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【摘要】对于年幼儿重来说，加减之间的逆反关系是其数学学习伊始必须获得的关键的概念关系之一，正确理解和运用加减逆反关系被视为儿童数概念发展的一个里程碑，因此，研究幼儿对数学加减逆反原则的理解和运用具有极其重要的意义。本研究主要考查4岁～6岁学前儿童的加减逆反原则理解和运用的发展水平和年龄特点以及加减运算技能与其加减逆反原则理解和运用之间的关系。结果表明，幼儿至少在4岁的时候已经有了部分或者不稳定的对加减逆反概念的理解和运用，但是要到5岁甚至更晚才能够达到较为一致而稳定的程度；幼儿加减运算技能和对加减逆反概念理解和运用之间存在着较为复杂的关系，两者之间的发展水平有可能是一致的，也可能呈现相反的趋势。
【关键词】学前儿童；加减逆反原则理解和运用；加减运算技能
【中图分类号】G612 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6017(2012)09-0019-06
【作者简介】任培晓(1982-)，女，浙江平湖人，上海黄浦区瑞金一路幼儿园一级教师、华东师范大学学前教育与特殊教育学院硕士。
一、问题的提出
皮亚杰(Piaget，1952)曾提出：“儿童只有在理解加减运算之间的逆反关系以后才能真正理解加减的本质。”所谓理解加减运算之间的逆反关系，亦即在一定的初始集合上先加一定数量然后减掉相同数量后(反之亦然)能迅速判断初始集合数量保持不变(Klein&Bisanz，2000)。目前，国外已经有众多研究者将儿童对加减逆反关系的理解和运用情况作为其主要的研究兴趣，也做了大量的实证研究，相对而言，中国对数学加减的研究集中在加减策略等方面，而很少关注对加减逆反关系理解这一领域。而在实践中，教师和家长往往只关注到显而易见的数学程序性知识(即关于“怎么样”、“如何做”的知识)的学习结果，而忽略了儿童究竟如何理解加减等概念的本质、如何理解数学运算中存在的各种关系这些问题。
因而，本研究主要考查4岁～6岁学前儿童的加减逆反原则理解和运用的发展水平和年龄特点以及加减运算技能与其加减逆反原则理解和运用之间的关系。
二、研究方法
(一)研究被试
本研究随机选取上海市某区三所中等水平幼儿园(A、B、C园)6个班级中的122名幼儿。其中，5岁组(指5岁～6岁)幼儿64名(男孩33人，平均年龄67.8月，标准差3.6，年龄范围65月～74月；女孩31人，平均年龄68.5月，标准差3.6，年龄范围65月-74月)，4岁组(指4岁～5岁)幼儿58名(男孩29人，平均年龄55.7月，标准差3.4，年龄范围49月-62月；女孩29人，平均年龄57.3月，标准差3.5，年龄范围48月-62月)。
(二)研究的工具
本研究的测查分为两部分，两个数的加减运算任务和不完全具体的加减逆反任务。
1.两个数的加减运算
(1)工具
测查问题为自编的以口头应用题形式呈现的两个数加减运算题目，共12题，加减法各半，涉及三种难度，10以内的加减法、10～20的加减法以及2012的加减法。基本表述为：“你有**粒糖／块饼干／片雪花片，我又给了你**粒／块／片，现在你一共有多少粒／块／片?”，或“你原来有**粒糖／块饼干／片雪花片，吃掉／拿走了**粒／块／片，还剩下多少粒／块／片?”。
(2)材料
提供给被试足够数量的用以操作加减运算的实物如糖、雪花片、饼干等。
2.不完全具体的加减逆反任务
(1)工具
不完全具体的加减逆反任务的测题涉及三个先加后减(x+n-n)的逆反问题，三个先减后加(x-n+n)的逆反问题，一个涉及较大数量加减8的问题。以及四种类型的控制问题各两题，这四种类型分别是：(a)x+L-S，如X+4-2，(b)x-S+L，如x-2+4；(c)x-L+S如x-4+2；(d)x+S-L如x+2--4(其中x表示未知的初始量，S表示较小的量，较大的量)。
