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直线与圆锥曲线位置关系的问题是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材.本文通过对一道典型例题的分析研究，引导学生从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并用方程法讨论直线与圆锥曲线位置关系，从而掌握研究此类问题的一般手法.
引例：
已知抛物线C：x2=4y的焦点F为椭圆E的上顶点，椭圆E的离心率为
32，直线l过点F交抛物线C于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线
l1，l2，直线l1，l2相交于点M.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：MF⊥AB；
（Ⅲ）设点M′为椭圆E上一点，过点M′作抛物线C的两条切线
M′A′，M′B′，直线A′B′过点F，求直线M′A′，M′B′与抛物线C所围成的面积.
一、审题切入，确立方向
波利亚解题表的四个步骤，首先要求我们必须“理解问题”，搞清楚：已知是什么？条件是什么？ 未知是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？…
研究直线与圆锥曲线位置关系的问题具有一般性，该如何切入进行分析破题是解决此类问题的关键.审题时，应该对整个试题所考查的核心知识做到心中有底，如：本题考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的相交弦问题、利用定积分求曲面的面积等；同时要边动手画出数学情景示意图，使得数学问题直观化；此外，应进行合理联想类比，你在哪里见过与此类似的问题，哪些方法可能帮你求解题目中的问题，如：本题为直线与圆锥曲线的相交弦问题，“设而不解”是解题的利器.从而寻找到合理的入手点和制定初步的解题计划.
对于本题，可以从条件入手：求解（Ⅰ）宜从条件出发，采用“直译法”，可得两个条件，进而求出椭圆E的方程；从经验入手：“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？”（波利亚）求解（Ⅱ）宜从经验出发，设出直线，联立方程组，利用韦达定理，采用“设而不解”的方法解题；从结论入手：第（Ⅲ）步宜从解题目标出发，即求解曲边梯形的面积，因此需要求出各曲线的方程，然后用定积分进行求解.
二、问题分析，求得解决
（Ⅰ）设椭圆E的方程为
x2a2+y2b2=1（a>b>0）
，
因为抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），所以b=1，
又因为椭圆E的离心率为32，所以
e=32，
所以a=2，b=1，所以椭圆E的方程x24+y2=1.
简析“待定系数”求解圆锥曲线方程是通性通法，根据题设条件列出方程求得.
（Ⅱ）显然lAB不垂直于x轴，设lAB：y=
kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x2=4y
y=kx+1
，得x2-4kx-4=0， 所以Δ>0，x1+x2=4k，x1·x2=-4，
又因为
x2=4y，所以y=14x2，所以y′=12x，
所以直线l1方程为
y-14x21=12x1（x-x1），即
y=12x1x-14x21 （1）
直线l2方程
y-14
x22=12x2（x-x2），
即y=12x2x-14x22（2）
由（1）-（2） 得
12（x1-x2）x=14x21-14x22，
所以x=12（x1+x2）=2k，所以y=-1，所以
M（2k，-1），所以FM=（2k，-2），
又因为AB
=（x2-x1，y2-y1），
所以
FM·AB=2k（x2-x1）-2（y2-y1）=2k（x2-x1）-2（（kx2+1）-（kx1+1））=0.
简析：联立直线与圆锥曲线方程，通过方程解的情况来探究位置关系是普遍方法，把几何问题转化为代数问题来求解.
（Ⅲ）因为直线A′B′过点F，由（Ⅱ）知点M′在直线y=-1上，
又因为点M
′在椭圆E上，所以M′（0，-1），此时A′（-2，1），B′（2，1），
所以lM′A′：y=-x-1，lM′B′：y=x-1，
所以直线lM′A′，抛物线
C，y轴所围成的面积为
S1=∫0-2
[14x2-（-x-1）]dx=
（112
x3+12x2+x）|0-2=23
，
同理可得：直线lM′B′，抛物线C，y轴所围成的面积为23，
所以直线M′A′，M′B′与抛物线C所围成的面积为43.
