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【摘要】本课例是在互联网加教育背景下，教师自主研发、重组的教学材料，以探究教学理念和翻转课堂理念进行设计，运用信息技术支持学生开展科学探究，实现学生个性化学习，突破学习难点，感受极限思想，培养数学核心素养。
【关键词】 翻转课堂；个性化学习；极限思想；圆周率
一、教学理念分析
（一）翻转课堂教学理念
翻转课堂是充分运用信息技术对课堂教学流程和结构重组和再造，将学习过程的两个阶段—知识传授和知识内化进行颠倒，形成学生在课外完成知识学习、课上将知识内化吸收的新型教学结构。学生在课前学习教师提供的学习资源，师生在课堂上一起突破重点、互动交流等对知识进一步内化和应用。
（二）探究学习教学理念
探究教学是指在教师的引导下，学生主动参与到发现问题、寻找答案的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。《全日制义务教育数学课程标准》中指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。探究性学习是让学生在数学领域或现实生活的情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。
二、教学内容分析
1.了解不同时期数学家研究圆周率的发展，包括按照时间发展顺序和研究方法的演变，研究圆周率的方法包括实验测量法和科学计算法。
2.探究用科学的方法研究圆周率，在实践割中体验圆术，并以圆内接正六边形为例，用学生已有的知识水平解决“周三径一”。
3.在六年级上学期《圆的面积》初步渗透了极限思想后，在求圆周率的近似值时，即圆的周长与直径之间的关系里再次渗透极限数学思想。
三、教学目标
（一）知识与技能
1.了解不同时期数学家研究圆周率的发展，感知数学知识的探究过程，初步理解割圆术、实践割圆术。
2.学会搜集和整理信息，并用多种方式表达。
（二）过程与方法
通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的能力。在阅读理解过程中，了解圆周率研究方法、发展的过程，体验极限思想，感受圆周率精确位数的价值。
（三）情感与态度
通过阅读研究圆周率的发展，体验数学文化的魅力，渗透极限数学思想，从而激发研究数学的兴趣，在阅读圆周率相关成就时感受科学精神，感受到数学是源于生活、为生活服务的，提升数学核心素养。
四、教学重难点
1.教学重点
探究圆周率科学的研究方法，初步理解圆周率与割圆术的关系。
2.教学难点
初步用割圆术研究圆周率。
五、学习者特征分析
1.起点能力
学生在此之前已经学习过圆的相关知识，包括圆的周长、面积等计算公式，了解圆周率是圆的周长与圆直径的比值。在学习圆的周长时已经体验过极限的数学思想。
2.学习风格
小学六年级学生的逻辑思维已逐步从经验型向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，但同时这一阶段的学生普遍具有求知欲高、模仿能力强，思维多依赖于具体直观形象的特点。
3.信息素养
小学六年学生已经具备操作计算机的基本技能，能够在老师的指导下完成云平台中相关资源的下载和试题的作答。
六、教学环境与资源组成
1.教学环境：电子书包、天闻Aischool教学平台
2.资源的设计：微课、PPT课件、探究电子教具、探究任务单、练习题
七、教学过程
（一）课前：梳理知识，观看微课
1.教师通过天闻Aischool电子书包提供相关资源，告知学生整理思维导图。学生阅读教师提供相关资源，梳理不同时期数学家研究圆周率的发展，绘制思维导图，拍照上传。
2.教师利用天闻Aischool电子书包上传探究圆周长和面积的微课视频，学生观看“圆的周长”和“圆的面积”探究微课，并在微课下留言讨论，帮助学生回忆“极限”的思想。
（二）课中
1.预学反馈，引入新课。
（1）学生展示自己的发现，汇报数学家研究圆周率的发展。教师调出课前学生绘制的思维导图，请相关学生用自己的思维导图向大家讲解数学家研究圆周率的发展，并进行点评。