(2)材料
不完全具体的加减逆反任务所采用的材料包括一个大的长方形水果塑料盘(长约为30cm，宽约20cm)，一个直径约为20cm的圆形纸盘，23块相同的小的圆形饼干，23粒相同的颗粒糖，一块不透明布(大小只要能足够遮住水果塑料盘即可)。
(三)研究程序
任务一：
主试出示实物(糖、饼干和雪花片)，“如果你觉得有点困难，也可以请这些东西来帮忙。”然后依次以口头应用题的形式呈现两个数加减运算问题。如果幼儿在某道题上出现心算或者操作错误，给予幼儿第二次机会重新尝试一次，如果第二次他能答对，同样视为正确，如果还是错误，则接着进行下一道题目的测查。如果幼儿连续三次答错同一类型(加法／减法)的题目，则停止对这种类型题目的测查，比如幼儿无法回答题1、3和5，则停止测查之后的加法题目。
任务二：
向幼儿介绍材料及任务要求，主试出示装有若干实物(饼干或糖)的塑料水果盘，接着在盘子左边(幼儿角度)短暂出示一定数量的饼干(或糖)，把饼干(或糖)放到布下面的塑料盘中，紧接着，主试从盘子右边拿出相同数量的饼干(或糖)也放在盘子里，在被试面前短暂出示拿出的饼干(或糖)，移走。随后主试请被试回答盘里的东西是和原来一样多还是变多或变少了。
(四)数据的收集与处理
对于任务一“两个数的加减运算”，如果被试用心算方法，则记为2分；如果是用操作实物的方法，则记为1分，加法总分12分，减法总分12分，共计24分。
对于任务二“不完全具体的加减逆反任务”，如果被试在逆反问题回答“一样多”，则计为正确，得1分，如果被试在控制问题上能够根据初始集合上所发生的数量变化来回答“更多／更少”，则计为正确，得1分。15道题目中有8道控制题，7道逆反题，如果幼儿在控制问题上得6分及以上：则视为其在控制问题上获得成功，如果得5分，则视为接近成功，小于等于4分都视为不成功；如果幼儿在逆反问题上得5分及以上，则视为成功，得4分，则视为接近成功，得4分及以下，则视为不成功。 测查结果用SPSS11.5 for windows处理。
三、研究结果
研究结果包括以下部分：
(一)4岁～6岁幼儿的总体逆反理解和运用能力
4岁～6岁幼儿完成“不完全具体的加减逆反任务”的成功人数及百分比详见表1。随着年龄的增长，幼儿在“不完全具体的加减逆反任务”中回答的正确率日益提高，分别有5.17％的4岁幼儿和32.8％的5岁幼儿能够在逆反问题和控制问题上两项上都获得成功，同时，逆反和控制问题均失败的幼儿人数百分比也随着年龄的增加显著降低。4岁和5岁年龄段各有约四分之一的幼儿在逆反问题和控制问题这两种问题情境下表现出不一致。
(二)“不完全具体的加减逆反任务”的年龄差异、性别差异和园所差异分析
以年龄班(4岁、5岁)、性别(男、女)和幼儿园(A园、B园和C园)为自变量，控制得分、逆反得分和任务总得分这三个项目为因变量，进行2×2×3的三因素多元方差分析，4岁～6岁幼儿逆反任务各项目对年龄班、性别和园所的多元方差分析结果年龄班在控制问题、逆反问题和整个任务得分上均存在统计上显著的主效应，F控制(1，110)=12.914，P<0.01，F逆反(1，110)=23.296，P<0.01，F总分(1，110)=26.118，P<0.01。园所仅在加减逆反任务总得分上有统计上显著的主效应，F园所(2，110)=3.108，P<0.005，运用post hoe Tests中的LCD进行了多重比较可知，这种显著差异存在于A园和C园之间(P<0.05)。性别在这三个项目上均不存在统计上的显著差异性。年龄班和性别、年龄班和园所、性别和园所以及年龄班、性别和园所之间在这三个项目上都没有交互效应。
(三)4～6岁幼儿完成“不完全具体的加减逆反任务”的错误分析