三、变式训练，形成能力
变式1：已知直线l过抛物线C：
x2=4y的焦点F（0，1），交抛物线C于A，B两点，分别过点
A，B作抛物线C的切线l1，l2，直线l1，l2相交于点M.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求证：MF⊥AB；
（Ⅲ）求直线l1，l2与抛物线C所围成的面积的最小值.
变式理由：
（1）原问题中，椭圆E的出现感觉很突兀，在后续的问题中基本不起作用，因此为使问题更加简洁、干净，所以简化掉椭圆E；
（2）把第（Ⅲ）步改为动直线与抛物线C所围成的面积的最值问题，融入运动变化的观点，使问题上升到一定难度，从而更全面地考查学生的数学能力.
变式2： 已知抛物线C：
x2=4y的焦点F为椭圆E的上顶点，椭圆E的离心率为
32.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l过点F交抛物线C于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，直线
l1，l2相交于点M，求证：MF⊥AB；
（Ⅲ）设点M′为椭圆E上一点，过点M′作抛物线C的两条切线
M′A′，M′B′，直线A′B′过点G，求点G纵坐标的取值范围.
变式理由：
（1）简化题干，使问题的表达更加干净、利落；
（2）改编问题（Ⅲ），使椭圆E融入整个问题，同时使点M′变化，融入运动变化的观点，上升问题的层次.
四、总结反思，提升认识
对这类问题的解决主要存在的误区有以下几个问题：
（1）忽视直线lAB斜率不存在的情况，没有进行必要的说明或讨论；
（2）忽视一元二次方程Δ对直线与圆锥曲线交点情况的影响，虽然本题不影响，但这是此类问题的一个易疏忽点；
（3）不能合理应用点A，B，切线l1，l2的对称关系，利用“同理可得”进行合理的简化运算.
总之，直线与圆锥曲线的问题高考中多以综合题的形式出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化、类比归纳等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，以上典型案例的剖析过程对直线与圆锥曲线位置关系的探究具有一般意义的参考价值.
引例：
已知抛物线C：x2=4y的焦点F为椭圆E的上顶点，椭圆E的离心率为
32，直线l过点F交抛物线C于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线
l1，l2，直线l1，l2相交于点M.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：MF⊥AB；
（Ⅲ）设点M′为椭圆E上一点，过点M′作抛物线C的两条切线
M′A′，M′B′，直线A′B′过点F，求直线M′A′，M′B′与抛物线C所围成的面积.
一、审题切入，确立方向
波利亚解题表的四个步骤，首先要求我们必须“理解问题”，搞清楚：已知是什么？条件是什么？ 未知是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？…
研究直线与圆锥曲线位置关系的问题具有一般性，该如何切入进行分析破题是解决此类问题的关键.审题时，应该对整个试题所考查的核心知识做到心中有底，如：本题考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的相交弦问题、利用定积分求曲面的面积等；同时要边动手画出数学情景示意图，使得数学问题直观化；此外，应进行合理联想类比，你在哪里见过与此类似的问题，哪些方法可能帮你求解题目中的问题，如：本题为直线与圆锥曲线的相交弦问题，“设而不解”是解题的利器.从而寻找到合理的入手点和制定初步的解题计划.
对于本题，可以从条件入手：求解（Ⅰ）宜从条件出发，采用“直译法”，可得两个条件，进而求出椭圆E的方程；从经验入手：“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？”（波利亚）求解（Ⅱ）宜从经验出发，设出直线，联立方程组，利用韦达定理，采用“设而不解”的方法解题；从结论入手：第（Ⅲ）步宜从解题目标出发，即求解曲边梯形的面积，因此需要求出各曲线的方程，然后用定积分进行求解.
二、问题分析，求得解决
（Ⅰ）设椭圆E的方程为
x2a2+y2b2=1（a>b>0）
，
因为抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），所以b=1，
又因为椭圆E的离心率为32，所以
e=32，
所以a=2，b=1，所以椭圆E的方程x24+y2=1.