（2）出示课题：圆周率的奥秘
（3）学生浏览自己的电子书包绘制圆内接正多边形。教师展示学生画的几个圆内接正多边形。什么是割圆术，这跟割圆术有什么联系呢？我们今天就来探究它。
2.初步探究，体会思想。
（1）自主探究，体会关系。教师引导学生开展自主探究活动；利用Html5课件（如下图），观察圆内接正多边形边数的多少与圆的关系。请不同的同学输入不同的数值，截取3张不同数值的图片，上传平台。
（2）同伴互助，归纳规律。教师引导同伴探究，总结相关发现，归纳规律。学生以四人小组为单位，把探究发现填写在“任务单一”，并把“任务单一”上传到研讨区。
任务单一：
圆内接正多边形与圆之间有什么联系？
当输入数值为___时，圆内接正多边形的周长就___圆的周长。
当输入数值为___时，圆内接正多边形的周长就___圓的周长。
当输入数值为___时，圆内接正多边形的周长就___圆的周长。
备选：A.接近于 B.更接近于 C.逼近于
（3）总结规律，体会思想。学生学习极限的数学思想，引出极限的数学思想，总结探究结果：当圆内接正多边形边数越多，正多边形就越接近于圆形，正多边形的周长也就越接近于圆形的周长，刘徽就是应用这样的数学思想解决问题。 3. 深入探究，突破知识。
（1）应用极限思想，探究“径一周三”。解决如何用割圆术计算圆周率 。
教师引导学生开展小组探究活动，以四人小组为单位，合作完成“任务单二”后拍照上传到
研讨区。教师同时利用天闻Aischool电子书包下发相应的微课，为有需要的同学提供支持。
任务单二：
假设圆的半径是1（直径是2）
1.正六边形的周长是多少？怎样计算得到的？
可以把正六边形平均分成________个小三角形，每个小三角形都是_______三角形，
因为每个角都是________°（列式：______________），三角形每条边都是_______；
2.正六边形的周长和圆直径之比是多少？
所以圆内接正六边形的周长是________，圆的直径又是_________。
______：______=______：______=______
学生汇报探究结果：①正六边形的周长是多少，我们组是通过什么方法计算出来的。②正六边形的周长和圆直径的比值是多少。教师请不同的小组汇报研究过程，并进行点评。
（2）探究圆周率不断精确的意义，联系实际生活，感受圆周率精确位数的价值。
现在信息技术发达的今天，我们都能够算到圆周率后1万多亿位，为什么现在我们还在不断精确计算圆周率呢？以同桌为单位，你们可以用自己平板上的计算器计算下面三个数值，感受精确研究圆周率的必要性。
假如将地球看作一个圆，地球直径大约为12756千米，如果我们把π的值分别取3、3.14、3.1415，请大家分别计算下地球的周长为多少。
编号2和编号1的π值差为_____，编号2和编号1所计算出的地球周长差为_____，编号3与编号1的π值差_____，编号3与编号1所计算出的地球周长差为______。
展示正确答案，学生小组汇报发现，进一步感受圆周率对计算结果的影响。
小结：我们今天做了一回刘徽，用割圆术计算圆周率，未来可能需要更精确的圆周率，未来充满无限可能，未来的事情就交给你们了。
4.检测反馈，巩固练习。利用平台推送练习题，即时反馈统计学生答题情况。
（1）判断题：π=3.14
（2）中国第一位用用割圆术计算圆周率的科学家是（ ）。
A.阿基米德 B.祖冲之 C.刘徽 D.张衡
（3）比较下面几幅图，图（ ）的内接正多边形的周长最接近圆的周长，体现了（ ）思想（请填数学思想）。
（4）圓内接正十二边形中，图中角1是________ °，角2是__________ °，角3__________ °
（三）课后： 反思分享，拓展提升
1.反思分享，拓展提升。教师向学生推荐关于圆周率的课外阅读材料，学生登陆课程平台阅读圆周率的相关课外知识，拓展视野。
2.请学生在平台上建立π知识相关档案，和大家分享。
八、教学流程图
《圆周率的奥秘》是人教版小学六年级上册关于圆周率的拓展延伸，是教师自主研发、重组的教学材料。本课设计有以下特点。
