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教学设计理念
根据二期课改的要求,概念教学不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养,还要关心和改善学生的学习方式,更要重视学生对数学情感､态度方面的发展. 倡导“以问题为主线,展现本节知识的获得过程. 通过解决问题,获得本节所包含的新的数学知识,通过问题解决的过程体会获得知识所蕴涵的数学方法,体会其中的数学思想”. 的问题驱动模式的教学,在教学实践中,特别是概念教学中,问题驱动更能体现知识的脉络,培养学生的问题意识.
要启动学生的思维,就要有一个明确的可供思考的问题,使学生的思维有明确的指向,激发学生的兴趣和好奇心. 奥苏伯尔指出,“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,根据学生原有的知识状况进行教学”. 因此概念教学应在学生已有知识和经验的基础上,启发学生发现新的问题(或由教师提出),引导学生积极参加教学活动,寻找解决问题的途径,探求问题的结论,并逐步加以改进､完善,形成一般的理论. 在应用理论解决具体问题的过程中巩固知识､深化认识,进而引导学生对问题作进一步的思考和发现.
教学目的
1. 使学生了解在坐标平面内,曲线上的点与方程的解之间的一一对应的关系,初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
2. 在形成曲线和方程概念的过程中,培养学生分析､判断､归纳的逻辑思维能力,强化“形”“数”一致并相互转化的思想方法.
教学过程
一､提出课题
1. 什么是曲线?直线是曲线吗?
曲线是满足某种运动规律(条件)的点的轨迹(或集合),直线是特殊的曲线.
2. 什么是方程?二元方程可以用什么符号表示?
含有未知数的等式是方程,二元方程可以用F(x,y) = 0表示.
3. 直线和二元一次方程之间有关系吗?是怎样的关系?
直线上任意一点的坐标都是二元一次方程Ax + By + c = 0(A,B不全为0)的解;以二元一次方程Ax + By + c = 0(A,B不全为0)的解为坐标的点都在直线上. 例1 曲线C:过点(0,1)及(-1,0)的直线与方程:y = x + 1之间有何关系?
4. 这节课我们来研究一般的曲线和方程的关系.
如果没有坐标平面,曲线和方程有关系吗?
没有. 所以我们是在坐标平面内研究曲线和方程的关系的.
5. 方程F(x,y) = 0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系,就能用方程F(x,y) = 0表示曲线C,同时曲线C也表示着方程F(x,y) = 0?为什么要具备这些条件?
例2 用下列方程表示如图所示的直线C,可以吗?为什么?
(1) - = 0;
(2) x2 - y2 = 0;
(3) y = |x|;
(4) y = x.
刚才的讨论中,主要有两种提法:“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”. 这两种提法一样吗?它们反应是不是同一个事实?
在概念教学中,通过反例的反衬,常常起着帮助学生理解概念的作用. 将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾,产生针对性的思维. 为了解决这种矛盾,避免曲线和方程之间关系的不完整性,寻求作出必要的规定,这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义过程.
二､给出定义
定义:在坐标平面内,如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x,y) = 0的实数解同时满足下列关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y) = 0的解;
(2)以方程F(x,y) = 0的解为坐标的点都在曲线C上.
那么称方程F(x,y) = 0为曲线C的方程,曲线C是方程F(x,y) = 0的曲线.
你能用集合的观点来描述定义吗?
设A={(x,y)曲线|C上的点},B = {(x,y)|方程F(x,y) = 0的解}.
关系(1)说明A?哿B,关系(2)说明B?哿A,所以A=B. 2. 现在你能回答曲线和方程有什么关系了吗?
在坐标平面内,满足定义的曲线和方程有一一对应的关系.
三､概念辨析
1. 如何判断点在曲线上?
例3 解答下列问题,且说出各依据了定义中的哪一个关系?
(1) 点M1(3,-4),M2(-2 ,2)是否在方程为 x2 + y2 = 25的圆上?
(2) 已知方程为x2 + y2 = 25的圆过点M3( ,m),求m的值.
2. 从上例你能说出点在曲线的充要条件吗?
点(x0,y0)在曲线的充要条件是F(x0,y0) = 0.
3. 如何说明曲线C的方程不是F(x,y) = 0?
练习 1. 下列各题中,如图所示的曲线C的方程是所列方程吗?为什么?
(1) 曲线C为一折线;方程(x - y + 1)(x + y - 1) = 0. (2) 曲线C是顶点为原点的二次函数图像;方程x-= 0.