幼儿在回答“不完全具体的加减逆反任务”时所犯的系统性错误类型的定义及所犯各种错误类型的频无论是在4岁还是5岁，幼儿在逆反任务中最常犯的系统性错误就是只关注第二次加／减带来的变化，特别是在4岁幼儿中，依靠第二次变化而判断初始集合数量是增加还是减少的频次占了所犯系统性错误总频次的54.76％，而5岁虽然这一类型系统性错误的频次所占错误总频次的百分比仍然是最高的，但是与4岁的百分比相比，呈现了下降趋势。有极小部分的4岁～6岁幼儿会在所有的逆反任务题中前后一致地回答“一样多／更多／更少”，而在4岁～6岁所有的被试中，并没有幼儿犯类型4和7的错误。
(四)加减逆反任务各项目与加减运算任务之间及其各项目内部之间的相关情况
1.加减逆反任务各项目与加减运算任务之间的相关情况
“不完全具体的加减逆反任务”各项得分与两个数加减运算得分的相关。两个数加减运算与控制问题、逆反问题以及逆反任务总得分之间均存在着正向相关。两个数加减运算和控制问题的得分具有极显著的正向相关(r=.324，p<.001)。两个数加减运算和逆反问题的得分也具有极显著的正向相关(r=.576，p<.001)。两个数加减运算与逆反任务总得分之间也存在极显著的正向相关(r=.555，p<，001)。数据也表明，两个数加减运算和逆反问题之间的相关最高，而与控制问题之间的相关最低。
2.加减逆反任务各项目内部之间的相关情况
“不完全具体的加减逆反任务”各项之间得分之间的相关，由表可见，在任务二的内部各项目之间均存在着极显著的正向相关，其中以逆反问题得分与总得分之间相关程度最高(r=.914，p<.001)。
3.4岁～6岁幼儿加减运算技能与逆反概念理解和运用之间的聚类分析
为了进一步了解4岁～6岁幼儿在加减运算技能和逆反概念理解和运用水平之间的个体差异性，揭示在这两种能力上存在的不同子集，本研究运用spss11.5进行聚类分析(cluster analysis)，可得四类子集，分别是高能力子集、低能力子集、高概念理解低运算水平子集和高运算水平低概念理解子集。4岁～6岁每个子集的人数和百分比。由表可见，随着年龄的增长，落在高能力子集的幼儿人数百分比明显提高，而与之相反，低能力子集的人数百分比则显著下降。同时可以看到，高概念理解低运算水平子集的幼儿百分也随着年龄增长不断提高，而高运算水平低概念理解子集的幼儿百分比则不断下降。由此可见，尽管绝大部分幼儿能够在概念理解和运算水平上表现出一致性，但有相当一部分幼儿(约30％)出现了概念理解和运算水平相反的情况。
四、讨论
(一)4～6岁幼儿出现对加减逆反原则理解和运用的年龄
已有的研究认为幼儿在学前中后期，甚至在儿童4岁的时候就能够理解加减逆反概念，或者至少有了这样一种理解的萌芽(Bisanz&LeFevre,1990；Bryant，1999；Rasmussen，2003；Baroody&Meng-lung Lai，2007,etc.)，而另一些研究则表明，幼儿要到更晚一点，也就是学龄初期才能出现对加减逆反概念的理解和运用(Bisanz，LeFewe，&Gilliland，1989)。
针对长期存在争议的幼儿何时开始拥有对加减逆反原则的理解和运用这样一个问题，本研究倾向于支持学前末期儿童能够进行加减逆反理解和运算这样一种观点，认为幼儿至少在4岁的时候已经开始萌发部分或者不稳定的对加减逆反概念的理解和运用，但是要到5岁甚至更晚才能够达到较为一致而稳定的程度。同时，4岁和5岁幼儿中都有部分幼儿能够较为灵活地运用加减逆反法则，而且人数百分比随着年龄而不断增加。
(二)幼儿理解和运用加减逆反原则过程中存在的错误分析
研究表明，幼儿在回答加减逆反任务中存在的一些系统性错误类型会造成幼儿能成功解决逆反问题或控制问题的假象，如果在不排除这些系统性错误的基础上而评价幼儿在逆反任务上的表现，有可能就会高估了幼儿对加减逆反概念的理解和运用能力。
