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【摘 要】煤炭燃烧热值交易的提出，丰富了煤炭的交易品种；使煤炭交易更加科学化；从理论上将金融期权的理念扩展到实物期权并应用于煤炭热值的交易中，使得消费者可以利用金融衍生品的固有特点进行套期保值，本文试用Black-Scholes模型对动力煤燃烧热值期权进行科学的定价，这样更加有利于完善煤炭市场体系、帮助煤炭现货交易商实现现货保值以及丰富投资者的投资品种与渠道。
【关键词】煤炭热值；期权；期权价格；波动率
一、Black-Scholes期权定价模型相关理论
布莱克—斯科尔斯假设条件：第一，在期权到最后期限前，标的资产无任何回报的时候，即没有红利、利息等。第二，存在一个固定的无风险的概率，投资者可以借助利率无限制的条件下进行贷出或者借入。第三，不存在任何影响收益的外部因素对过程产生影响，如缴税、交易成本支出、交易保证金等。第四，所有的证券可以进行无限制的细分。第五，投资者可以对证券进行卖空操作。第六，环境中没有无风险的套利条件。第七，标的物的变动符合相应的几何布朗定律，在公式中=μ*dt+σdZ，ds所代表的是无穷小的标的物价格变化值；dt是针对与时间的参数代表无穷小变化值；是标的资产在每一个无穷小的变化区间内的平均收益情况；σ是价格过程的波动率，即连续计算收益的资产在单位时间内收益的标准差；dz则是0dt与方差为1dt在无穷小条件下的随机变量。包括：（1）资产价格是连续变化的；（2）在整个期权生命期内，资产的预期收益和收益方差保持不变；（3）任何时间段的资产收益和其他时间段的收益互相独立；（4）任何时间段资产的复利收益率服从正态分布，即log（）～N（μ（t-t）），σ2（t-t）。
二、模型的推导
1.相关知识补充。（1）正态和对数正态分布。一是均值为
μ，方差为σ的正态分布随机变量x的密度函数为：f（x）=exp（-） （1）。如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度函数与分布函数分别为f（x）和F（x）表示，这里，f（x）=e， F（x）=edt。二是如果x是均值为μ，方差为σ的正态分布变量，那么称Z=ex是对数正态分布的，其中μ=exp（μ+）且σ=exp（2μ+σ）exp（σ）-1。（2）布朗运动。第一，带漂移的布朗运动是具有下列性质的随机过程x（t），t≥0：一是任何增量X（t+s）-X（s）都是均值为μt，方差为σ的正态分布变量，μ和σ是确定的参数。二是对任何t10。（3）Ito引理。一是用Z（t）表示无漂移的标准布朗运动，即△t。设△Z表示时间改变△t后Z（t）的改变量，由布朗运动的性质（1），△t（t）=Z（t+△t）-Z（t）=ε，其中ε是标准正态随机变量，当△t→0时，上面的关系可表达为微分形式：dZ（t）=ε （3）。一般的带漂移的布朗运动（Wiener过程）X（t）可以写成下面的随机微分形式：dX（t）=μdt+σdZ（t） （4），其中μ是过程的漂移率，σ为方差。二是【Ito引理】设f（X，t）是连续的，有连续偏导数的非随机函数，X（t）是由下式定义的随机过程：dX（t）=a（X，t）dt+b（X，t）dz（t），其中dz（t）是方程（3）定义的标准Wiener过程，那么随机过程f=f（X，t）有下面形式的随机微分：
df=dt+dX（t）+b（X，t）dt
=（+a（X，t）+b（X，t））dt+b（X，t）dZ（t） （5）
注意：如果f只是X的一个变量的函数f=f（X），则同样的导出Ito引理的结果是：df=（a（X，t）+b（X，t）））dt+b（X，t）dZ（t）。（4）几何布朗过程的微分形式。考虑方程（4）定义的几何布朗运动，其中X（t）的微分由方程（4）定义，取方程（5）中的y=f（X）=ex（t），a（X，t）=μ，b（X，t）=σ利用Ito引理，y的随机微分形式为：dy=（μ+）dyt+σydZ，故 =（μ+）dt+σydZ（6）（其中=ex（t）=y，=ex（t）=y），y的漂移率和波动率分别是μ+与σ。
