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摘 要： 悟性是人们在从事教学活动过程中所显示出来的洞察问题，解决问题的能力。数学教师则通过创设情景，设疑释疑；利用直觉洞察问题的本质；类比联想；转换思维角度等方法在解题教学中培养学生的数学悟性，提高学生的解题能力。
关键词： 数学教学 培养 悟性
悟性是人们在从事教学活动过程中所显示出来的洞察问题、解决问题的能力。它是学习灵感和创新思维产生的前提。由于思维形成最有效的办法是通过解题来实现，因此，在解题过程中，注重培养学生的悟性，可以提高他们的综合素质和探索处理问题的能力。下面本人结合教学实践，谈谈在数学教学过程中如何培养学生的数学悟性。
1.创设情景，设疑释疑
问题是思维的出发点，也是悟性形成的催化剂。心理学研究表明，创设问题情景可以激发学生的求知欲望，促使学生形成一个解决问题的合适的思维方向。如果经常利用问题设疑，鼓励和激发学生独立思考，积极探索，就能培养学生的数学悟性。
例1：已知x、y为共轭复数，且（x+y） -3xyi=4-6i，求x、y。
创设情景：由
（x+y） =4-3xy=-6 x+y=±2xy=2 x=1±iy=1 x=-1±iy=-1?芎i
设疑：以上解法是否正确，为什么？学生认为不正确，因为x、y不是实数，需设x=a+bi、y=a-bi（a、b∈R）再分离实部和虚部求解。但意料之外的是第一种方法求得的结果正确，原因何在？
释疑：审视条件发现，x与y共轭，所以x+y、xy∈R，于是解法中加此说明不失为妙解。
例2：当实数k取何值时，方程组
k（x +1）+1x1-y=1x -y =1
有唯一实数解？
分析：若采用常规解法，消元为只含有一个未知数的方程求解，思维受阻。
创设问题情景：观察方程组中每一个方程的特点，以-x代x方程组解不变，从而联系题目，由方程组结构特点，若（x，y）是方程组的一个解，则（-x，y）一定也是它的一个解，故欲使方程组有唯一的解，只须x=0即惟一的解的结构形式为（0，y ）问题得解。
2.利用直觉，洞察问题的本质
数学问题中灵感的迸发离不开直觉的思维，因为直觉思维在处理问题过程中，对问题作全面思考之后不经详尽的推理，直接触及对象的本质，迅速得出预感性的判断。解题教学中若引导学生对数学问题深入细致地观察分析，洞察其本质、规律，可以启发学生产生突发性思维灵感，悟性便在洞察中产生。
例3：设x、y为正实数，a、b为正常数 + =1。
求：u=x+y的最小值。
分析：本题含有变量x、y且x、y满足 + =1，由此联想到求条件最值的各种途径，问题得解。
解法1：直接代入法。因为a，b，x，y∈R+，又 + =1，
所以x＞a，y＞b且y= 。将y= 代入u=x+y中得U= +x=x- +1+b＞2 +a+b，
所以：当x-a= ，即x=a+ ，y=b+ 时，U =a+b+2 。
解法2：换元法。因为a，b，x，y∈R， + =1，
所以令 =cos t， =sin t，t∈（0，-π/2），
于是由u=x+y=asec t+bcsc t=a+b+atan t+bcot t≥a+b+2
当atan t=bcot t时，即x=a+ ，y=b+ 时，U =a+b+2 。
3.类比联想
类比联想是指由某一命题的条件或结论，就其形态性质引起的与其相似的已有知识的联想。数学是一个具有内在联系的有机整体，各分支、部分都是互相联系、互相渗透的解题方法，思路更是如此，因而应有意识地教给学生解题方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进其悟性的形成。
例4：已知△ABC是锐角三角形，求证：tanA•tanB•tanC≥3 。
分析：由本题结论联想到熟知的三角公式：若а+β+?奕=π，则tanа+tanβ+tan?奕＝tanа•tanβ•tan?奕，以及代数中的重要不等式a+b+c≥（a，b，c∈R），将有助于问题的解决。
4.转换思维角度
学生都习惯于从某一角度探索问题，这往往限制了思维的开拓，阻碍了数学悟性的形成。因此，在教学中要有意识地要求学生从“换一种说法”的角度去转换数学命题，从而培养学生数学悟性和灵感。
例5：给定实数a（a≠0，a≠1），设函数y= （其中x∈R且x≠ ），求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴。
分析1：反证法。假设存在图象上两点M （x ，y ），M （x ，y ），M M ∥X轴，则x ≠x 且y ≠y ，由此得出a=1，与已知矛盾。
分析2：直接代入，设M （x ，y ），M （x ，y ）为图像上两个不同的点，由x ≠x 推得y －y ≠0。
参考文献：
［1］李沛，罗玉成.创造性思维与数学教学.广西师范学院学报（自然科学版），2002，（01）.