(三)加减逆反的理解和运用与加减运算技能之间的关系 本研究表明：幼儿加减运算技能和对加减逆反概念理解和运用之间存在着较为复杂的关系，对于大部分幼儿，两者发展水平是同步的，而且它们相互之间也可能不是单纯地谁决定谁的问题，而可能是相互依赖相互促进的关系。熟练的加减运算技能可以让幼儿更好地发现加减运算之间的逆反关系，从而理解和运用加减逆反原则，而加减逆反原则的概念获得又可以让幼儿更为灵活有效地学习加减运算。但是对于一部分幼儿，加减运算技能和对加减逆反概念的理解和运用水平则是相互独立的，幼儿在两者的表现上并不存在相关，不能简单地由一者的水平推断出另一者的水平。
五、启示
(一)给幼儿提供相关方面的感性经验
数知识是指数量之间的抽象性关系，因而这种知识的发展最初必须依赖于能够给这种抽象的实体之间的关系提供中介的具体事物。在儿童能够真正理解这些概念性关系以前，他们必须经历一个对包含在这些概念性关系中的概念性实体的建构过程(Resnick，1992)。因而，幼儿理解和运用加减逆反关系，离不开日常生活中积累的关于这方面的感性经验。在日常生活中，教师和家长应该多为幼儿提供各种关于加减逆反以及整体与部分方面的感性经验，而不是剥夺他们通过操作来建构数学知识的机会。
(二)合理分配用于运算技能和概念理解上的教学时间
由于加减运算技能的熟练并不一定必然带来高水平的加减逆反概念理解，那么现今教学中只注重对加减运算技能的教授和练习而忽视对概念理解的掌握的做法就值得反思。所以在对幼儿进行加减逆反的教学中，教师要合理分配加减运算技能练习和概念理解的时间，不可偏废一方，尤其是不能只关注幼儿加减运算技能的习得而忽视帮助其获得对加减逆反关系的理解。
(三)全面地评价幼儿数学能力
本研究的结果表明，尽管大多数幼儿的加减运算技能和加减逆反概念理解和运用水平之间是同步发展的，但是也有另一部分幼儿则虽然不能很好地进行加减运算，但是却能够很好地理解和运用加减逆反关系。因而，现行的对幼儿加减能力的考量是欠妥的，有可能高估一部分幼儿能力却低估另一部分幼儿的水平。
(四)尽量针对每个幼儿的水平和偏好进行教学
本研究的研究结果表明，对加减逆反法则的理解和使用至少是在5岁幼儿的“最近发展区”内，4岁的幼儿也已经开始逐渐萌发出对加减逆反概念的理解。因此，在教学活动中适当引入加减逆反相关的材料和活动并没有过高超越他们的发展水平。如教师、家长可以通过和幼儿玩“给和拿”之类的游戏，逐渐让幼儿积累关于加减逆反的经验。
此外，幼儿在加减运算技能和加减逆反概念理解两者关系上存在着不同能力子集，也需教师根据不同能力子集的幼儿进行因材施教。
【关键词】学前儿童；加减逆反原则理解和运用；加减运算技能
【中图分类号】G612 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6017(2012)09-0019-06
【作者简介】任培晓(1982-)，女，浙江平湖人，上海黄浦区瑞金一路幼儿园一级教师、华东师范大学学前教育与特殊教育学院硕士。
一、问题的提出
皮亚杰(Piaget，1952)曾提出：“儿童只有在理解加减运算之间的逆反关系以后才能真正理解加减的本质。”所谓理解加减运算之间的逆反关系，亦即在一定的初始集合上先加一定数量然后减掉相同数量后(反之亦然)能迅速判断初始集合数量保持不变(Klein&Bisanz，2000)。目前，国外已经有众多研究者将儿童对加减逆反关系的理解和运用情况作为其主要的研究兴趣，也做了大量的实证研究，相对而言，中国对数学加减的研究集中在加减策略等方面，而很少关注对加减逆反关系理解这一领域。而在实践中，教师和家长往往只关注到显而易见的数学程序性知识(即关于“怎么样”、“如何做”的知识)的学习结果，而忽略了儿童究竟如何理解加减等概念的本质、如何理解数学运算中存在的各种关系这些问题。
因而，本研究主要考查4岁～6岁学前儿童的加减逆反原则理解和运用的发展水平和年龄特点以及加减运算技能与其加减逆反原则理解和运用之间的关系。
二、研究方法
(一)研究被试