2.Black-Scholes期权定价模型。Black-Scholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析技术。在假设条件下，采取一种动态交易策略，来复制欧式买权到期末的现金流。即用△=份标的物股票的多头（即买入）和无风险证券的空头（即卖出）来复制一份期权，其中股票的价格为S，期权的价格为f=f（S，t），是股票价格S和时间t的函数，无风险证券的价值为L，即动态的保持：f=S-L，即L=-f+S。经过一段微小的时间dt，则有 dL=-df+dS （7）。因为f和L都是随机过程，我们应用Ito引理来计算它的随机微分：df=dt+dS+S2dt，dL=（--S2）dt。上式的右边，随机项Z不再出现，这意味着一份期权的空头和△份股票的多头能实现风险的完全对冲，而△的大小是动态调整的。所以，右边的二者组合和与之等值的无风险证券是完全等价的，即组合的收益率应当等于无风险收益率rf，有rfdt，则dL=（--S2）dt=rfLdt=r（-f+S）dt，整理后得：+rfS+S2=rff。上面的抛物线偏微分方程稱为Black-Scholes方程，它刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。为了完成期权定价公式的推导，我们还要给出欧氏期权满足得边界条件：当t=T时，对于买权，有c=f（T）=max（S（T）-X，0）；对于卖权，有p=f（T）=max（X-S（T），0），其中X时期权指定得标的物的执行价格。根据边界条件，可以倒向解出上述微分方程得初始值的表达式，即Black-Scholes期权定价公式：看涨期权 c=S（t）N（d1）-Xe-rf（T-t）N（d2），看跌期权 p=Xe-rf（T-t）N（d2）-S（t）N（-d1），其中是累计正态分布函数，而 d1= d2=d-σ。 注：B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，莫顿发展了B-S模型，使其亦应用于支付红利的期权。
存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期某时间t（即除息日）支付已知红利Dt，只需将该红利限值从股票价值S中除去，将调整后的股票价值S′=S-Dte-rT（带入B-S中变型。如果在有效期内存在其他所得，依该法，减去得新公式：C= （S-Dte-rT（）N（d1）-Le-rTN（d2）
三、公式的检验
（1）该模型的使用需有一个重要前提，即：标的资产遵循几何布朗运动。可以通过以下两方面进行验证。第一，利用伊藤引理可以得到：log-logS=log 服从均值为（μ*=）（T-t）（即μ（T-t）），方差为σ（T-t））的正态分布。第二，利用对数正态特性，也可以得到投资决策现时t与之后某一时刻T之间连续复利年收益的概率分布。将t与T之间年收益率定义为a，则连续复利年收益率也服从正态分布。S=Se，a=ln，a～Φμ-， 。（2）B-S模型应用条件检验的内容和意义。一是检验内容。作为标的资产的煤炭，其价格的变化是否遵循对数正态分布；连续复利收益率是否遵循正态分布。二是检验意义。通过对以上两个方面的检验，可以验证B-S模型的第一个假设条件，即标的资产遵循几何布朗运动。有了这一假设的验证，为在煤炭使用中运用B-S模型奠定了基础，并提供了科学的依据。（3）B-S模型应用条件检验的工具和方法。SPSS是公认的最优秀的统计分析软件包之一，具备多种统计分析方法。本文选用SPSS软件，进行正态性检验。本文运用的是单样本的K-S检验。该检验用于检验一组样本观测结果的经验分布同某一指定的理论分布之间是否一致。K-S检验的基本思路是，将顺序分类数据的理论累计频率分不同观测的经验累积频率分布加以比较，求出它们最大的偏离值，然后在给定的显著性水平上（一般取0.05）检验这种偏离是否偶然出现的。
四、B-S模型应用条件检验过程和检验结果分析
（1）样本的选取与数据整理。在选取样本时，选取了环渤海动力煤均价，且动力煤的热值为5500大卡，由于热值是固定的，它的价格与动力煤的价格是正相关的，此时只分析动力煤的价格走势。数据如表1及表2。