［2］周根龙.让学生在研究中学习.中学数学教学参考，2001，（04）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 数学教学 培养 悟性
悟性是人们在从事教学活动过程中所显示出来的洞察问题、解决问题的能力。它是学习灵感和创新思维产生的前提。由于思维形成最有效的办法是通过解题来实现，因此，在解题过程中，注重培养学生的悟性，可以提高他们的综合素质和探索处理问题的能力。下面本人结合教学实践，谈谈在数学教学过程中如何培养学生的数学悟性。
1.创设情景，设疑释疑
问题是思维的出发点，也是悟性形成的催化剂。心理学研究表明，创设问题情景可以激发学生的求知欲望，促使学生形成一个解决问题的合适的思维方向。如果经常利用问题设疑，鼓励和激发学生独立思考，积极探索，就能培养学生的数学悟性。
例1：已知x、y为共轭复数，且（x+y） -3xyi=4-6i，求x、y。
创设情景：由
（x+y） =4-3xy=-6 x+y=±2xy=2 x=1±iy=1 x=-1±iy=-1?芎i
设疑：以上解法是否正确，为什么？学生认为不正确，因为x、y不是实数，需设x=a+bi、y=a-bi（a、b∈R）再分离实部和虚部求解。但意料之外的是第一种方法求得的结果正确，原因何在？
释疑：审视条件发现，x与y共轭，所以x+y、xy∈R，于是解法中加此说明不失为妙解。
例2：当实数k取何值时，方程组
k（x +1）+1x1-y=1x -y =1
有唯一实数解？
分析：若采用常规解法，消元为只含有一个未知数的方程求解，思维受阻。
创设问题情景：观察方程组中每一个方程的特点，以-x代x方程组解不变，从而联系题目，由方程组结构特点，若（x，y）是方程组的一个解，则（-x，y）一定也是它的一个解，故欲使方程组有唯一的解，只须x=0即惟一的解的结构形式为（0，y ）问题得解。
2.利用直觉，洞察问题的本质
数学问题中灵感的迸发离不开直觉的思维，因为直觉思维在处理问题过程中，对问题作全面思考之后不经详尽的推理，直接触及对象的本质，迅速得出预感性的判断。解题教学中若引导学生对数学问题深入细致地观察分析，洞察其本质、规律，可以启发学生产生突发性思维灵感，悟性便在洞察中产生。
例3：设x、y为正实数，a、b为正常数 + =1。
求：u=x+y的最小值。
分析：本题含有变量x、y且x、y满足 + =1，由此联想到求条件最值的各种途径，问题得解。
解法1：直接代入法。因为a，b，x，y∈R+，又 + =1，
所以x＞a，y＞b且y= 。将y= 代入u=x+y中得U= +x=x- +1+b＞2 +a+b，
所以：当x-a= ，即x=a+ ，y=b+ 时，U =a+b+2 。
解法2：换元法。因为a，b，x，y∈R， + =1，
所以令 =cos t， =sin t，t∈（0，-π/2），
于是由u=x+y=asec t+bcsc t=a+b+atan t+bcot t≥a+b+2
当atan t=bcot t时，即x=a+ ，y=b+ 时，U =a+b+2 。
3.类比联想
类比联想是指由某一命题的条件或结论，就其形态性质引起的与其相似的已有知识的联想。数学是一个具有内在联系的有机整体，各分支、部分都是互相联系、互相渗透的解题方法，思路更是如此，因而应有意识地教给学生解题方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进其悟性的形成。
例4：已知△ABC是锐角三角形，求证：tanA•tanB•tanC≥3 。
分析：由本题结论联想到熟知的三角公式：若а+β+?奕=π，则tanа+tanβ+tan?奕＝tanа•tanβ•tan?奕，以及代数中的重要不等式a+b+c≥（a，b，c∈R），将有助于问题的解决。
4.转换思维角度
学生都习惯于从某一角度探索问题，这往往限制了思维的开拓，阻碍了数学悟性的形成。因此，在教学中要有意识地要求学生从“换一种说法”的角度去转换数学命题，从而培养学生数学悟性和灵感。
例5：给定实数a（a≠0，a≠1），设函数y= （其中x∈R且x≠ ），求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴。
分析1：反证法。假设存在图象上两点M （x ，y ），M （x ，y ），M M ∥X轴，则x ≠x 且y ≠y ，由此得出a=1，与已知矛盾。
分析2：直接代入，设M （x ，y ），M （x ，y ）为图像上两个不同的点，由x ≠x 推得y －y ≠0。
参考文献：
［1］李沛，罗玉成.创造性思维与数学教学.广西师范学院学报（自然科学版），2002，（01）.
［2］周根龙.让学生在研究中学习.中学数学教学参考，2001，（04）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”