（一）在翻转课堂模式下，激发学生自主探究，培养数学核心素养
翻转课堂将学习过程的两个阶段——知识传授和知识内化进行颠倒，让学生在课外完成知识学习、课上将知识内化吸收。在此之前学生已经学习了圆的相关知识，对圆周率有一定的认知基础，具备学生能在课外完成知识学习的条件。课前，指导学生收集关于研究圆周率的历史资料，了解不同时期数学家研究圆周率的发展，感知数学知识的探究过程，初步理解割圆术、实践割圆术。通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，学生通过收集信息、整合信息，体会数据中蕴含的信息，提高质疑、理解的能力，培养数据分析观念。
探究学习是指在教师的引导下，学生主动参与到发现问题、寻找答案的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本课设计了三大探究环节，让学生在数学领域或现实生活的情境中，通过发现问题、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。此过程中，培养了学生的应用意识、创新意识和推理能力。
（二）信息技术创新应用，突破学习难点，感受极限思想
本课利用电子书包里的课本课件学案、Html5交互动画、微课、几何画板等丰富资源，为学生突破学习难点发挥了强大的作用。
针对“周三径一”这一学习难点，本课录制了微课，提供给学有所需的学生，实现因材施教、分层教学，以此促进学生个性发展。
六年级上册关于圆周率的内容时，用实验法（测量）了解圆周率是圆的周长与圆直径的比值，在传统教学中，学生在圆形卡纸上进行割圆实验，耗时长，往往只能得到几个有限的例证，再看教师课件演示，在此学习过程中初步渗透极限数学思想。但由于极限思想对于学生而言较为抽象，不同层次的学生学习进度差异较大。针对这一问题，本课设计了Html5动画，学生在短时间内，就能得到十几个甚至几十个不同的例证，所见即所得，既精确又快捷，课堂效率大大提高了。同时，教师还能搜集学生每一个实验数据，及时调整教学内容，引导学生科学地思考。学生探究时获得了丰富的数学例证，抽象的知识形象化了；在变化和对比中，巨大的视觉冲击，极限思想可视化了；严谨的科学体验，数学思维升华了。
【关键词】 翻转课堂；个性化学习；极限思想；圆周率
一、教学理念分析
（一）翻转课堂教学理念
翻转课堂是充分运用信息技术对课堂教学流程和结构重组和再造，将学习过程的两个阶段—知识传授和知识内化进行颠倒，形成学生在课外完成知识学习、课上将知识内化吸收的新型教学结构。学生在课前学习教师提供的学习资源，师生在课堂上一起突破重点、互动交流等对知识进一步内化和应用。
（二）探究学习教学理念
探究教学是指在教师的引导下，学生主动参与到发现问题、寻找答案的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。《全日制义务教育数学课程标准》中指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。探究性学习是让学生在数学领域或现实生活的情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。
二、教学内容分析
1.了解不同时期数学家研究圆周率的发展，包括按照时间发展顺序和研究方法的演变，研究圆周率的方法包括实验测量法和科学计算法。
2.探究用科学的方法研究圆周率，在实践割中体验圆术，并以圆内接正六边形为例，用学生已有的知识水平解决“周三径一”。
3.在六年级上学期《圆的面积》初步渗透了极限思想后，在求圆周率的近似值时，即圆的周长与直径之间的关系里再次渗透极限数学思想。
三、教学目标
（一）知识与技能
1.了解不同时期数学家研究圆周率的发展，感知数学知识的探究过程，初步理解割圆术、实践割圆术。
2.学会搜集和整理信息，并用多种方式表达。
（二）过程与方法
通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的能力。在阅读理解过程中，了解圆周率研究方法、发展的过程，体验极限思想，感受圆周率精确位数的价值。
