，因为0.076≠0.098，即左边[≠]右边.所以事件C和事件N是相互依赖的，两者并不独立.
实验数据显示，在25名美国高中数学教师中，只有3人给出正确答案.在访谈过程中，有8名教师提到学生也经常会误解事件的独立性；2名教师对独立事件和互斥事件之间的关系比较模糊；部分教师表示对概率词汇存在高误解率，是因为美国当前数学课程对概率知识还不够重视.根据研究结果，可以推断，较多美国高中数学教师对事件独立性的理解存在误区.
二、交流范围宽广 重视学生认知
除了讨论教师对概率知识的理解情况外，ICME-13大会的概率组对中学生对概率问题的理解和解题情况也进行了研究.
（一）初中生对随机发生器的理解
印度德里大学教育学院的Haneet通过一项对称多面体的实验，来了解初中生对随机发生器的看法，从而来研究其对事件随机性的理解[2].Haneet在印度德里私立学校的八年级学生（年龄在13～14岁）中找了8名，随机分成两组，每组4名.按照印度的常规课程，被测的学生已经学过古典概型和几何课程.
首先，为每组学生提供八个多面体（正四面体，立方体，正八面体，正二十面体，正四棱锥，正六棱锥，正三棱柱和正六棱柱）.接着，在学生小组讨论后，决定选择哪个多面体作为游戏里的“骰子”.最后，询问他们选择的原因.研究方法采用的是视频录制和访谈.
实验结果初步显示，两组学生分别选择正八面体和正二十面体作为骰子.访谈数据集中反映了以下4个方面：
（1）两个组用于选择的最重要的条件是多面体样本空间的大小.两组确保它们各自选的多面体与立方体相比具有更大的样本空间，即更多的面；
（2）从多面体的形状上来看，拿来当骰子的物品是完全对称的，从而确保游戏的公平（物理对称性）；
（3）学生存在等可能性偏差的问题.也就是说，学生认为在有限次的投掷中，每个数字至少出现一次；
（4）学生存在与“样本空间的穷尽”相关的误解.例如，学生认为对正八面体来说，不管怎么投掷，扔八次中每个数字都会出现一次.
显然，大多数学生认为事件的概率和比例相关.受之前学习过的古典概型的影响，学生会先列举样本空间，然后计算期望的事件和样本空间大小之间的比，即事件的概率.因此，学生自然而然地去选择较大的样本空间，同时考虑到游戏的公平性，选择的多面体都应具有对称性的.由于正八面体和正二十面体都符合古典概型的定义，两组人都认为他们的模型中每个面出现的概率都是相等的.但是从实验中不难发现，初中生对随机事件的概率概念和样本空间的适用条件等仍存在一定的误解.
（二）高三学生对复合随机实验的理解
高中学生如何通过推理找到复合随机实验的样本空间？教学前后学生会用什么方法计算复合事件的概率？学生在解决这些问题时可能会遇到哪些困难？为了回答上述问题，墨西哥的Pedro Landín-Vargas等人对一所公立学校的28名高三学生进行调查研究.在测试之前，研究人员设计了一门含有阶段测试的概率课程.而后测采用的是高三学生数学课程中的概率知识（二项分布和正态分布）.
测试的问题如下所示.问题1涉及两步骤的随机实验，而问题2则由三步骤的随机实验组成.
问题1.一对夫妇计划生两个孩子.假设生男孩或女孩的可能性相同，并且任何一个的性别不影响另一個的性别.
a.记下两个孩子性别的所有组合.
b.假设问题a中列出的结果同样可能，两个女孩出生的概率是多少？
c.每种性别的孩子的概率是多少？
问题2.向空中掷了1美元硬币、2美元硬币和5美元硬币. a.写出在空中抛掷三个硬币的所有结果.
b.抛掷三个硬币，结果一个反面都没有的概率是多少？
c.抛掷三个硬币，结果有一个反面的概率是多少？
d.抛掷三个硬币，结果有两个反面的概率是多少？
e.抛掷三个硬币，结果三个都是反面的概率是多少？
基于SOLO分类法的五个层次，Pedro Landín-Vargas等研究人员根据高中生在解决概率问题的表现，完善了概率层次推理模型，补充了处于不同概率推理水平的具体表现特点，具体如表1所示[3].
根据实验的前测和后测得分，结果发现：
（1）在前测中，近一半的学生使用样本空间的概念；在后测中，大约有60%的学生使用这种概念.
（2）在前测中，71%的学生处于主观或过渡水平，只有29%的学生处于不规则的量化或数值水平；在后测中，43%的学生处于主观或过渡水平，而有54%的学生达到不规则的量化或数值水平.
（3）近60%的学生用拉普拉斯的概率定义来计算概率的值，另外三分之一的学生用加法或乘法法则来计算概率.
（4）从解题步骤来看，前测中有43%的学生通过列表法和枚举法来构建样本空间并计算概率；后测中有43%的学生使用树状图来计算概率（29%通过概率的加法或乘法法则，11%通过拉普拉斯的概率定义，剩余的3%用了其他策略）.
此外，在Lydia和Makonye等人的研究中，大约90%的学生能利用树状图正确求解问题，85%的学生通过列表求解，约50%的學生用列联表（Contingency tables），还有的学生通过维恩图和双向表来帮助理解问题和求解[4]. 多个研究数据均表明，学生最常用的辅助方式是列表和树状图，约21%的学生能用代数符号来表示随机变量，从而进行解题.对高三学生来说，很少有学生能够理解并通过代数符号表示随机变量，从而来解决概率问题.
三、小结与展望
通过上述ICME-13的相关论文，可以发现美国大多数教师对事件独立性的理解有所欠缺，自身的数学专业知识还需要加强；大多数学生可以利用不同的表征方式来列举概率问题的结果，并且学生也表现出对随机序列中连续事件的独立性也有很好的理解.但是在研究中也发现，学生对随机概念和样本空间枚举存在一定的误解.同时，学生在解决概率问题时的抽象水平还不够高，大部分学生处于概率层次推理模型中的主观或过渡水平.
教师对事件独立性的误解会影响其教学.为了能胜任新世纪的教育教学工作，教师必须不断学习，提高自己的数学专业知识水平和教育教学水平.同时，对高等师范院校而言，高等师范院校在概率统计的教学中应有针对性地结合中学数学课程改革的具体情况加强教学，以免造成师范生所学与中学教学实践的严重脱节.另外，希望教师们注意自己平时上课的表述，以更恰当的表达方式帮助学生理解概率问题.
对于学生的学，一方面，概率内容的直观性决定学生对概念、公式的理解需要从不同角度、不同方式进行多元表征，用多种数学语言表达同一个概念和公式，突出概念、公式的本质属性；另一方面，概率中的概念和公式众多、零散，并且多数概念表面上差异不明显，容易混淆.这就要求学生不仅要善于用文字语言、图像语言和符号语言对概率知识进行表征，而且要善于对概念、公式进行比较、归纳和概括，从而形成清晰的网络图示或知识网络.
参考文献：
[1]MOLNAR A. High school mathematics teachers’ understanding of independent events[C].Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
[2]GANDHI H. Understanding children conception of randomness through explorations with symmetrical polyhedrons[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
[3]LANDIN-VARGAS P， SALINAS J. Probability reasoning of high school students on sample space and probability of compound events[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.
[4]MUTARA L， MAKONYE J. Learners’use of probability models in answering probability tasks in South Africa[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.