由以上的分析结果可知，各组样本都高度符合：P>0.05（0.05为显著性水平），即接受正态分布的原假设。结果表明，该方法中各组样本基本遵循对数正态分布。（2）连续复利收益率正态分布的检验。由于B-S模型假设套期保值率是连续变化的，因此利率要使用连续复利。连续复利假定利息是连续支付的，因此用此模型进行期权估价时收益率使用连续复利计算。同样采用K-S检验。经检验，P值为0.972，显然其收益率也是基本遵循正态分布。（3）结论。根据SPSS软件的检验结果，可以认为动力煤的价格基本遵循对数正态分布，即B-S模型中的几何布朗运动假设，也就是说对于煤炭热值期权可以使用B-S模型估价。作为检验的补充，年收益率也基本符合正态分布。
五、B-S模型实证分析
1.波动率。历史波动率是基于过去的统计分析得出的，假定未来是过去的延伸，利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益系列的标准差。历史波动率具体计算方法：（1）从市场上获得动力煤在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）上的价格。（2）对于每个时间段，求出该时间段末的动力煤热值价格与该时段初的价格之比的自然对数。（3）求出这些对数值的标准差，再乘以一年中包含的时段数量的平方根（如，选取时间间隔为每天，则若扣除闭市，每年中有250个交易日，应乘以根号250），得到的即为历史波动率。针对期权来说，标的物的波动率是影响其价值的重要因素之一。在其他参数不变的情况下，标的物价格波动越大，期权的价值也越大。
2.环渤海动力煤热值期权价格计算。（1）环渤海动力煤热值波动率计算。选取等时间间隔的数据如下表4所示：
对于选取的该时间段，可以得出动力煤热值价格与该时段初的价格之比的自然对数分别为：0.001363327、0.042673141、0.030850776。它們的标准差为0.021275098，设一年中包含的时段数量为270，则波动率为0.349585531。（2）期权价格的计算。以上波动率计算数值为0.349585531，在这里取0.3。我们选取热值价格为0.13元/大卡，假设行权价格为0.13元/大卡，股息收益率为0，到期时间为1年，可以利用excel表格求出其价格，如下图1所示：
则其看涨期权的价格为0.0176元，看跌期权的价格为0.0131元。
参 考 文 献
[1]苏萌.布莱克—斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展
[J].经济论坛.28
[2]孙晓琳.建立基于Excel的期权定价模板.财会月刊（综合）[J].2007（91）
[3]李志学，胡娟.油气开发的实物期权特征及应用B-S模型的条件检验[J].统计与信息论坛.2008，23（7）：60～64
[4]宋志刚，何旭洪.SPSS16实用教程[M].北京：人民邮电出版社，2008：274～276
【关键词】煤炭热值；期权；期权价格；波动率
一、Black-Scholes期权定价模型相关理论
布莱克—斯科尔斯假设条件：第一，在期权到最后期限前，标的资产无任何回报的时候，即没有红利、利息等。第二，存在一个固定的无风险的概率，投资者可以借助利率无限制的条件下进行贷出或者借入。第三，不存在任何影响收益的外部因素对过程产生影响，如缴税、交易成本支出、交易保证金等。第四，所有的证券可以进行无限制的细分。第五，投资者可以对证券进行卖空操作。第六，环境中没有无风险的套利条件。第七，标的物的变动符合相应的几何布朗定律，在公式中=μ*dt+σdZ，ds所代表的是无穷小的标的物价格变化值；dt是针对与时间的参数代表无穷小变化值；是标的资产在每一个无穷小的变化区间内的平均收益情况；σ是价格过程的波动率，即连续计算收益的资产在单位时间内收益的标准差；dz则是0dt与方差为1dt在无穷小条件下的随机变量。包括：（1）资产价格是连续变化的；（2）在整个期权生命期内，资产的预期收益和收益方差保持不变；（3）任何时间段的资产收益和其他时间段的收益互相独立；（4）任何时间段资产的复利收益率服从正态分布，即log（）～N（μ（t-t）），σ2（t-t）。
二、模型的推导
1.相关知识补充。（1）正态和对数正态分布。一是均值为