（三）情感与态度
通过阅读研究圆周率的发展，体验数学文化的魅力，渗透极限数学思想，从而激发研究数学的兴趣，在阅读圆周率相关成就时感受科学精神，感受到数学是源于生活、为生活服务的，提升数学核心素养。
四、教学重难点
1.教学重点
探究圆周率科学的研究方法，初步理解圆周率与割圆术的关系。
2.教学难点
初步用割圆术研究圆周率。
五、学习者特征分析
1.起点能力
学生在此之前已经学习过圆的相关知识，包括圆的周长、面积等计算公式，了解圆周率是圆的周长与圆直径的比值。在学习圆的周长时已经体验过极限的数学思想。
2.学习风格
小学六年级学生的逻辑思维已逐步从经验型向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，但同时这一阶段的学生普遍具有求知欲高、模仿能力强，思维多依赖于具体直观形象的特点。
3.信息素养
小学六年学生已经具备操作计算机的基本技能，能够在老师的指导下完成云平台中相关资源的下载和试题的作答。
六、教学环境与资源组成
1.教学环境：电子书包、天闻Aischool教学平台
2.资源的设计：微课、PPT课件、探究电子教具、探究任务单、练习题
七、教学过程
（一）课前：梳理知识，观看微课
1.教师通过天闻Aischool电子书包提供相关资源，告知学生整理思维导图。学生阅读教师提供相关资源，梳理不同时期数学家研究圆周率的发展，绘制思维导图，拍照上传。
2.教师利用天闻Aischool电子书包上传探究圆周长和面积的微课视频，学生观看“圆的周长”和“圆的面积”探究微课，并在微课下留言讨论，帮助学生回忆“极限”的思想。
（二）课中
1.预学反馈，引入新课。
（1）学生展示自己的发现，汇报数学家研究圆周率的发展。教师调出课前学生绘制的思维导图，请相关学生用自己的思维导图向大家讲解数学家研究圆周率的发展，并进行点评。
（2）出示课题：圆周率的奥秘
（3）学生浏览自己的电子书包绘制圆内接正多边形。教师展示学生画的几个圆内接正多边形。什么是割圆术，这跟割圆术有什么联系呢？我们今天就来探究它。
2.初步探究，体会思想。
（1）自主探究，体会关系。教师引导学生开展自主探究活动；利用Html5课件（如下图），观察圆内接正多边形边数的多少与圆的关系。请不同的同学输入不同的数值，截取3张不同数值的图片，上传平台。
（2）同伴互助，归纳规律。教师引导同伴探究，总结相关发现，归纳规律。学生以四人小组为单位，把探究发现填写在“任务单一”，并把“任务单一”上传到研讨区。
任务单一：
圆内接正多边形与圆之间有什么联系？
当输入数值为___时，圆内接正多边形的周长就___圆的周长。
当输入数值为___时，圆内接正多边形的周长就___圓的周长。
当输入数值为___时，圆内接正多边形的周长就___圆的周长。
备选：A.接近于 B.更接近于 C.逼近于
（3）总结规律，体会思想。学生学习极限的数学思想，引出极限的数学思想，总结探究结果：当圆内接正多边形边数越多，正多边形就越接近于圆形，正多边形的周长也就越接近于圆形的周长，刘徽就是应用这样的数学思想解决问题。 3. 深入探究，突破知识。
（1）应用极限思想，探究“径一周三”。解决如何用割圆术计算圆周率 。
教师引导学生开展小组探究活动，以四人小组为单位，合作完成“任务单二”后拍照上传到
研讨区。教师同时利用天闻Aischool电子书包下发相应的微课，为有需要的同学提供支持。
任务单二：
假设圆的半径是1（直径是2）
1.正六边形的周长是多少？怎样计算得到的？
可以把正六边形平均分成________个小三角形，每个小三角形都是_______三角形，
因为每个角都是________°（列式：______________），三角形每条边都是_______；
2.正六边形的周长和圆直径之比是多少？
所以圆内接正六边形的周长是________，圆的直径又是_________。
______：______=______：______=______
学生汇报探究结果：①正六边形的周长是多少，我们组是通过什么方法计算出来的。②正六边形的周长和圆直径的比值是多少。教师请不同的小组汇报研究过程，并进行点评。