(3) 曲线C是过点(4,1)的反比例函数图像;方程y =.
(4) 曲线C是过点(10,1)的对数函数的图像;方程y = lg|x| .
从例题可知,两个关系只要有一个不成立,结论就不成立.
2. 求到点A(1,0),B(2,3)的距离相等的点的轨迹方程.
四､小结
1. 在领会定义时,要牢记关系(1)､(2)缺一不可.
2. 曲线和方程分别是几何与代数中的概念,在直角坐标系中,曲线有它的方程,方程有它的曲线. 曲线的方程是几何曲线的一种代数表示,方程的曲线是代数方程的一种几何表示.
3. 曲线和方程之间一一对应关系的曲线和方程确立,进一步把“曲线”和“方程”统一起来. 在此基础上,我们就可以更多地用代数方法研究几何问题,即“就数论形”,这是解析几何的基本思想和基本方法.
五､教后记
“曲线和方程”这节内容揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系,为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径,体现了解析几何这门课的基本思想,对全部解析几何教学有着深远的影响. 学生只有透彻理解曲线和方程的意义,才算是寻得了解析几何学习的入门之径. 应该认识到本节课是解析几何教学的“重头戏”.
由于曲线和方程的概念比较抽象,应充分发挥学生已有的用方程表示曲线的感性认识. 由直观表象到抽象概念仍有相当难度,对学生理解可能遇到的困难应有足够的估计. 容易产生的问题是学生不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用,甚至有学生误认为这两句话是同义反复. 所以本节课的教学目标只能定在初步领会的水平上,但“初步”绝不等同于“含糊”,反映在学生的学习行为上,即要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系才能称做“曲线的方程”和“方程的曲线”,两者缺一不可.
本节课有着概念性强,思维量大,例题与练习题不多的特点,这就决定了整节课将以学生的观察､思考､讨论为主. 知识学习与能力培养是同步的,应根据教学内容､教学过程所展开的逻辑关系来确定能力训练的侧重点. 本节课要结合图形分析反例,来辨析“两个关系”间的区别,归纳出曲线的方程和方程的曲线的一般概念. 因此能力培养的侧重点应在训练分析､归纳的逻辑思维能力上,同时强化数形结合的思想.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
根据二期课改的要求,概念教学不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养,还要关心和改善学生的学习方式,更要重视学生对数学情感､态度方面的发展. 倡导“以问题为主线,展现本节知识的获得过程. 通过解决问题,获得本节所包含的新的数学知识,通过问题解决的过程体会获得知识所蕴涵的数学方法,体会其中的数学思想”. 的问题驱动模式的教学,在教学实践中,特别是概念教学中,问题驱动更能体现知识的脉络,培养学生的问题意识.
要启动学生的思维,就要有一个明确的可供思考的问题,使学生的思维有明确的指向,激发学生的兴趣和好奇心. 奥苏伯尔指出,“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,根据学生原有的知识状况进行教学”. 因此概念教学应在学生已有知识和经验的基础上,启发学生发现新的问题(或由教师提出),引导学生积极参加教学活动,寻找解决问题的途径,探求问题的结论,并逐步加以改进､完善,形成一般的理论. 在应用理论解决具体问题的过程中巩固知识､深化认识,进而引导学生对问题作进一步的思考和发现.
教学目的
1. 使学生了解在坐标平面内,曲线上的点与方程的解之间的一一对应的关系,初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
2. 在形成曲线和方程概念的过程中,培养学生分析､判断､归纳的逻辑思维能力,强化“形”“数”一致并相互转化的思想方法.
教学过程
一､提出课题
1. 什么是曲线?直线是曲线吗?
曲线是满足某种运动规律(条件)的点的轨迹(或集合),直线是特殊的曲线.
2. 什么是方程?二元方程可以用什么符号表示?
含有未知数的等式是方程,二元方程可以用F(x,y) = 0表示.
3. 直线和二元一次方程之间有关系吗?是怎样的关系?
直线上任意一点的坐标都是二元一次方程Ax + By + c = 0(A,B不全为0)的解;以二元一次方程Ax + By + c = 0(A,B不全为0)的解为坐标的点都在直线上. 例1 曲线C:过点(0,1)及(-1,0)的直线与方程:y = x + 1之间有何关系?
4. 这节课我们来研究一般的曲线和方程的关系.
如果没有坐标平面,曲线和方程有关系吗?
没有. 所以我们是在坐标平面内研究曲线和方程的关系的.