μ，方差为σ的正态分布随机变量x的密度函数为：f（x）=exp（-） （1）。如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度函数与分布函数分别为f（x）和F（x）表示，这里，f（x）=e， F（x）=edt。二是如果x是均值为μ，方差为σ的正态分布变量，那么称Z=ex是对数正态分布的，其中μ=exp（μ+）且σ=exp（2μ+σ）exp（σ）-1。（2）布朗运动。第一，带漂移的布朗运动是具有下列性质的随机过程x（t），t≥0：一是任何增量X（t+s）-X（s）都是均值为μt，方差为σ的正态分布变量，μ和σ是确定的参数。二是对任何t1
df=dt+dX（t）+b（X，t）dt
=（+a（X，t）+b（X，t））dt+b（X，t）dZ（t） （5）
注意：如果f只是X的一个变量的函数f=f（X），则同样的导出Ito引理的结果是：df=（a（X，t）+b（X，t）））dt+b（X，t）dZ（t）。（4）几何布朗过程的微分形式。考虑方程（4）定义的几何布朗运动，其中X（t）的微分由方程（4）定义，取方程（5）中的y=f（X）=ex（t），a（X，t）=μ，b（X，t）=σ利用Ito引理，y的随机微分形式为：dy=（μ+）dyt+σydZ，故 =（μ+）dt+σydZ（6）（其中=ex（t）=y，=ex（t）=y），y的漂移率和波动率分别是μ+与σ。
2.Black-Scholes期权定价模型。Black-Scholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析技术。在假设条件下，采取一种动态交易策略，来复制欧式买权到期末的现金流。即用△=份标的物股票的多头（即买入）和无风险证券的空头（即卖出）来复制一份期权，其中股票的价格为S，期权的价格为f=f（S，t），是股票价格S和时间t的函数，无风险证券的价值为L，即动态的保持：f=S-L，即L=-f+S。经过一段微小的时间dt，则有 dL=-df+dS （7）。因为f和L都是随机过程，我们应用Ito引理来计算它的随机微分：df=dt+dS+S2dt，dL=（--S2）dt。上式的右边，随机项Z不再出现，这意味着一份期权的空头和△份股票的多头能实现风险的完全对冲，而△的大小是动态调整的。所以，右边的二者组合和与之等值的无风险证券是完全等价的，即组合的收益率应当等于无风险收益率rf，有rfdt，则dL=（--S2）dt=rfLdt=r（-f+S）dt，整理后得：+rfS+S2=rff。上面的抛物线偏微分方程稱为Black-Scholes方程，它刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。为了完成期权定价公式的推导，我们还要给出欧氏期权满足得边界条件：当t=T时，对于买权，有c=f（T）=max（S（T）-X，0）；对于卖权，有p=f（T）=max（X-S（T），0），其中X时期权指定得标的物的执行价格。根据边界条件，可以倒向解出上述微分方程得初始值的表达式，即Black-Scholes期权定价公式：看涨期权 c=S（t）N（d1）-Xe-rf（T-t）N（d2），看跌期权 p=Xe-rf（T-t）N（d2）-S（t）N（-d1），其中是累计正态分布函数，而 d1= d2=d-σ。 注：B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，莫顿发展了B-S模型，使其亦应用于支付红利的期权。
存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期某时间t（即除息日）支付已知红利Dt，只需将该红利限值从股票价值S中除去，将调整后的股票价值S′=S-Dte-rT（带入B-S中变型。如果在有效期内存在其他所得，依该法，减去得新公式：C= （S-Dte-rT（）N（d1）-Le-rTN（d2）
三、公式的检验