简析“待定系数”求解圆锥曲线方程是通性通法，根据题设条件列出方程求得.
（Ⅱ）显然lAB不垂直于x轴，设lAB：y=
kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x2=4y
y=kx+1
，得x2-4kx-4=0， 所以Δ>0，x1+x2=4k，x1·x2=-4，
又因为
x2=4y，所以y=14x2，所以y′=12x，
所以直线l1方程为
y-14x21=12x1（x-x1），即
y=12x1x-14x21 （1）
直线l2方程
y-14
x22=12x2（x-x2），
即y=12x2x-14x22（2）
由（1）-（2） 得
12（x1-x2）x=14x21-14x22，
所以x=12（x1+x2）=2k，所以y=-1，所以
M（2k，-1），所以FM=（2k，-2），
又因为AB
=（x2-x1，y2-y1），
所以
FM·AB=2k（x2-x1）-2（y2-y1）=2k（x2-x1）-2（（kx2+1）-（kx1+1））=0.
简析：联立直线与圆锥曲线方程，通过方程解的情况来探究位置关系是普遍方法，把几何问题转化为代数问题来求解.
（Ⅲ）因为直线A′B′过点F，由（Ⅱ）知点M′在直线y=-1上，
又因为点M
′在椭圆E上，所以M′（0，-1），此时A′（-2，1），B′（2，1），
所以lM′A′：y=-x-1，lM′B′：y=x-1，
所以直线lM′A′，抛物线
C，y轴所围成的面积为
S1=∫0-2
[14x2-（-x-1）]dx=
（112
x3+12x2+x）|0-2=23
，
同理可得：直线lM′B′，抛物线C，y轴所围成的面积为23，
所以直线M′A′，M′B′与抛物线C所围成的面积为43.
三、变式训练，形成能力
变式1：已知直线l过抛物线C：
x2=4y的焦点F（0，1），交抛物线C于A，B两点，分别过点
A，B作抛物线C的切线l1，l2，直线l1，l2相交于点M.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求证：MF⊥AB；
（Ⅲ）求直线l1，l2与抛物线C所围成的面积的最小值.
变式理由：
（1）原问题中，椭圆E的出现感觉很突兀，在后续的问题中基本不起作用，因此为使问题更加简洁、干净，所以简化掉椭圆E；
（2）把第（Ⅲ）步改为动直线与抛物线C所围成的面积的最值问题，融入运动变化的观点，使问题上升到一定难度，从而更全面地考查学生的数学能力.
变式2： 已知抛物线C：
x2=4y的焦点F为椭圆E的上顶点，椭圆E的离心率为
32.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l过点F交抛物线C于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，直线
l1，l2相交于点M，求证：MF⊥AB；
（Ⅲ）设点M′为椭圆E上一点，过点M′作抛物线C的两条切线
M′A′，M′B′，直线A′B′过点G，求点G纵坐标的取值范围.
变式理由：
（1）简化题干，使问题的表达更加干净、利落；
（2）改编问题（Ⅲ），使椭圆E融入整个问题，同时使点M′变化，融入运动变化的观点，上升问题的层次.
四、总结反思，提升认识
对这类问题的解决主要存在的误区有以下几个问题：
（1）忽视直线lAB斜率不存在的情况，没有进行必要的说明或讨论；
（2）忽视一元二次方程Δ对直线与圆锥曲线交点情况的影响，虽然本题不影响，但这是此类问题的一个易疏忽点；
（3）不能合理应用点A，B，切线l1，l2的对称关系，利用“同理可得”进行合理的简化运算.
总之，直线与圆锥曲线的问题高考中多以综合题的形式出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化、类比归纳等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，以上典型案例的剖析过程对直线与圆锥曲线位置关系的探究具有一般意义的参考价值.