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例题、习题教学是数学教学的重要组成部分。在数学教学中，若注重对例题、习题进行变式训练，不但可以抓好双基，还可以提高数学能力。本文就来探讨“变式”在数学教学中的运用。
一、条件变式
圆锥曲线焦半径问题：
变式3：在变式2中，如改成“使2
|MP|+|MF|取得最小值”，求点M的坐标。
通过条件变式，使得学生容易搞清相似的概念或题型情景间的联系与区别，不至于混淆，加深了基本概念的理解，产生出“1+1>2”的作用,由训练数量的累积实现思维品质的提升。恰当的变更问题情境或改变思维角度，可以培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法，通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和独创性。
二、结论变式
函数图象的平移：
数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的潜能”。研究表明，成功的体验对动机有很大的激发作用，尤其对成绩较差的学生来说，一次或多次的成功会成为他们学习动机的“激活剂”。通过变式，给学生创设体验成功的机会，让学生获得实践和成功的体验，激发学生的学习兴趣和学习主动性。
三、逆向变式
三垂线定理：
例3．已知：PA、PO分别为平面?琢的垂线、斜线，OA是PO在?琢内的射影，a?奂?琢，且a⊥OA，求证：a⊥PO
变式1：已知：PO、PA分别平面?琢的垂线、斜线，OA是PA在?琢内的射影，a?奂?琢，且a⊥OA，求证：a⊥PO
由于命题的逆命题不一定与原命题同真或同假，因而当逆命题、原命题同真时，可用之于训练学生的逆向思维；当逆命题与原命题的真假性相反时，则可用逆命题来引导学生进行辨析，这样有助于学生对数学问题的理解和掌握。从思维训练的角度出发，交叉运用正、逆向思维，对学生数学能力的培养是大有好处的。
四、延伸变式
直线与双曲线的位置关系
波利亚强调：“解题不单单是为了找到答案”，“把习题看做是精密研究的对象，而把解答习题看做是设计和发明的目标”。因此，仅仅呈现变式后的情景是不够的，要使学生得到深层次的认知和能力上的内化，教师还应该通过对问题的成因的提醒、点拨，使变式由完全的隐性变为若隐若现，激发学生最大限度地来体验参与、发现、设计、变化的过程。
由一个基本问题变式而生成互相关联的问题链，使学生学一道题，会一类题，有助于学生掌握解决这类问题的规律，并使原有的孤立的、零碎的知识整体化，促进对知识块整体的认知，增强系统性和条理性，实现量与质的统一。
五、类比变式
等差数列与等比数列：
例5．已知数列an是等差数列，Sn是前n项的和，求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列。设K∈N*，求证：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列。
变式1：已知数列an是等比数列，Sn是前n项的和，求证：S6，S12-S6，S18-S12成等比数列。设K∈N*，求证：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列。
通过类比，使得学生学会运用，提高应变能力，敢于质疑、大胆创新，发现问题的本质，打破学生固定的解题模式。
上面举例简要说明了题目变式的途径和方法，应当指出的是，题目变式不是为了“变式”而变式，而是根据教学的需要，遵循学生的认知规律而设计。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把知识转化为能力，形成技能技巧，完成“强化旧知识，激发学习兴趣，形成技能，培养能力”的目的。因此，对于例题和习题，需要我们去领会和研究，努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”，同时把握好变式的“度”。
所以在中学数学教学中，搞好习题教学，特別是搞好习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生的能力等方面，它能发挥独特的功效。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、条件变式
圆锥曲线焦半径问题：
变式3：在变式2中，如改成“使2
|MP|+|MF|取得最小值”，求点M的坐标。
通过条件变式，使得学生容易搞清相似的概念或题型情景间的联系与区别，不至于混淆，加深了基本概念的理解，产生出“1+1>2”的作用,由训练数量的累积实现思维品质的提升。恰当的变更问题情境或改变思维角度，可以培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法，通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和独创性。
二、结论变式
函数图象的平移：
数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的潜能”。研究表明，成功的体验对动机有很大的激发作用，尤其对成绩较差的学生来说，一次或多次的成功会成为他们学习动机的“激活剂”。通过变式，给学生创设体验成功的机会，让学生获得实践和成功的体验，激发学生的学习兴趣和学习主动性。
三、逆向变式
三垂线定理：
例3．已知：PA、PO分别为平面?琢的垂线、斜线，OA是PO在?琢内的射影，a?奂?琢，且a⊥OA，求证：a⊥PO
变式1：已知：PO、PA分别平面?琢的垂线、斜线，OA是PA在?琢内的射影，a?奂?琢，且a⊥OA，求证：a⊥PO
由于命题的逆命题不一定与原命题同真或同假，因而当逆命题、原命题同真时，可用之于训练学生的逆向思维；当逆命题与原命题的真假性相反时，则可用逆命题来引导学生进行辨析，这样有助于学生对数学问题的理解和掌握。从思维训练的角度出发，交叉运用正、逆向思维，对学生数学能力的培养是大有好处的。
四、延伸变式
直线与双曲线的位置关系
波利亚强调：“解题不单单是为了找到答案”，“把习题看做是精密研究的对象，而把解答习题看做是设计和发明的目标”。因此，仅仅呈现变式后的情景是不够的，要使学生得到深层次的认知和能力上的内化，教师还应该通过对问题的成因的提醒、点拨，使变式由完全的隐性变为若隐若现，激发学生最大限度地来体验参与、发现、设计、变化的过程。
由一个基本问题变式而生成互相关联的问题链，使学生学一道题，会一类题，有助于学生掌握解决这类问题的规律，并使原有的孤立的、零碎的知识整体化，促进对知识块整体的认知，增强系统性和条理性，实现量与质的统一。
五、类比变式
等差数列与等比数列：
例5．已知数列an是等差数列，Sn是前n项的和，求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列。设K∈N*，求证：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列。
变式1：已知数列an是等比数列，Sn是前n项的和，求证：S6，S12-S6，S18-S12成等比数列。设K∈N*，求证：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列。
通过类比，使得学生学会运用，提高应变能力，敢于质疑、大胆创新，发现问题的本质，打破学生固定的解题模式。
上面举例简要说明了题目变式的途径和方法，应当指出的是，题目变式不是为了“变式”而变式，而是根据教学的需要，遵循学生的认知规律而设计。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把知识转化为能力，形成技能技巧，完成“强化旧知识，激发学习兴趣，形成技能，培养能力”的目的。因此，对于例题和习题，需要我们去领会和研究，努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”，同时把握好变式的“度”。
所以在中学数学教学中，搞好习题教学，特別是搞好习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生的能力等方面，它能发挥独特的功效。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”