本研究随机选取上海市某区三所中等水平幼儿园(A、B、C园)6个班级中的122名幼儿。其中，5岁组(指5岁～6岁)幼儿64名(男孩33人，平均年龄67.8月，标准差3.6，年龄范围65月～74月；女孩31人，平均年龄68.5月，标准差3.6，年龄范围65月-74月)，4岁组(指4岁～5岁)幼儿58名(男孩29人，平均年龄55.7月，标准差3.4，年龄范围49月-62月；女孩29人，平均年龄57.3月，标准差3.5，年龄范围48月-62月)。
(二)研究的工具
本研究的测查分为两部分，两个数的加减运算任务和不完全具体的加减逆反任务。
1.两个数的加减运算
(1)工具
测查问题为自编的以口头应用题形式呈现的两个数加减运算题目，共12题，加减法各半，涉及三种难度，10以内的加减法、10～20的加减法以及2012的加减法。基本表述为：“你有**粒糖／块饼干／片雪花片，我又给了你**粒／块／片，现在你一共有多少粒／块／片?”，或“你原来有**粒糖／块饼干／片雪花片，吃掉／拿走了**粒／块／片，还剩下多少粒／块／片?”。
(2)材料
提供给被试足够数量的用以操作加减运算的实物如糖、雪花片、饼干等。
2.不完全具体的加减逆反任务
(1)工具
不完全具体的加减逆反任务的测题涉及三个先加后减(x+n-n)的逆反问题，三个先减后加(x-n+n)的逆反问题，一个涉及较大数量加减8的问题。以及四种类型的控制问题各两题，这四种类型分别是：(a)x+L-S，如X+4-2，(b)x-S+L，如x-2+4；(c)x-L+S如x-4+2；(d)x+S-L如x+2--4(其中x表示未知的初始量，S表示较小的量，较大的量)。
(2)材料
不完全具体的加减逆反任务所采用的材料包括一个大的长方形水果塑料盘(长约为30cm，宽约20cm)，一个直径约为20cm的圆形纸盘，23块相同的小的圆形饼干，23粒相同的颗粒糖，一块不透明布(大小只要能足够遮住水果塑料盘即可)。
(三)研究程序
任务一：
主试出示实物(糖、饼干和雪花片)，“如果你觉得有点困难，也可以请这些东西来帮忙。”然后依次以口头应用题的形式呈现两个数加减运算问题。如果幼儿在某道题上出现心算或者操作错误，给予幼儿第二次机会重新尝试一次，如果第二次他能答对，同样视为正确，如果还是错误，则接着进行下一道题目的测查。如果幼儿连续三次答错同一类型(加法／减法)的题目，则停止对这种类型题目的测查，比如幼儿无法回答题1、3和5，则停止测查之后的加法题目。
任务二：
向幼儿介绍材料及任务要求，主试出示装有若干实物(饼干或糖)的塑料水果盘，接着在盘子左边(幼儿角度)短暂出示一定数量的饼干(或糖)，把饼干(或糖)放到布下面的塑料盘中，紧接着，主试从盘子右边拿出相同数量的饼干(或糖)也放在盘子里，在被试面前短暂出示拿出的饼干(或糖)，移走。随后主试请被试回答盘里的东西是和原来一样多还是变多或变少了。
(四)数据的收集与处理
对于任务一“两个数的加减运算”，如果被试用心算方法，则记为2分；如果是用操作实物的方法，则记为1分，加法总分12分，减法总分12分，共计24分。
对于任务二“不完全具体的加减逆反任务”，如果被试在逆反问题回答“一样多”，则计为正确，得1分，如果被试在控制问题上能够根据初始集合上所发生的数量变化来回答“更多／更少”，则计为正确，得1分。15道题目中有8道控制题，7道逆反题，如果幼儿在控制问题上得6分及以上：则视为其在控制问题上获得成功，如果得5分，则视为接近成功，小于等于4分都视为不成功；如果幼儿在逆反问题上得5分及以上，则视为成功，得4分，则视为接近成功，得4分及以下，则视为不成功。 测查结果用SPSS11.5 for windows处理。
三、研究结果
研究结果包括以下部分：
(一)4岁～6岁幼儿的总体逆反理解和运用能力