（2）探究圆周率不断精确的意义，联系实际生活，感受圆周率精确位数的价值。
现在信息技术发达的今天，我们都能够算到圆周率后1万多亿位，为什么现在我们还在不断精确计算圆周率呢？以同桌为单位，你们可以用自己平板上的计算器计算下面三个数值，感受精确研究圆周率的必要性。
假如将地球看作一个圆，地球直径大约为12756千米，如果我们把π的值分别取3、3.14、3.1415，请大家分别计算下地球的周长为多少。
编号2和编号1的π值差为_____，编号2和编号1所计算出的地球周长差为_____，编号3与编号1的π值差_____，编号3与编号1所计算出的地球周长差为______。
展示正确答案，学生小组汇报发现，进一步感受圆周率对计算结果的影响。
小结：我们今天做了一回刘徽，用割圆术计算圆周率，未来可能需要更精确的圆周率，未来充满无限可能，未来的事情就交给你们了。
4.检测反馈，巩固练习。利用平台推送练习题，即时反馈统计学生答题情况。
（1）判断题：π=3.14
（2）中国第一位用用割圆术计算圆周率的科学家是（ ）。
A.阿基米德 B.祖冲之 C.刘徽 D.张衡
（3）比较下面几幅图，图（ ）的内接正多边形的周长最接近圆的周长，体现了（ ）思想（请填数学思想）。
（4）圓内接正十二边形中，图中角1是________ °，角2是__________ °，角3__________ °
（三）课后： 反思分享，拓展提升
1.反思分享，拓展提升。教师向学生推荐关于圆周率的课外阅读材料，学生登陆课程平台阅读圆周率的相关课外知识，拓展视野。
2.请学生在平台上建立π知识相关档案，和大家分享。
八、教学流程图
《圆周率的奥秘》是人教版小学六年级上册关于圆周率的拓展延伸，是教师自主研发、重组的教学材料。本课设计有以下特点。
（一）在翻转课堂模式下，激发学生自主探究，培养数学核心素养
翻转课堂将学习过程的两个阶段——知识传授和知识内化进行颠倒，让学生在课外完成知识学习、课上将知识内化吸收。在此之前学生已经学习了圆的相关知识，对圆周率有一定的认知基础，具备学生能在课外完成知识学习的条件。课前，指导学生收集关于研究圆周率的历史资料，了解不同时期数学家研究圆周率的发展，感知数学知识的探究过程，初步理解割圆术、实践割圆术。通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，学生通过收集信息、整合信息，体会数据中蕴含的信息，提高质疑、理解的能力，培养数据分析观念。
探究学习是指在教师的引导下，学生主动参与到发现问题、寻找答案的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本课设计了三大探究环节，让学生在数学领域或现实生活的情境中，通过发现问题、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。此过程中，培养了学生的应用意识、创新意识和推理能力。
（二）信息技术创新应用，突破学习难点，感受极限思想
本课利用电子书包里的课本课件学案、Html5交互动画、微课、几何画板等丰富资源，为学生突破学习难点发挥了强大的作用。
针对“周三径一”这一学习难点，本课录制了微课，提供给学有所需的学生，实现因材施教、分层教学，以此促进学生个性发展。
六年级上册关于圆周率的内容时，用实验法（测量）了解圆周率是圆的周长与圆直径的比值，在传统教学中，学生在圆形卡纸上进行割圆实验，耗时长，往往只能得到几个有限的例证，再看教师课件演示，在此学习过程中初步渗透极限数学思想。但由于极限思想对于学生而言较为抽象，不同层次的学生学习进度差异较大。针对这一问题，本课设计了Html5动画，学生在短时间内，就能得到十几个甚至几十个不同的例证，所见即所得，既精确又快捷，课堂效率大大提高了。同时，教师还能搜集学生每一个实验数据，及时调整教学内容，引导学生科学地思考。学生探究时获得了丰富的数学例证，抽象的知识形象化了；在变化和对比中，巨大的视觉冲击，极限思想可视化了；严谨的科学体验，数学思维升华了。