5. 方程F(x,y) = 0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系,就能用方程F(x,y) = 0表示曲线C,同时曲线C也表示着方程F(x,y) = 0?为什么要具备这些条件?
例2 用下列方程表示如图所示的直线C,可以吗?为什么?
(1) - = 0;
(2) x2 - y2 = 0;
(3) y = |x|;
(4) y = x.
刚才的讨论中,主要有两种提法:“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”. 这两种提法一样吗?它们反应是不是同一个事实?
在概念教学中,通过反例的反衬,常常起着帮助学生理解概念的作用. 将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾,产生针对性的思维. 为了解决这种矛盾,避免曲线和方程之间关系的不完整性,寻求作出必要的规定,这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义过程.
二､给出定义
定义:在坐标平面内,如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x,y) = 0的实数解同时满足下列关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y) = 0的解;
(2)以方程F(x,y) = 0的解为坐标的点都在曲线C上.
那么称方程F(x,y) = 0为曲线C的方程,曲线C是方程F(x,y) = 0的曲线.
你能用集合的观点来描述定义吗?
设A={(x,y)曲线|C上的点},B = {(x,y)|方程F(x,y) = 0的解}.
关系(1)说明A?哿B,关系(2)说明B?哿A,所以A=B. 2. 现在你能回答曲线和方程有什么关系了吗?
在坐标平面内,满足定义的曲线和方程有一一对应的关系.
三､概念辨析
1. 如何判断点在曲线上?
例3 解答下列问题,且说出各依据了定义中的哪一个关系?
(1) 点M1(3,-4),M2(-2 ,2)是否在方程为 x2 + y2 = 25的圆上?
(2) 已知方程为x2 + y2 = 25的圆过点M3( ,m),求m的值.
2. 从上例你能说出点在曲线的充要条件吗?
点(x0,y0)在曲线的充要条件是F(x0,y0) = 0.
3. 如何说明曲线C的方程不是F(x,y) = 0?
练习 1. 下列各题中,如图所示的曲线C的方程是所列方程吗?为什么?
(1) 曲线C为一折线;方程(x - y + 1)(x + y - 1) = 0. (2) 曲线C是顶点为原点的二次函数图像;方程x-= 0.
(3) 曲线C是过点(4,1)的反比例函数图像;方程y =.
(4) 曲线C是过点(10,1)的对数函数的图像;方程y = lg|x| .
从例题可知,两个关系只要有一个不成立,结论就不成立.
2. 求到点A(1,0),B(2,3)的距离相等的点的轨迹方程.
四､小结
1. 在领会定义时,要牢记关系(1)､(2)缺一不可.
2. 曲线和方程分别是几何与代数中的概念,在直角坐标系中,曲线有它的方程,方程有它的曲线. 曲线的方程是几何曲线的一种代数表示,方程的曲线是代数方程的一种几何表示.
3. 曲线和方程之间一一对应关系的曲线和方程确立,进一步把“曲线”和“方程”统一起来. 在此基础上,我们就可以更多地用代数方法研究几何问题,即“就数论形”,这是解析几何的基本思想和基本方法.
五､教后记
“曲线和方程”这节内容揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系,为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径,体现了解析几何这门课的基本思想,对全部解析几何教学有着深远的影响. 学生只有透彻理解曲线和方程的意义,才算是寻得了解析几何学习的入门之径. 应该认识到本节课是解析几何教学的“重头戏”.
由于曲线和方程的概念比较抽象,应充分发挥学生已有的用方程表示曲线的感性认识. 由直观表象到抽象概念仍有相当难度,对学生理解可能遇到的困难应有足够的估计. 容易产生的问题是学生不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用,甚至有学生误认为这两句话是同义反复. 所以本节课的教学目标只能定在初步领会的水平上,但“初步”绝不等同于“含糊”,反映在学生的学习行为上,即要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系才能称做“曲线的方程”和“方程的曲线”,两者缺一不可.
本节课有着概念性强,思维量大,例题与练习题不多的特点,这就决定了整节课将以学生的观察､思考､讨论为主. 知识学习与能力培养是同步的,应根据教学内容､教学过程所展开的逻辑关系来确定能力训练的侧重点. 本节课要结合图形分析反例,来辨析“两个关系”间的区别,归纳出曲线的方程和方程的曲线的一般概念. 因此能力培养的侧重点应在训练分析､归纳的逻辑思维能力上,同时强化数形结合的思想.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”