（1）该模型的使用需有一个重要前提，即：标的资产遵循几何布朗运动。可以通过以下两方面进行验证。第一，利用伊藤引理可以得到：log-logS=log 服从均值为（μ*=）（T-t）（即μ（T-t）），方差为σ（T-t））的正态分布。第二，利用对数正态特性，也可以得到投资决策现时t与之后某一时刻T之间连续复利年收益的概率分布。将t与T之间年收益率定义为a，则连续复利年收益率也服从正态分布。S=Se，a=ln，a～Φμ-， 。（2）B-S模型应用条件检验的内容和意义。一是检验内容。作为标的资产的煤炭，其价格的变化是否遵循对数正态分布；连续复利收益率是否遵循正态分布。二是检验意义。通过对以上两个方面的检验，可以验证B-S模型的第一个假设条件，即标的资产遵循几何布朗运动。有了这一假设的验证，为在煤炭使用中运用B-S模型奠定了基础，并提供了科学的依据。（3）B-S模型应用条件检验的工具和方法。SPSS是公认的最优秀的统计分析软件包之一，具备多种统计分析方法。本文选用SPSS软件，进行正态性检验。本文运用的是单样本的K-S检验。该检验用于检验一组样本观测结果的经验分布同某一指定的理论分布之间是否一致。K-S检验的基本思路是，将顺序分类数据的理论累计频率分不同观测的经验累积频率分布加以比较，求出它们最大的偏离值，然后在给定的显著性水平上（一般取0.05）检验这种偏离是否偶然出现的。
四、B-S模型应用条件检验过程和检验结果分析
（1）样本的选取与数据整理。在选取样本时，选取了环渤海动力煤均价，且动力煤的热值为5500大卡，由于热值是固定的，它的价格与动力煤的价格是正相关的，此时只分析动力煤的价格走势。数据如表1及表2。
由以上的分析结果可知，各组样本都高度符合：P>0.05（0.05为显著性水平），即接受正态分布的原假设。结果表明，该方法中各组样本基本遵循对数正态分布。（2）连续复利收益率正态分布的检验。由于B-S模型假设套期保值率是连续变化的，因此利率要使用连续复利。连续复利假定利息是连续支付的，因此用此模型进行期权估价时收益率使用连续复利计算。同样采用K-S检验。经检验，P值为0.972，显然其收益率也是基本遵循正态分布。（3）结论。根据SPSS软件的检验结果，可以认为动力煤的价格基本遵循对数正态分布，即B-S模型中的几何布朗运动假设，也就是说对于煤炭热值期权可以使用B-S模型估价。作为检验的补充，年收益率也基本符合正态分布。
五、B-S模型实证分析
1.波动率。历史波动率是基于过去的统计分析得出的，假定未来是过去的延伸，利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益系列的标准差。历史波动率具体计算方法：（1）从市场上获得动力煤在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）上的价格。（2）对于每个时间段，求出该时间段末的动力煤热值价格与该时段初的价格之比的自然对数。（3）求出这些对数值的标准差，再乘以一年中包含的时段数量的平方根（如，选取时间间隔为每天，则若扣除闭市，每年中有250个交易日，应乘以根号250），得到的即为历史波动率。针对期权来说，标的物的波动率是影响其价值的重要因素之一。在其他参数不变的情况下，标的物价格波动越大，期权的价值也越大。
2.环渤海动力煤热值期权价格计算。（1）环渤海动力煤热值波动率计算。选取等时间间隔的数据如下表4所示：
对于选取的该时间段，可以得出动力煤热值价格与该时段初的价格之比的自然对数分别为：0.001363327、0.042673141、0.030850776。它們的标准差为0.021275098，设一年中包含的时段数量为270，则波动率为0.349585531。（2）期权价格的计算。以上波动率计算数值为0.349585531，在这里取0.3。我们选取热值价格为0.13元/大卡，假设行权价格为0.13元/大卡，股息收益率为0，到期时间为1年，可以利用excel表格求出其价格，如下图1所示：
则其看涨期权的价格为0.0176元，看跌期权的价格为0.0131元。
参 考 文 献
[1]苏萌.布莱克—斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展
[J].经济论坛.28
[2]孙晓琳.建立基于Excel的期权定价模板.财会月刊（综合）[J].2007（91）
[3]李志学，胡娟.油气开发的实物期权特征及应用B-S模型的条件检验[J].统计与信息论坛.2008，23（7）：60～64
[4]宋志刚，何旭洪.SPSS16实用教程[M].北京：人民邮电出版社，2008：274～276