4岁～6岁幼儿完成“不完全具体的加减逆反任务”的成功人数及百分比详见表1。随着年龄的增长，幼儿在“不完全具体的加减逆反任务”中回答的正确率日益提高，分别有5.17％的4岁幼儿和32.8％的5岁幼儿能够在逆反问题和控制问题上两项上都获得成功，同时，逆反和控制问题均失败的幼儿人数百分比也随着年龄的增加显著降低。4岁和5岁年龄段各有约四分之一的幼儿在逆反问题和控制问题这两种问题情境下表现出不一致。
(二)“不完全具体的加减逆反任务”的年龄差异、性别差异和园所差异分析
以年龄班(4岁、5岁)、性别(男、女)和幼儿园(A园、B园和C园)为自变量，控制得分、逆反得分和任务总得分这三个项目为因变量，进行2×2×3的三因素多元方差分析，4岁～6岁幼儿逆反任务各项目对年龄班、性别和园所的多元方差分析结果年龄班在控制问题、逆反问题和整个任务得分上均存在统计上显著的主效应，F控制(1，110)=12.914，P<0.01，F逆反(1，110)=23.296，P<0.01，F总分(1，110)=26.118，P<0.01。园所仅在加减逆反任务总得分上有统计上显著的主效应，F园所(2，110)=3.108，P<0.005，运用post hoe Tests中的LCD进行了多重比较可知，这种显著差异存在于A园和C园之间(P<0.05)。性别在这三个项目上均不存在统计上的显著差异性。年龄班和性别、年龄班和园所、性别和园所以及年龄班、性别和园所之间在这三个项目上都没有交互效应。
(三)4～6岁幼儿完成“不完全具体的加减逆反任务”的错误分析
幼儿在回答“不完全具体的加减逆反任务”时所犯的系统性错误类型的定义及所犯各种错误类型的频无论是在4岁还是5岁，幼儿在逆反任务中最常犯的系统性错误就是只关注第二次加／减带来的变化，特别是在4岁幼儿中，依靠第二次变化而判断初始集合数量是增加还是减少的频次占了所犯系统性错误总频次的54.76％，而5岁虽然这一类型系统性错误的频次所占错误总频次的百分比仍然是最高的，但是与4岁的百分比相比，呈现了下降趋势。有极小部分的4岁～6岁幼儿会在所有的逆反任务题中前后一致地回答“一样多／更多／更少”，而在4岁～6岁所有的被试中，并没有幼儿犯类型4和7的错误。
(四)加减逆反任务各项目与加减运算任务之间及其各项目内部之间的相关情况
1.加减逆反任务各项目与加减运算任务之间的相关情况
“不完全具体的加减逆反任务”各项得分与两个数加减运算得分的相关。两个数加减运算与控制问题、逆反问题以及逆反任务总得分之间均存在着正向相关。两个数加减运算和控制问题的得分具有极显著的正向相关(r=.324，p<.001)。两个数加减运算和逆反问题的得分也具有极显著的正向相关(r=.576，p<.001)。两个数加减运算与逆反任务总得分之间也存在极显著的正向相关(r=.555，p<，001)。数据也表明，两个数加减运算和逆反问题之间的相关最高，而与控制问题之间的相关最低。
2.加减逆反任务各项目内部之间的相关情况
“不完全具体的加减逆反任务”各项之间得分之间的相关，由表可见，在任务二的内部各项目之间均存在着极显著的正向相关，其中以逆反问题得分与总得分之间相关程度最高(r=.914，p<.001)。
3.4岁～6岁幼儿加减运算技能与逆反概念理解和运用之间的聚类分析
为了进一步了解4岁～6岁幼儿在加减运算技能和逆反概念理解和运用水平之间的个体差异性，揭示在这两种能力上存在的不同子集，本研究运用spss11.5进行聚类分析(cluster analysis)，可得四类子集，分别是高能力子集、低能力子集、高概念理解低运算水平子集和高运算水平低概念理解子集。4岁～6岁每个子集的人数和百分比。由表可见，随着年龄的增长，落在高能力子集的幼儿人数百分比明显提高，而与之相反，低能力子集的人数百分比则显著下降。同时可以看到，高概念理解低运算水平子集的幼儿百分也随着年龄增长不断提高，而高运算水平低概念理解子集的幼儿百分比则不断下降。由此可见，尽管绝大部分幼儿能够在概念理解和运算水平上表现出一致性，但有相当一部分幼儿(约30％)出现了概念理解和运算水平相反的情况。
四、讨论
(一)4～6岁幼儿出现对加减逆反原则理解和运用的年龄
已有的研究认为幼儿在学前中后期，甚至在儿童4岁的时候就能够理解加减逆反概念，或者至少有了这样一种理解的萌芽(Bisanz&LeFevre,1990；Bryant，1999；Rasmussen，2003；Baroody&Meng-lung Lai，2007,etc.)，而另一些研究则表明，幼儿要到更晚一点，也就是学龄初期才能出现对加减逆反概念的理解和运用(Bisanz，LeFewe，&Gilliland，1989)。
针对长期存在争议的幼儿何时开始拥有对加减逆反原则的理解和运用这样一个问题，本研究倾向于支持学前末期儿童能够进行加减逆反理解和运算这样一种观点，认为幼儿至少在4岁的时候已经开始萌发部分或者不稳定的对加减逆反概念的理解和运用，但是要到5岁甚至更晚才能够达到较为一致而稳定的程度。同时，4岁和5岁幼儿中都有部分幼儿能够较为灵活地运用加减逆反法则，而且人数百分比随着年龄而不断增加。
(二)幼儿理解和运用加减逆反原则过程中存在的错误分析
研究表明，幼儿在回答加减逆反任务中存在的一些系统性错误类型会造成幼儿能成功解决逆反问题或控制问题的假象，如果在不排除这些系统性错误的基础上而评价幼儿在逆反任务上的表现，有可能就会高估了幼儿对加减逆反概念的理解和运用能力。
(三)加减逆反的理解和运用与加减运算技能之间的关系 本研究表明：幼儿加减运算技能和对加减逆反概念理解和运用之间存在着较为复杂的关系，对于大部分幼儿，两者发展水平是同步的，而且它们相互之间也可能不是单纯地谁决定谁的问题，而可能是相互依赖相互促进的关系。熟练的加减运算技能可以让幼儿更好地发现加减运算之间的逆反关系，从而理解和运用加减逆反原则，而加减逆反原则的概念获得又可以让幼儿更为灵活有效地学习加减运算。但是对于一部分幼儿，加减运算技能和对加减逆反概念的理解和运用水平则是相互独立的，幼儿在两者的表现上并不存在相关，不能简单地由一者的水平推断出另一者的水平。
五、启示
(一)给幼儿提供相关方面的感性经验
数知识是指数量之间的抽象性关系，因而这种知识的发展最初必须依赖于能够给这种抽象的实体之间的关系提供中介的具体事物。在儿童能够真正理解这些概念性关系以前，他们必须经历一个对包含在这些概念性关系中的概念性实体的建构过程(Resnick，1992)。因而，幼儿理解和运用加减逆反关系，离不开日常生活中积累的关于这方面的感性经验。在日常生活中，教师和家长应该多为幼儿提供各种关于加减逆反以及整体与部分方面的感性经验，而不是剥夺他们通过操作来建构数学知识的机会。
(二)合理分配用于运算技能和概念理解上的教学时间
由于加减运算技能的熟练并不一定必然带来高水平的加减逆反概念理解，那么现今教学中只注重对加减运算技能的教授和练习而忽视对概念理解的掌握的做法就值得反思。所以在对幼儿进行加减逆反的教学中，教师要合理分配加减运算技能练习和概念理解的时间，不可偏废一方，尤其是不能只关注幼儿加减运算技能的习得而忽视帮助其获得对加减逆反关系的理解。
(三)全面地评价幼儿数学能力
本研究的结果表明，尽管大多数幼儿的加减运算技能和加减逆反概念理解和运用水平之间是同步发展的，但是也有另一部分幼儿则虽然不能很好地进行加减运算，但是却能够很好地理解和运用加减逆反关系。因而，现行的对幼儿加减能力的考量是欠妥的，有可能高估一部分幼儿能力却低估另一部分幼儿的水平。
(四)尽量针对每个幼儿的水平和偏好进行教学
本研究的研究结果表明，对加减逆反法则的理解和使用至少是在5岁幼儿的“最近发展区”内，4岁的幼儿也已经开始逐渐萌发出对加减逆反概念的理解。因此，在教学活动中适当引入加减逆反相关的材料和活动并没有过高超越他们的发展水平。如教师、家长可以通过和幼儿玩“给和拿”之类的游戏，逐渐让幼儿积累关于加减逆反的经验。
此外，幼儿在加减运算技能和加减逆反概念理解两者关系上存在着不同能力子集，也需教师根据不同能力子集的幼儿进行因材施教。